自2007年有限能量艾里光束的产生实验被报道以来，其无衍射、自加速、自聚焦等特性掀起了光学领域的研究热潮，成为光学领域的重要研究方向^[1]。随后，研究者将一维有限能量的艾里光束做径向对称处理后，获得了圆对称艾里光束（circular Airy beams，CAB）^[2]。CAB是一种特殊的自聚焦光束，其特点是：在空间中自由传播时，焦点前能保持着极低的光强分布，但在焦点处光强会突然提升至之前的数十倍甚至数百倍，因此它又被称为突然自聚焦光束（abruptly autofocusing beams，AAB）。CAB在聚焦前能保持很低的光强峰值，因此应用于激光治疗等领域时可有效避免损伤传播路径中的健康细胞^[3-4]，从而实现精准治疗效果。CAB焦点处的光强突变能产生很大的光学梯度力，使其在光学操控等领域具有先天优势^[5-7]。

CAB的众多应用领域与其焦点区域的光强突变性质有着紧密的联系，因此如何提升光强突变性成为研究热点之一。早期研究者提出将焦点光强峰值$ {I}_{\max }\left({{\textit z}}_{f}\right) $与初始面光强峰值$ {I}_{\max }\left(0\right) $的比值$ {I}_{\mathrm{c}}={I}_{\max }\left({{\textit z}}_{f}\right)/{I}_{\max }\left(0\right) $作为评价光强突变性的标准，该评价标准已被广泛采用。2015年，Jiang等^[8]提出，基于频域高通滤波的方法可以有效提升CAB的自聚焦效率，光强比值$ I\mathrm{_c} $可从未调整前的50提升到500。2020年，本课题组提出频谱振幅的包络线调制方法，在频域引入高斯对称包络调制，使得光束的焦点光强进一步增强，光强比值$ I_{\mathrm{c}} $达到700^[9]。2022年，Zang等^[10-11]对圆对称艾里函数进行微分处理，构造圆对称微分艾里光束，并引入啁啾调制项，显著提升了光束的突然自聚焦效率。2023年，Liang等^[12]提出将圆对称艾里光束与Pearcey光束组合以获得AAB，提高光束的自聚焦特性。2024年，He等^[13-14]对圆环形微分艾里光束进行了优化，以实现焦点光强梯度的增强。2025年，Zhang等^[15]提出将圆形蝶形函数与圆形Pearcey函数组合获得圆形蝶形Pearcey光束（circular butterfly Pearcey beams，CBPBs），提高光束自聚焦能力与捕获力。

但上述使用简单光强比值表征焦点区域光强突变性的准确性还没有得到充分验证，其与光强梯度之间的正相关性亦缺乏理论支撑。基于此，本文系统分析、比较了3种不同调制方法对焦点区域光强突变性的影响，发现虽然经不同方法调制后，光束的光强比值$ {I}_{\mathrm{C}} $都能获得大幅提升，但该光强比值与焦点区域的光强突变性并没有本质的联系，使用光强分布梯度表征光强突变性更为科学、准确。通过比较焦点区域的光强分布梯度后发现，相比于原始CAB，现有的调制方法并不能有效提升焦点的光强梯度，个别调制方法甚至会减小焦点光强分布梯度。本文的研究以期为后续AAB光强突变性评价标准的改进提供更准确的依据。

1 分析讨论

CAB的电场分布^[2]可表示为

$ ^{ } u(r)={A}_{0}Ai\left(\frac{{r}_{0}-r}{w}\right)\exp \left[\alpha \left(\frac{{r}_{0}-r}{w}\right)\right] ^{ } $

(1)

式中：$ {A}_{0} $表示振幅常数；$ Ai\left(\ast \right) $为艾里函数；$ {r}_{0} $为主光环半径；r为径向坐标；$ w $为比例因子，决定了光环的疏密程度；$ \alpha $为指数衰减因子，决定了艾里函数的衰减速度。本文选择了经3种不同调制方法后获得的AAB与原始CAB进行对比分析，分别为经频谱高通滤波调制的CAB^[8]（modulated circular Airy beams by spectral high-pass filtering，MCABHF），经频谱高斯包络调制的CAB^[9] （modulated circular Airy beams with a Gaussian envelope of spectrum，MCABGE）以及经微分调制的CAB（circular Airyprime beam, CAPB）^[11]，由于具体调制方法在各自的文献中已经给出了详细的阐述，本文不再赘述。图1（a）给出了CAB、MCABHF、MCABGE 和CAPB的初始面光强分布，4种光束的波长统一取$ \lambda =632.8\;\mathrm{nm} $，其中CAB的光束参数取$ \alpha =0.1 $，$ {r}_{0}=1\;\mathrm{mm} $，$ w=0.1\;\mathrm{mm} $，MCABHF的截止频谱取$ {k}_{c}= 5.5\;\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1} $，MCABGE的高斯包络的中心位置取$ \beta =5.2\;\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1} $，束腰半径$ \gamma =2.8\;\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-1} $。为了便于比较，除特殊说明外，后续计算对所有光束的初始面总能量做了归一化处理。从图1（a）中可以清楚地看到，相比于CAB，3种调制光束的光强峰值位置从最内层光环移向外层光环，原CAB的主光环被压制甚至消除。相比于CAB，调制光束的能量被更平均的分配到各级次光环中。结构光束的等效面积可定义为$ \text{π} {r}_{\mathrm{eff}}^{2} $，其中$ {r}_{\mathrm{eff}} $为光束在初始面的等效半径，满足

$ \frac{\displaystyle\int \limits_{0}^{{r}_{\mathrm{eff}}}{\left| u\left(r\right)\right| }^{2}r\mathrm{d}r}{\displaystyle\int \limits_{0}^{\mathrm{\infty }}{\left| u\left(r\right)\right| }^{2}r\mathrm{d}r}=0.8 $

(2)

由式（2）计算可得，CAB、MCABHF、MCABGE以及CAPB的等效面积分别为8.1 mm²、31.4 mm²、24.4 mm²、19.2 mm²。这表明CAB经调制后，光束的等效面积明显增大，为保持总能量守恒，调制光束的光强峰值大幅下降。

图1（b）给出了4种光束相应的频谱分布。由于4种光束都为圆环形对称分布，其频谱均可使用傅里叶−贝塞尔变换计算获得

$ F\left(k\right)=2\text{π} \int \limits_{0}^{\mathrm{\infty }}u\left(r\right){\mathrm{J}}_{0}\left(2\text{π} kr\right)r\mathrm{d}r $

(3)

式中，$ {\mathrm{J}}_{0}\left(\ast \right) $为零阶贝塞尔函数。从图1（b）中可以看到，相比于CAB，3种调制光束的低频分量都大幅下降，高频分量占比增多。其中CAPB使用了与CAB相同的指数衰减，使靠近光轴位置的光环分配到了更多的能量，因此保留了最多的低频分量。

3种调制光束的传播特性可以和CAB一样用角谱传播理论计算得到

$ u\left(\rho ,{\textit z}\right)=2\text{π} \int \limits_{0}^{\mathrm{\infty }}F\left(k\right){{\mathrm{J}}}_{0}\left(2\text{π} k\rho \right){{\mathrm{e}}}^{\rm{i}2\text{π} {\textit z}\sqrt{{\lambda }^{-2}-{k}^{2}}}k\mathrm{d}k $

(4)

式中，$ \lambda $为波长。图2（a）给出了CAB、MCABHF、MCABGE和CAPB的沿z轴光强分布。从图中可以看到，3种调制光束的焦距与CAB基本相同，与各自文献报道的结果相符。CAB的光强峰值为24.9，相比于CAB，3种调制光束的焦点光强峰值都获得了大幅提升。其中MCABHF的焦点光强峰值最小，提升到62.0，略小于CAPB的64.0，MCABGE的最大，为76.1，但3种调制光束的总体差别不大。

图2（b）给出了与图2（a）相对应的光强峰值比值$ {I}_{\max }\left({\textit z}\right)/{I}_{\max }\left(0\right) $，其中$ {I}_{\max }\left({\textit z}\right) $为光束传播到任意距离处截面的光强峰值。从图中可以看到，所有光束在聚焦前都保持了极低的光强峰值，在接近焦点区域后光强峰值发生突变。在焦点处，MCABGE的光强峰值比值$ I\mathrm{_c} $达到690，为CAB（$ {I}_{\mathrm{c}}=52 $）的13.3倍，仍然是3种调制光束中最大的。然而，MCABHF的焦点光强峰值虽然略小于CAPB，但$ I\mathrm{_c} $达到了588，远大于CAPB的359。究其原因，不难发现这是因为CAPB的主光环位置更靠近光轴，其初始面等效面积相比于其他2种调制光束最小，而所有光束的总能量相同，导致CAPB的初始面光强峰值大于MCABHF，如图1（a）所示。

接下来讨论光强比值$ {I}_{\mathrm{c}} $与焦点处的光强突变性是否存在正相关性。为了排除光强大小的影响，只考察光强分布本身，图3（a）给出了4种光束沿z轴的归一化光强分布，为了便于比较，将所有光束的焦点移动到了同一位置。虽然CAPB的$ {I}_{\mathrm{c}} $要小于另2种调制光束，但却具有最小的纵向半高全宽。MCABGE的焦点光强峰值和$ {I}_{\mathrm{c}} $都远大于CAB，但纵向半高全宽与CAB几乎相同，MCABHF的纵向半高全宽最大，甚至大于CAB。图3（b）给出了与图3（a）相对应的纵向光强梯度分布，从图中可以看到，所有光束在焦点位置的梯度为零，都能形成有效的光阱，对微粒进行束缚。在偏离焦点位置后，CAPB具有最大的正向梯度和负向梯度，光阱刚度最大，但相比于CAB提升不是很明显；MCABGE的最大正向梯度略小于CAB，最大负向梯度略大于CAB；MCABHF的最大正向梯度和最大负向梯度均小于CAB。由此可见，光强比值$ I\mathrm{_c} $其实无法准确评价光束在焦点区域的突变特性，属于无效参量，而通过计算光强梯度或使用焦斑的纵向半高全宽来表征光束在焦点区域的突变特性则更为准确。此外，可以发现目前各种调制方法虽然可以大幅提升CAB的聚焦能力，提升焦点光强峰值，但对于焦点区域光强分布的突变性提升很小，部分调制方法甚至起到了负面作用。

接下来将讨论CAB本身的光束参数对焦点区域突变性的影响。图4（a）和图4（b）分别给出了4种不同参数CAB的初始面光强分布以及相对应的频谱。其中参数ω决定了光环的疏密程度，值越小，光环越密；$ \alpha $决定了CAB的各级光环峰值的衰减速度，值越小，衰减速度越快；$ {r}_{0} $决定了CAB的主光环位置，值越大，主光环越远离光轴。而参数变化带来的频谱变化远弱于上述调制方法带来的影响，如图4（b）所示。其中$ \omega=0.08\; \mathrm{mm} $的CAB拥有最少的低频分量和最多的高频分量，但与其他参数的CAB相比，差距并不大。

图5给出了4种不同参数CAB的沿z轴光强分布。$ w=0.08\;\mathrm{mm} $的光束具有最短的焦距和最大的焦点光强峰值，$ {r}_{0}=1.5\;\mathrm{mm} $的光束焦距最大，$ \alpha =0.15 $的光束焦点峰值光强最小。由于CAB的光束参数对焦点光强峰值、焦距、光强对比度$ {I}_{\mathrm{c}} $等问题的研究已有详细报道，故此本文不再赘述其规律变化^[16-17]。

与图3类似，图6（a）和（b）分别给出4种不同参数CAB沿z轴的归一化光强分布以及相对应的纵向光强梯度分布，并将焦点移动到了同一位置以便于比较。从图中可以看到，$ w=0.08\;\mathrm{mm} $的光束具有最小的纵向半高全宽和最大的正、负向光学梯度，$ \alpha =0.15 $的光束则具有最大的纵向半高全宽和最小的正、负向光学梯度。当其他参数不变时，虽然焦距和焦点光强峰值随着参数$ {r}_{0} $的增大而分别增大和减小，如图5所示，但焦点前的光强梯度却获得了明显的提升。

为了解释这一现象，可以使用$ {{NA}}_{\mathrm{eff}}\approx {r}_{\mathrm{eff}}/{{\textit z}}_{f} $近似计算CAB的等效数值孔径（numerical aperture, NA），4种光束的等效数值孔径如表1所示。结合表1和图6的结果可以发现，光束焦点区域的光强梯度取决于等效数值孔径，且等效数值孔径越大，光强梯度越大。随着$ {r}_{0} $的增大，虽然焦距增大，但焦点区域的光强梯度反而提升。这是由于初始面的等效半径随之增大，使等效数值孔径增大所致。而当$ \alpha $增大后，虽然焦距不变，但由于初始面的各级光环衰减速度变快，如图4（a）所示，使得等效数值孔径减小，从而降低了焦点区域的光强梯度。这里需要注意的是，只有同种自聚焦光束之间比较等效数值孔径才有实际意义，因为对于不同种光束，即使在同一等效数值孔径下也会有完全不同的表现。因此不宜使用该方法横向比较CAB、MCABHF、MCABGE和CAPB的聚焦表现。

2 结　论

本文首先横向比较了CAB与3种调制光束MCABHF、MCABGE和CAPB的焦点区域的光强分布情况，发现上述不同调制方法都能大幅增加了光束的高频分量，从而有效地提升光束的焦点光强峰值以及峰值比值$ I\mathrm{_c} $。但进一步分析发现，目前普遍使用的、用来描述光束焦点光强突变性的参数$ I_{\mathrm{c}} $实质上是一个无效参数，并不能反映焦点处光强的突变性质。更为准确的方法是使用焦斑的纵向半高全宽或纵向光强梯度来评价焦点区域的光强突变性质。而现有的这些调制方法对光强梯度的提升很小，其中频谱高通滤波方法甚至会降低焦点纵向光强梯度。最后，本文还比较了光束参数本身对CAB的影响，发现对于同一种自聚焦光束，增大等效数值孔径可以有效地提升焦点区域光强的突变性。本文结果可为提升AAB的自聚焦能力提供有益的参考和指导。