超透镜是一种基于超表面技术的二维亚波长透镜结构^[1-2]。相比传统透镜，超透镜能够通过调整几何结构的形状和旋转角度，实现光波波前相位、偏振、振幅等特性的灵活调控，具有体积小，成本低，易于集成等特点，为光学系统小型化、轻量化与集成化的发展趋势提供了潜在的解决方案^[3]。目前，已研发出多种功能各异的超透镜，包括消色差超透镜^[4]、偏振不敏感超透镜^[5]、多焦点超透镜^[6]等。其中，多焦点超透镜因为能将入射光同时聚焦于多个位置，在生物医学、成像系统、通信等领域具有重要的研究价值^[7-8]。

在传统的设计过程中，通常采用时域有限差分法（finite difference time domain，FDTD）等数值模拟方法对麦克斯韦方程组进行分析求解^[9]。该过程需要设计者具备扎实的光学知识与经验积累，同时为了获取特定的响应，往往需要耗费大量的时间与计算成本，并且随着所需响应复杂度的提升，设计成本也将进一步增加。随着计算机硬件与人工智能技术的飞速发展，利用数学工具从目标结果反推对应结构的逆向设计方法逐渐崭露头角^[10]。该方法不仅能够提高设计的灵活性和效率，而且在设计复杂结构时，可以有效地降低时间和计算成本。在众多逆向设计方法中，基于神经网络的深度学习可以从超透镜的几何结构和光学响应组成的数据集中探索，学习其中的内在联系，并通过自动调整内部参数来优化性能，具有强大的泛化能力和鲁棒性，在帮助研究者深入理解物理问题的本质方面有重要的作用^[11]。

基于深度学习的超透镜逆向设计可追溯到2018年，Malkiel团队针对“H”形金纳米单元结构设计了两套深度神经网络（deep neural network, DNN），其中一套用于前向预测光谱，另一套用于逆向预测结构参数，从而高效且准确地获得预测的光谱和结构^[12]。此外，该研究还尝试将两套网络串联起来，通过将逆向网络得到的结构参数输入到前向网络中来训练预测光谱的能力，取得了比分开训练更好的效果。该研究为后续超透镜的逆向设计奠定了基础。此后，研究者们尝试用多种不同的神经网络实现了超透镜功能和应用上的逆向设计^[13-15]。

当前，逆向设计研究主要聚焦于超透镜单一功能和应用的实现，因此，利用神经网络实现具备复合功能和应用的超透镜逆向设计具有重要的研究价值。针对该问题，本文提出了一种基于串联神经网络（tandem neural network, TNN）的多焦点超透镜逆向设计方法。基于该网络模型，本文开展了单焦点超透镜、双焦点超透镜和多焦点超透镜的逆向设计工作，并通过仿真实验验证了该技术方法的可行性。

1 超透镜原理与逆向设计算法 1.1 超透镜衍射单元设计

如图1所示，超透镜衍射单元采用方柱结构^[16]。方柱由折射率为3.882的硅（silicon, Si）材料构成，衬底采用折射率为1.5的二氧化硅（silicon dioxide, SiO₂）材料。选择高折射率的硅有助于实现光场的局域振荡，增强相位补偿，同时低折射率的二氧化硅有利于减少入射光的反射。衍射单元结构设计包括5个参数：单元周期P，方柱高度H、长度L、宽度W和旋转角度$ \theta $。经过初步FDTD扫描分析，在632 nm入射光波长，及400 nm衍射单元周期与180 nm高度时，调整衍射单元的长宽尺寸可实现0～2π的连续相位调制范围，满足衍射器件设计的基本需求。此外，几何相位关系由硅方柱的旋转角度决定，可通过相位公式计算得出。综上，利用深度学习神经网络算法获得上述衍射单元的目标尺寸，以满足超透镜相位调制实现聚焦功能，是逆向设计的重要目标。

1.2 超透镜工作原理

为了实现超透镜的多焦点成像，本文采用复合相位调制的原理，即结合传输相位调制与几何相位（Pancharatnam-Berry，PB）调制技术^[17-18]。一方面，利用几何相位光场的控制可独立依赖于入射光偏振态，即左旋圆偏振（ left-circularly polarized，LCP ）光和右旋圆偏振（ right-circularly polarized，RCP ）光。另一方面，传输相位与入射光的波长、材料折射率相关，与偏振或自旋态无关。因此可以通过调整几何结构的尺寸来调控传输相位，实现焦点强度的控制。

假设超透镜表面为x-y平面，垂直方向为z轴，超透镜的中心点为$ \left(0,0,0\right) $，焦距为f，焦点为$ \left({x}_{f},{y}_{f},{{\textit z}}_{f}\right) $，则超透镜上任意$ \left(x,y,0\right) $处的相位$ \varphi $满足

$ \left\{\begin{split}& \varphi \left(x,y,0\right) = -\frac{2\text{π} }{\lambda }\left( \sqrt{{\left(x-{{x}_{f}}\right)}^{2}+{\left(y-{{y}_{f}}\right)}^{2}+{\textit z}_{f}^{2}}-f\right)\\& f=\sqrt{x_{f}^{2}+y_{f}^{2}+{\textit z}_{f}^{2}} \end{split} \right.$

(1)

式中，λ是工作波长。通过式（1）可以计算出目标位置获得焦点所需的相位分布。为实现复合相位调制，旋转角度$ \theta $与传输相位$ {\varphi }^{\Pr \text{o}} $、几何相位$ {\varphi }^{\mathrm{PB}} $、LCP光入射时衍射单元所需实现的总相位$ {\varphi }_{\mathrm{L}} $，以及RCP光入射时衍射单元所需实现的总相位$ {\varphi }_{\mathrm{R}} $之间的关系为

$ \left\{\begin{split}& {\varphi }_{\mathrm{L}/\mathrm{R}}=\varphi _{\mathrm{L}/\mathrm{R}}^{\mathrm{Pro}}+\varphi _{{}^{\mathrm{L}/\mathrm{R}}}^{\mathrm{PB}}\\& {\varphi }^{\mathrm{Pro}}=\varphi _{\mathrm{L}}^{\mathrm{Pro}}+\varphi _{\mathrm{R}}^{\mathrm{Pro}}\\& \varphi _{\mathrm{L}}^{\mathrm{PB}}=-\varphi _{\mathrm{R}}^{\mathrm{PB}}=2\theta \end{split} \right. $

(2)

由此可得

$ \left\{\begin{split}& {\varphi }^{\mathrm{Pro}}=\frac{{\varphi }_{\mathrm{L}}+{\varphi }_{\mathrm{R}}}{2}\\& \theta =\frac{{\varphi }_{\mathrm{L}}-{\varphi }_{\mathrm{R}}}{4} \end{split} \right. $

(3)

式（3）表明所需的传播相位与旋转角度可通过计算LCP光与RCP光入射时衍射单元所需的总相位来获得。考虑到几何相位的调制需求，衍射单元沿x轴和y轴的相位延迟$ {\varphi }_{x} $、$ {\varphi }_{y} $和传输相位之间满足^[19]

$ \left\{\begin{split}& |{\varphi }_{x}-{\varphi }_{y}|=\text{π} \\& {\varphi }_{x}={\varphi }^{\mathrm{Pro}} \end{split} \right. $

(4)

因此

$ \left\{\begin{split}& {\varphi }_{x}=\text{angle}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{{\varphi }^{\mathrm{Pro}}}}\right)\\& {\varphi }_{y}=\text{angle}[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({{\varphi }^{\mathrm{Pro}}}+\text{π} \right)}] \end{split} \right. $

(5)

通过上述计算，便可求得神经网络所需实现的相位分布目标，并以此为基础，将计算得到的$ {\varphi }_{x} $和$ {\varphi }_{y} $输入网络中，获得对应的衍射单元几何结构，从而实现单焦点与多焦点成像等不同目标的超透镜逆向设计。

1.3 神经网络框架设计

本文构建串联神经网络（tandem neural network, TNN）算法进行逆向设计，算法框架如图2（a）所示^[20-21]。其中，$ \varphi _{x}^{D} $和$ \varphi _{y}^{D} $为目标相位延迟，$ x_{1}^{D} $、$ y_{1}^{D} $、$ x_{2}^{D} $和$ y_{2}^{D} $为目标相位延迟经过数据预处理后得到的目标响应。L和W为对应超透镜衍射单元长与宽的几何参数，$ x_{1}^{P} $、$ y_{1}^{P} $、$ x_{2}^{P} $和$ y_{2}^{P} $为前向网络根据输入的L和W得到的预测响应，$ \varphi _{x}^{P} $和$ \varphi _{y}^{P} $是预测响应数据恢复后得到的预测相位延迟。该网络由两部分组成：前向网络和逆向网络。前向网络负责接收几何参数作为输入，并预测对应的响应；逆向网络则基于前向网络，通过输入目标相位响应来计算对应的几何参数，然后将参数输入预先训练完成的前向网络中，以获取预测响应，避免了直接对比几何参数，从而有效克服了电磁波逆散射问题中结构非唯一性带来的挑战^[22]。相比其他基于深度学习的逆向设计算法，如生成对抗网络、强化学习等，TNN对计算资源需求较低，能建立相对稳定的双向映射，但可能陷入局部最优，并且训练效果依赖高质量数据。

经过测试分析，前向网络隐藏层节点数分别设定为100、250、300、250和100，输出层选用Tanh函数作为非线性激活函数以确保输出值被限制在−1到1之间，而逆向网络隐藏层节点数同样分别设定为100、250、300、250和100，输出层采用Softplus函数作为非线性激活函数，保证输出恒大于0，即确保几何参数的合理性，此时可以获得较为可靠的结果。权重初始化采用均值为0，标准差为0.1的正态分布，确保权重初始值在一个合理的范围内，既不会过大也不会过小，避免反向传播中的梯度爆炸或梯度消失问题，有助于保持梯度的稳定性，并且正态分布的随机初始化可以避免不同神经元可能会在训练过程中学习到相同的特征，确保每个神经元在训练初期学习到不同的特征。偏置项初始值设置为常数0，避免在网络训练初期引入不必要的偏差，简化网络的初始状态，确保训练初期的输出不会受到偏置的干扰。通过把5组随机划分的数据集作为样本，在前向网络中进行测试，批次大小分别为10、20、50时，对应最佳损失平均值为0.04172、0.0039876和0.0042388，因此本文批次大小选择了20。较小的批次大小能够帮助模型跳出局部最优解，找到更好的全局最优解，提高模型的泛化能力，同时保证较高的更新频率，缩短训练时间。

对神经网络权重与偏置进行优化的优化器算法部分选择了结合自适应学习率优化算法和动量算法的Adam优化器，在实现简单高效计算的同时，也减少了对内存的需求。在初始学习率上通过前述相同的样本测试，初始学习率为默认值0.001、0.01、0.0001时的最佳损失平均值分别为0.0039876、0.0172948和0.005343，因此初始学习率设定为0.001。适中的学习率可以确保模型在训练初期不会因为参数更新过快而错过最优解，也不会因为收敛速度慢而陷入局部最优与梯度消失，从而导致训练停滞。隐藏层激活函数采用了Leaky ReLU函数，以解决ReLU函数中神经元在负区间激活后无法继续学习的神经元“死亡”问题^[23]。其表达式为

$ f\left(x\right)=\left\{\begin{split}& x & x {{＞}} 0\\& \alpha x & x{{≤}} 0 \end{split} \right. $

(6)

式中，$ \alpha $为介于0到1之间的常数，用来控制输出小于0时的斜率，该常数被称为泄漏系数（leakage coefficient）或负斜率（negative slope），本文中$ \alpha $取值为0.1。Leaky ReLU函数允许负值通过，能够提高数据拟合的精确度，进而增强网络性能。尽管$ \alpha $的引入会增加计算复杂度，但仍在可接受的范围内。

神经网络训练的目的是使预测值尽可能接近真实值，损失函数将神经网络所有样本的预测值和真实值作为输入，输出一个标量作为反映预测值与真实值之间的总体差异，这个标量被称为损失。损失是衡量神经网络在整个数据集上预测不准确性的总体指标，通常在训练中将最小化损失作为目标来优化参数，从而改进预测性能。本文的损失函数选择Huber Loss函数，也被称作SmoothL1函数。该函数可以灵活适应不同数据集的训练需求^[24]。其表达式为

$ { Huber\; Loss }=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left\{\begin{split}&\frac{1}{2}\left(Y_i-\hat{Y}_i\right)^2\;\;\quad \left|Y_i-\hat{Y}_i\right| {{≤}} \delta \\& \delta\left|Y_i-\hat{Y}_i\right|-\frac{1}{2} \delta \;\; \left|Y_i-\hat{Y}_i\right|{{＞}} \delta\end{split}\right. $

(7)

式中：n是样本数；$ {Y}_{i} $是真实值；$ {\hat{Y}}_{i} $是预测值；$ \delta $是Huber Loss设定用来平衡损失的阈值，本文$ \delta $选取函数默认值1，经过实验设计调试过程中对网络调优，证实$ \delta $为1时，可以取得较为可靠的仿真效果。选取−3到3内包含100个采样点的等间隔数列作为预测值，0作真实值，Huber Loss函数与平均绝对误差（mean absolute error，MAE）、均方误差（mean squared error，MSE）的损失曲线如图3（a）所示。当预测值为3时，Huber Loss函数的损失值为2.5，低于MAE函数损失值3，和MSE函数损失值9；当预测值为0.06时，Huber Loss函数的损失值为0.000459，同样低于MAE函数损失值0.0303，和MSE函数损失值0.000918；当预测值与真实值误差较大时，Huber Loss函数表现近似于MAE，梯度近似于$ \delta $，降低对离群点和异常值的敏感性，并加快更新速度；当误差较小时，则近似于MSE，确保了连续可导性的同时，梯度会逐渐减小，有助于更精确地得到全局最优解。通过前述的样本，在前向网络中进行测试，结果如图3（b）所示。Huber Loss函数的平均最佳损失为0.0039876，平均时间为1.67 min；MAE函数的平均最佳损失为0.04885，平均时间为1.69 min；MSE函数的平均最佳损失为0.00779，平均时间为1.70 min。同时可以观察到Huber Loss函数的5组样本相比另两种函数，更接近平均值。因此本文选择Huber Loss函数作为损失函数。

模型最大训练周期（Epoch，训练集内所有样本均训练一次的过程，即样本内所有批次完成一次迭代训练的过程）设置为500，并采取一定耐心值（Patience，训练过程中对性能变化的耐心程度，决定了在多少个训练周期后，性能仍未得到改善时，停止网络训练）的早停机制来防止过拟合现象，同时缩短训练时间。耐心值过小时，网络可能陷入局部最小值而没有充分优化，导致欠拟合；耐心值过大或取消耐心值时，网络会继续训练很长时间，但性能已经不再提升，浪费计算资源。通过前述的样本，在前向网络中测试，耐心值为10，最佳损失平均值为0.0040426；耐心值为20时，最佳损失平均值降为0.0039876；耐心值为30时，最佳损失平均值反升到0.0042306。平均时间分别为1.43 min、1.58 min和1.57 min，时间相对接近，因此本文耐心值选用20。

逆向设计的整体流程如图2（b）所示，首先利用MATLAB软件生成10000组介于0.1到0.9之间均匀分布的随机数，这些数代表长宽与周期之间的比值，将数值限制于该区间有助于网络收敛，从而加速网络训练。同时均匀分布作为常见的数据分布类型，可以避免在某些特定区间上过度采样或欠采样，确保网络在训练过程中能够接触到多样化的数据，让网络更充分地学习该区间内的规律，从而提高网络的泛化能力。相比之下，正态分布倾向于集中在均值附近的区间附近，能提高网络在这些关键区间的泛化能力，但边缘覆盖不足，影响在这些区间的泛化能力。将这些长宽比值输入到Lumerical FDTD软件中，在632 nm的线偏振（linearly polarized, LP）光入射的条件下进行仿真，获得对应相位延迟$ {\varphi }_{x} $和$ {\varphi }_{\text{y}} $，从而构建几何参数与相位延迟间的数据集。

在获取数据集后，利用MATLAB对数据进行预处理。通过三角关系，将$ {\varphi }_{x} $和$ {\varphi }_{y} $投射到以原点为中心的单位圆上，将相位延迟转换为连续的x-y对，实现数值从原始范围归一化到−1至1之间^[25]。该过程有助于避免网络出现单输入多输出的问题与相位跨度范围在数值上对网络造成的影响，从而加快网络的训练速度。

在训练过程中，10000组数据集被划分为8000组训练集、1500组验证集与500组测试集。首先训练的是正向网络，将规模大小为$ n\times 2 $的参数数据作为输入，规模大小为$ n\times 4 $的响应数据作为输出代入网络中训练，获得如图4的效果。经过1.81 min的计算，在第118训练周期时，取得了0.003849的最佳损失值，且损失整体呈现下降趋势。对500组测试集进行测试后，平均损失为0.003771，与最佳损失值接近，并且离散点较少，表明网络训练得到了一个较为理想的结果。

在完成对前向网络训练后，将前向网络的权重和偏置固定，然后展开对逆向网络的训练。将规模大小为$ n\times 4 $的响应数据作为输入，规模大小为$ n\times 2 $的参数数据作为输出，代入网络中进行训练。逆向网络训练的关键在于最小化目标响应与对应结构尺寸通过前向网络生成的预测相位之间的损失。损失函数可表示为

$ Loss\mathrm{_{inverse}}=Huber\ Loss\left(R\mathrm{^{real}}-R^{\mathrm{pred}}\right) $

(8)

式中：$ {R}^{\mathrm{real}} $是通过仿真获得的目标响应；$ {R}^{\mathrm{pred}} $是通过前向网络生成的预测响应。获得的效果如图5所示，历时2.59 min，在第118周期时，取得了0.007967的最佳损失值。在对500组测试集进行测试后，平均损失为0.007684，与最佳损失值接近。尽管离散点数量有所增加，并且部分数值超出了预想的0.1到0.9的范围，但数值仍然保持在大于0且小于1的合理区间内。一部分是由于网络训练结果与实际结果间仍存在一定误差，另一部分是因为同时满足$ {\varphi }_{x} $和$ {\varphi }_{y} $设计需求的衍射单元结构非唯一性所导致。

鉴于实际运行的训练周期数，导致整体曲线呈现非平滑的特性，同时由于逆向设计的训练依赖于前向网络的预测结果，前向网络的误差会传递到逆向网络中，逆向设计涉及到的解空间更大，且可能存在多个局部最优解，导致训练过程更加不稳定，因此损失值更为显著，误差也相对前向网络较高。此外，虽然网络整体上表现良好，但在某些特定样本上可能由于参数调整仍旧不够精细，训练过程中的随机性等原因，导致预测值与真实值偏差较大。在生成训练数据时，仿真也可能会引入一定的数值误差，这些误差在训练过程中会被神经网络学习，导致某些样本的预测值与真实值偏差较大。测试集中的部分样本可能具有特殊的特征，如相位分布极端等，但在训练集中出现频率较低，导致网络在处理这些样本时表现不佳。最后Huber Loss函数虽然对离群点有一定的鲁棒性，但当偏差较大时，仍会导致损失值显著增加。在完成逆向网络的训练后，即可着手进行超透镜结构的仿真设计工作。

2 结果与分析 2.1 单焦点超透镜设计

为了验证TNN在仿真设计中的可行性，首先选取单焦点超透镜作为设计对象。在该超透镜中，由于可以仅依靠传输相位调制，即调整结构的尺寸，因此不需要改变旋转角度，可以相对直观地观察到由网络生成的结构对聚焦效果带来的影响。该超透镜的横向与纵向周期为28，直径为11.2 µm，工作波长为632 nm，设计目标是实现9 µm的焦距。首先图6（a）和图6（b）为通过公式计算获得的相位分布与通过网络生成结构对应的预测相位。可以观察到，预测相位分布整体上已趋近于目标分布，但由于在0到2π的相位区间内，目标相位中心区域的数值已趋近于其上限值。受两套网络误差的综合影响，预测所得相位中心区域的数值突破了上限阈值，经函数映射后，数值跌落至接近下限的区域，从而引发了数值的急剧下降，形成了一个局部的低谷。通过对预测相位和目标相位的数值计算，误差控制在6.3%以下，表明网络在预测过程中存在一定的偏差，这种偏差会对后续仿真结果的准确性产生一定影响。由此可见，当前网络设计在精度和鲁棒性方面仍有较大的优化空间，未来可通过改进网络结构、优化训练策略以及引入物理约束等方法进一步提升其性能。

图6（c）至图6（f）展示了通过Lumerical FDTD软件进行仿真得到的结果。图6（c）显示在x-z平面上，光束在9 µm附近实现了有效焦距，计算所得仿真焦距为8.75 µm，与目标焦距间的误差约为2.7%。此外，图6（d）显示在该高度的x-y平面上，实现了强聚焦，形成一个聚焦光斑，这表明该超透镜所受串扰影响不显著。在评估超透镜性能时，通常会使用半峰全宽（full width at half maximum, FWHM）和聚焦效率进行分析。FWHM是指强度为波峰峰值最大值一半处的波长差，反映了超透镜的分辨率与稳定性。聚焦效率定义为焦点处的光强与入射光总能量之比，反映了超透镜聚焦于特定点的能力。聚焦光斑的光场分布一般呈高斯分布，在高斯分布中，大约99.7%的能量集中在峰值附近的3倍标准差范围内。由于在超透镜中，FWHM可以直接从光强分布中测量，不需要复杂的拟合过程，因此聚焦效率可以通过计算3倍FWHM半径平面区域内入射能量与入射光总量的比值获得。如图6（e）和图6（f）所示，在该高度处，x和y方向上，电场强度在焦点处达到峰值，呈现高斯分布特性，经过计算，FWHM分别为0.642 µm 和0.582 µm，聚焦效率达到 60.6%。通过调整仿真空间规模、网格精度、光源高度和监视器高度等仿真参数，仿真焦距和FWHM未发生显著变化，聚焦效率与原聚焦效率间的仿真误差低于10%，这表明该超透镜在仿真条件下具有较高的稳定性，仿真软件引入的误差对结果影响较小。考虑实际制造中尺寸会存在5 nm的公差，因此在仿真过程中，对衍射单元引入5 nm的公差进行测试，仿真焦距和FWHM同样未发生显著变化，聚焦效率与原聚焦效率间的仿真误差低于4.2%，表明该超透镜可以容忍一定的制造公差。除了神经网络预测误差外，其他潜在的影响因素包括未充分考虑衍射单元本身的透射率以及材料折射率对成像效果的影响。尽管如此，实验结果验证了TNN在传输相位设计中的有效性，为进一步优化设计提供了基础。

2.2 双焦点超透镜设计

设计了对称双焦点超透镜，来检验TNN生成的结构在复合相位调制上的可行性。该超透镜的横向与纵向周期为28，直径为11.2 µm，工作波长为632 nm，LCP光设定的焦点为（2 µm, 0, 8 µm），RCP光的焦点则是（−2 µm, 0, 8 µm）。仿真结果如图7所示，可以观察到，当 LCP或RCP光入射时，均只在对应位置形成单个聚焦光斑，且串扰影响不显著。当LP光入射时，尽管由于误差的存在以及LCP和RCP分量的叠加，导致x-z平面中间部分串扰有所增加，但仍在可控范围内，并未影响到成像效果，如图8（f）所示，在8 µm高度处的x-y平面上，形成两个对称的聚焦光斑。

图8 展示了双焦点超透镜在两个焦点位置处的电场强度分布与FWHM，绿线表示LCP光入射时的情况，蓝线表示RCP光入射时的情况，红线表示LP光入射时的情况。可以观察到，当LCP光入射时，光聚焦于右侧波峰处，FWHM为0.606 µm；而当RCP光入射时则是聚焦于左侧波峰处，FWHM为0.516 µm；当LP光入射时，光同时聚焦于左右两侧波峰，两侧FWHM同为0.594 µm。该结果表明超透镜可以有效地将LP光分化为LCP和RCP分量，验证了该结构能实现对LCP和RCP光的按需独立控制，即传输相位与几何相位的复合调控。

2.3 多焦点超透镜设计

在上述的基础上，通过TNN对具备复合功能的超透镜进行设计，验证其可行性，本文采用具备4个区域的多焦点超透镜进行验证。该透镜横向与纵向周期为56，直径为24.3 µm。该超透镜分为4个区域，左下半圆为区域1，左上半圆为区域2，右下半圆为区域3和右上半圆为区域4，每个区域均能独立实现双焦点成像，其中区域1和区域3实现对称成像，区域2和区域4实现非对称成像。此外区域1和区域4两焦点在x方向上分布，区域2和区域3两焦点则在y方向上分布，其预期焦点分布如表1所示。

如图9所示，展示了该超透镜的仿真结果。图10（a）展示了该超透镜在FDTD软件中运行的仿真结构图，各个衍射单元在旋转后均未与其他衍射单元发生交错现象。图10（b）到图10（d）展示了LCP光、RCP光、LP光入射时的成像情况。当LCP光或RCP光入射时，各区域均能聚焦于一个对应的光斑处，总计四个光斑。当LP光入射时，各区域则各形成两个对应光斑，共计8个光斑。但需要注意的是，区域2下焦点的光斑强度相较于其他焦点略显减弱，而区域4左焦点的光斑尺寸则略大于其他焦点。

图10展示了该透镜各区域在焦点位置处的电场强度分布与FWHM，绿线表示LCP光入射时的情况，蓝线表示RCP光入射时的情况，红线表示LP入射时的情况。当LCP光入射时，区域1右焦点的FWHM为0.588 µm；区域2上焦点的FWHM为0.594 µm；区域3上焦点的FWHM为0.624 µm；区域4右焦点的FWHM为0.63 µm。当RCP光入射时，区域1左焦点的FWHM为0.63 µm；区域2下焦点的FWHM分别为0.684 µm；区域3下焦点的FWHM为0.606 µm；区域4左焦点的FWHM为0.63 µm。当LP光入射时，区域1双焦点的FWHM分别为0.624 µm和0.594 µm；区域2双焦点的FWHM分别为0.63 µm和0.582 µm；区域3双焦点的FWHM分别为0.582 µm和0.594 µm；区域4双焦点的FWHM分别为0.672 µm和0.618 µm。可知，多焦点超透镜在不同偏振光（LCP、RCP和LP）入射时，各区域焦点的FWHM值大多集中在0.6 µm附近，这表明该超透镜在大多数情况下能够实现较为理想的聚焦效果，不同区域间的相互影响不显著，能够实现各区域间独立成像，从而验证了该网络在超透镜复杂功能设计中的可行性。然而，RCP光入射时的区域2下焦点和LP光入射时的区域4左焦点的FWHM值接近0.7 µm，略高于其他焦点。此外LP光入射时区域2下焦点的相对强度明显低于其他各焦点。

为了进一步探讨区域2下焦点与区域4左焦点的情况，重新设定了两焦点的目标位置，并通过网络重新生成了衍射单元的结构尺寸，两焦点的位置修改为（5.6 µm, −7.1 µm, 8 µm）和（2.6 µm, 5.6 µm, 8 µm）。仿真结果展示在图11中。如图11（a）～（c）所示，可以观察到两焦点聚集效果有所改善。如图11（d）～（g）所示，当LCP光入射时，区域1右焦点的FWHM为0.612 µm；区域2上焦点的FWHM为0.576 µm；区域3上焦点的FWHM为0.618 µm；区域4右焦点的FWHM为0.624 µm。当RCP光入射时，区域1左焦点的FWHM为0.648 µm；区域2下焦点的FWHM分别为0.618 µm；区域3下焦点的FWHM为0.612 µm；区域4左焦点的FWHM为0.618 µm。当LP光入射时，区域1双焦点的FWHM分别为0.624 µm和0.594 µm；区域2双焦点的FWHM分别为0.63 µm和0.558 µm；区域3双焦点的FWHM分别为0.6 µm和0.594 µm；区域4双焦点的FWHM分别为0.624 µm和0.618 µm。结果表明，双焦点受到区域边缘衍射效应与串扰的影响。这可能是由于各独立区域之间的边缘会导致相位调制的不连续性，进而引发串扰和光场分布的偏差。同时可见，当前设计在减少串扰和优化聚焦效果方面仍存在一定的改进空间，可以考虑通过提升网络性能等方式进一步优化结构参数，以及改进各区域功能策略等方式进一步提升超透镜的性能。

经过对前述三种超透镜设计的深入分析可知，利用已构建的串联神经网络，可以有效地实现对超透镜结构对应相位的前向预测，以及相位对应结构的逆向设计，从而满足单焦点与多焦点超透镜的设计需求。因此，可以推断串联神经网络在具备更复杂功能与应用超透镜，如多波长、多焦点复合超透镜等的逆向设计与实际生产工作中能够展现出显著的潜力。然而同时也能从预测相位分布与仿真结果中看出，由于精度、串扰等原因导致的误差与不足的影响，当前的设计仍有优化空间。此外衍射单元选择了较为简单的方柱结构，参与网络设计的参数仅有长与宽两个，更复杂的结构与更多的设计参数对串联神经网络仍将构成挑战。在设计过程中，诸如透过率、吸收损耗等因素未能得到充分考虑，这可能导致超透镜的性能下降。以吸收损耗为例，在可见光波段，光子能量高于硅的带隙，引发本征吸收效应，从而产生较大的吸收损耗。这种损耗不仅降低了入射光的透过率，还影响了超透镜的成像质量，导致聚焦效率和分辨率的下降，并可能引起透射光强分布的不均匀性。为了在网络设计中更好地考虑吸收损耗的影响，需要在数据集中引入硅的吸收损耗特性，例如折射率和消光系数等参数。在网络训练过程中，不仅要确保相位分布的准确性，还需综合考虑吸收损耗的影响，这实际上是一个多目标优化问题。需要在不同目标之间做出权衡，这无疑增加了计算的复杂度。

随着神经网络算法与仿真技术的不断进步与优化，超透镜智能化设计的深入与拓展将显著提升设计性能。在网络方面，通过引入物理约束的物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）^[26]、在网络训练中加入衍射求解器的基于物理模型的神经网络（physics-model-based neural network, PMNN）^[27]等与物理规律更密切的网络，可以确保生成的结构不仅符合数据驱动的优化目标，还满足基本的物理规律，从而减少对大量训练数据的依赖并提高设计的物理合理性。随着数据增强与迁移学习等方法的引入，设计的参数将变得更为合理，数值的精确度得到进一步提升，误差也随之降低^[28]。此外，仿真中结合多尺度建模技术，能够同时优化微观结构（如单个衍射单元）和宏观性能（如整体透镜的聚焦效果），进一步提升设计的全局优化能力和实用性^[29]。为了确保设计结果与实验制备的一致性，未来研究可以引入制造误差模型和容差分析，优化设计参数以应对纳米加工中的不确定性。通过迭代设计与实验验证、高精度制造工艺以及数据驱动的方法，可以进一步提高设计结果的可制造性和实验一致性。随着这些技术的不断发展与融合，基于深度学习的逆向设计方法将在超透镜设计中展现出更广阔的应用潜力，推动光学器件向更高性能、更复杂功能的方向发展。

3 结　论

综上所述，本文提出了一种基于串联神经网络的多焦点超透镜逆向设计方法。该网络高效地实现了对衍射单元相位的前向预测与结构参数的逆向设计，其最佳损失分别为0.003849和0.007967。此外，本文基于该网络设计了3种不同类型的超透镜，以验证所提设计方法的可行性。首先，设计了一个目标焦距为9 µm，仿真焦距为8.75 µm，误差低于2.8%，聚焦效率为60.6%的单焦点超透镜，验证了该设计方法设计出的超透镜结构能有效实现传输相位调制。其次，设计了一个双焦点超透镜，实现了对LCP光和RCP光的同时独立控制，进一步证实了该设计方法在实现传输相位与几何相位的复合调制上的实用性。最后，设计了一个多焦点超透镜，实现了各区域间的独立成像，从而验证了该设计方法在复杂功能设计上的可行性。该设计方法对于集成衍射光学器件与信息处理等领域的研究具有重要的参考价值。随着神经网络算法与仿真技术的不断进步，未来可以通过PINN、PMNN、多尺度建模等技术路径，进一步提升设计的精度和实用性，推动超透镜设计向更复杂、更高性能的方向发展。