在光场中，当一束激光通过透镜聚焦后，会对焦点附近的微粒产生力的作用。通常认为光场中粒子所受的力分为两类：一类是散射力，沿光的传播方向，其强度与光强成正比；另一类是梯度力，沿光场梯度方向，其强度与强度梯度成正比^[1]。光梯度力阱是构建光镊的重要条件。自光辐射压力实现微粒悬浮捕获与三维光学囚禁的相关研究被报道以来^[2-3]，光镊已成为研究光力学效应极具价值的应用工具，并推动了许多科学领域的重大进展^[4-7]。研究光学梯度力对光镊技术的发展具有重要的科学意义和应用价值。

近年来，科研人员对各种光束梯度力的研究从未停止。Gao等^[8]研究了圆柱矢量光束的梯度力分布特性，通过改变光束偏振态可以产生不同的光阱模式。Tao等^[9]研究了具有单个轴上涡旋的线偏振洛伦兹光束的光梯度力，发现拓扑数影响光梯度力的分布，并在实验中观测到力环、燕形、多线形等梯度力模式。李劲松等^[10]研究了相位调制双曲余弦高斯光束的梯度力分布特性，发现相位板各区域的半径大小能够改变光梯度力的分布，相位变换能够移动光陷阱。叶有祥等^[11]研究了螺旋相位调制双曲余弦高斯光束的梯度力，发现光梯度力分布与光束的拓扑荷、偏心参数等有关，并且会构成如圆环状光陷阱、阵列光陷阱、矩形光陷阱等。Tang等^[12]通过实验设计了一种由相位梯度产生的光力作用于在特定轨道上驱动粒子的光镊。Gouesbet等^[13]分析了广义洛伦兹−米氏理论框架下瑞利体系中离轴Bessel光束的梯度力，研究发现平均能流密度和坡印亭矢量在z方向上没有梯度。Xu等^[14]发现在由线性或椭圆偏振高斯光束产生标准光学阱的情况下，纳米粒子中产生的电偶极子和磁偶极子之间的相互作用允许强度梯度施加非保守的光学力。Zheng等^[15]提出手性粒子的光学捕获依赖于光强均匀的光场中产生的梯度力。Li等^[16]严格计算了与光镊（单光束光阱）相关的保守梯度力和非保守散射力。Yamanishi等^[17]研究了施加在三维手性纳米颗粒上的圆偏振依赖性梯度力，结果表明，当手性粒子与入射光发生共振时，其扰动的电磁场不仅会影响圆偏振偏转梯度力的光谱特征，而且会影响折射率的实部。随着光学梯度力研究的不断深入以及光场调控技术的不断发展，光镊技术也取得了显著的进步，光致旋转^[18]、全息光镊技术^[19]、特殊光束光镊技术^[20-21]等新型技术的出现，进一步拓展了光学捕获的应用领域。

矢量光束可以自由调节偏振度和空间自由度，能提供更多的可用状态。因此，本文利用模式提取原理^[22]实现了从单个矢量Bessel光束中提取任意偏振模式，进而研究这种矢量Bessel光束在不同偏振模式下聚焦区域的梯度力分布，用于构建可调光阱。通过改变矢量Bessel光束的拓扑数和偏振阶数，可以实现光学系统焦点区域梯度力分布的自由调控。通过改变偏振方向，可形成多个光梯度力阱。矢量光束的独特偏振调控大大提高了微粒的操控自由度以及光镊的灵活性和应用性。

1 理　论

图1给出了用于任意矢量Bessel光束偏振模式提取的聚焦系统示意图。在图1（a）中，通过将调制好的相位加载到空间光调制器上，由矢量Bessel光束调制相位（见图1（b））提取得到相应的聚焦光梯度力强度分布（见图1（c）），继而实现从沿光轴固有相位传播的m = 30阶矢量涡旋光束准直入射中提取镜面聚焦区域后矢量Bessel光束的偏振模式。所述模式提取原理代表了干涉技术的逆过程，能够从单光束中提取任意偏振模式^[22-23]。本文利用模式提取原理构建任意矢量Bessel光束，进而研究了这种矢量Bessel光束的梯度力分布特性，这可能使该光束在光镊、粒子操纵等领域创造新的应用机会。

根据矢量Debye衍射理论，光学透镜焦区内的电场表达式为^[24]

$ \begin{split} E=&\frac{-\mathrm{i}A}{\text{π} }\int\limits_{\text{0}}^{\alpha }\int\limits_{0}^{2\text{π} }\sqrt{\cos \theta }\cdot \sin \theta \cdot V\cdot {l}_{0}(\theta )\cdot T\cdot \\& \exp (-\mathrm{i}k\boldsymbol{s}\cdot \boldsymbol{\rho })\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta \end{split}$

(1)

式中：θ为收敛角；φ为方位角；A为归一化常数；α=arcsin（NA/ν），其中NA为物镜的数值孔径，ν为聚焦空间的折射率，这里取值为1；波数k=2πν/λ，其中λ为入射光束的波长。ρ=（rcosɸ, rsinɸ, z）表示聚焦场中任意观测点的位置向量；s=（−sinθcosφ, −sinθsinφ, cosθ）表示球坐标中沿射线方向的单位向量。T=exp（iψ）表示光瞳滤波片的透射率函数，其中ψ表示光瞳滤光片的相位分布。

式（1）中的l₀（θ）表示入射高斯光束的振幅函数，可表示为^[25]

$ {l}_{0}(\theta )=\exp\left[-\left({\beta }_{\text{0}}\frac{\sin \theta }{\sin \alpha }\right)^{\text{2}}\right] $

(2)

式中，β₀为瞳孔半径与入射光束腰的比值。

V表示入射光束经过透镜后的传播单位矢量，则V可表示为^[26-27]

$ V=\cos \left(m\varphi \right){V}_{x}+\sin \left(m\varphi \right){V}_{y} $

(3)

式中，V_x、V_y分别表示x偏振和y偏振的电矢量，V_x和V_y可表示为

$ \begin{aligned} & {V}_{x}=\left[\begin{array}{l} {\sin }^{2}\varphi \left(1-\cos \theta \right)\text+\cos \theta \\ \cos \varphi \sin \varphi (\cos \theta -1)\\ \cos \varphi \sin \theta \end{array}\right] \\& {V}_{y}=\left[\begin{array}{l} -\left(1-\cos \theta \right)\sin \varphi \cos \varphi \\ 1-\left(1-\cos \theta \right){\sin }^{2}\varphi \\ \sin \varphi \sin \theta \end{array}\right] \end{aligned} $

(4)

式（1）中的相位调制项T是产生矢量Bessel光束的重要条件。本文用$ {T}_{\alpha }=\exp (-\mathrm{i}\cdot 2\text{π} r/d) $表示轴棱锥相位，其中d表示轴突的周期，$ r= \sin \theta /NA $。$ {T}_{l}=\exp (\mathrm{i}l\varphi ) $表示涡旋相位，其中l表示拓扑数。矢量Bessel光束具有复杂的空间偏振模式，为了识别矢量Bessel光束的偏振模式，根据文献[22]，采用一种模式提取的方法，通过加入偏振模式相位T_p，结合涡旋相位T_l和轴棱锥相位T_a，对m阶矢量Bessel光束进行调制，其中偏振模式相位T_p可表示为

$ T_{\mathrm{p}}=\mathrm{P}\text{hase}(\cos(q\varphi+\beta)) $

(5)

式中：β表示偏振方向；q=m−n，m表示涡旋相位的阶数，m=30。

此时，通过模式提取原理使得Bessel光束的偏振调制对称性被打破，目标模式与其他模式分离，通过滤波只保留所需的目标模式。最后得到的相位调制项T可表示为

$ T=\exp\left(-\mathrm{i}\cdot\frac{2\text{π}r}{d}\right)\cdot\exp\left(\mathrm{i}l\varphi\right)\cdot T_{\mathrm{p}} $

(6)

通过以上调制，便得到了任意偏振模式的矢量Bessel光束。为继续研究这种矢量Bessel光束的光力学特性，引入了光学梯度力的表达式。光陷阱只能囚禁微小颗粒的位置，如果微粒的折射率大于周围介质折射率，则光陷阱在光强极大值处；如果微粒的折射率小于周围介质折射率，则光陷阱在光强极小值处^[28]。本文研究的是微粒折射率大于周围介质折射率的情况，梯度力F_grad指向光强极大处，因此对应焦强度分布的梯度力可表示为^[29-30]

$ F_{\mathrm{grad}}=\frac{n_{\mathrm{b}}^2r_{\mathrm{m}}^3}{2}\cdot\left(\frac{s^2-1}{s^2+2}\right)\nabla\left|E\right|^2 $

(7)

式中：r_m为被捕获粒子的半径；n_b为周围介质的折射率；s为相对折射率，即微粒折射率与周围介质折射率之比。当微粒折射率大于周围介质折射率时，梯度力F_grad指向光强梯度的方向。综上所述，可以计算分析通过模式提取产生的矢量Bessel光束的梯度力强度分布特性。

2 结果与分析

本文重点分析了不同拓扑数l = 0、1、2时对模式提取产生的矢量Bessel光束梯度力分布的影响。为了更好地研究矢量Bessel光束不同偏振模式的提取，适应常见透镜数值孔径及实验的普适性，本文数值孔径NA取值为0.01，所有图中的长度单位均为波长λ，光强归一化为单位值。

首先，图2给出了拓扑数l = 0时，矢量Bessel光束在不同偏振阶数n=1、2、3、4条件下的焦点区域光梯度力强度分布结果。图2（A）～（D）分别为偏振阶数n = 1、2、3、4时的相位分布。由图2可见，随着矢量Bessel光束偏振阶数n的增加，总场光梯度力分布为圆环结构，且光梯度力分布逐渐变大。具体来说，当偏振阶数n=1时，高光亮环上的梯度力方向相反，形成了一个稳定的环形光陷阱，如图2（a）所示。随着偏振阶数n不断增大，高光亮环上的梯度力开始不断扩大，但整体保持着环形光梯度力分布，且形成了稳定的环形光陷阱，分别如图2（d）、（g）、（j）所示。另外，给出了矢量Bessel光束对应不同偏振阶数的总场焦平面能量分布情况，数值计算出了对应图2（a）、（d）、（g） 、（j）所示的高光亮环梯度力分布的直径大小，如图2（E）、（F）、（G）、（H）所示。通过数值计算得出，不同偏振阶数n = 1、2、3、4对应的高光亮环梯度力阱的直径大小分别为52λ、92λ、132λ、164λ。

矢量Bessel光束的另一个非常重要的特性是偏振模式，不同矢量偏振随方位角的旋转而变化，花瓣数量与偏振阶数n的数值关系为|2n|。图2分别给出了x偏振和y偏振时矢量Bessel光束的梯度力分布特性，分别如图2（b）、（e）、（h）、（k）和图2（c）、（f）、（i）、（l）所示。具体来说，当矢量Bessel光束偏振阶数n=1时，在x偏振和y偏振方向上分别形成了两个左右、上下稳定且类似于花瓣状的光梯度力强度分布，且亮光斑上的梯度力方向及强度均相同，分别向亮光斑中心聚集，如图2（b）、（c）所示。类似地，随着偏振阶数n的增大，花瓣数量不断增大，形成了|2n|个大小相等的光陷阱，且光梯度力强度及方向分布相同，随着偏振方向变化，可以形成不同位置的光梯度力，如图2（e）、（f）、（h）、（i）、（k） 、（l）所示。在上述整个演化过程中，可以看出通过调节矢量Bessel光束的偏振阶数可以明显调控光梯度力分布特性，从而形成可控的光陷阱。

为了更清晰地得到每一个光斑焦区内的光梯度力分布特性，结合图2中的各项参数，给出了对应矢量Bessel光束的光梯度力方向和光势能分布，分别如图3和图4所示。从图3可以看出，总场的光梯度力分布是先从光斑暗礁区中心向四周呈发射状分布，同时伴有方向相反的光梯度力，从而形成了一个稳定的光陷阱。值得注意的是，当偏振阶数n=1时，光梯度力阱呈现出一个菱形形状，如图3（a）所示。当偏振阶数n=2时，光梯度力阱呈现出一个更大一点的菱形形状，但还未完全演化成圆环形，如图3（d）所示。随着偏振阶数n不断增大，光梯度力阱逐渐演化成圆环形，且直径不断扩大，如图3（g）、（j）所示。而在对应x偏振和y偏振的情况下，光梯度力方向相同，均由外侧指向花瓣中心，随着偏振阶数和偏振方向的不断变化，形成了|2n|个花瓣形状的光陷阱，如图3（a）、（c）、（e）、（f） 、（h） 、（i）、（k）、（l） 所示。这一有趣的现象，在粒子操纵中有利于形成所需的光梯度力阱，从而可以实现微粒的自由选择和调控。

接着，对这种矢量Bessel光束不同偏振阶数下的光梯度力进行了更详细的分析，给出了对应光势能分布情况，如图4所示。图4更直观地表达了光梯度力能量的强弱，模拟结果与图2所示结果相吻合。从图4可以明显地看出，随着偏振阶数n的不断增大，总场光梯度力呈现圆环状且直径不断扩大，能量也逐渐增大，如图4（a）、（d）、（g）、（j）所示。经过偏振器之后，光梯度力分布发生了变化，由一个完整的圆环破裂成了多个花瓣的形状，形成了多个光陷阱，总体呈现花瓣状，且花瓣数量与偏振阶数有关，花瓣方向与偏振方向息息相关，如图4（b）、（c）、（e）、（f） 、（h）、（i）、（k） 、（l） 所示。比较图2、图3和图4，可以明显地看出不同偏振阶数以及偏振方向下，光梯度力的演化形态各不相同。

为了比较不同拓扑数对矢量Bessel光束梯度力特性的影响，图5给出了拓扑数l=1时矢量Bessel光束不同偏振阶数下的焦点区域光梯度力分布结果。图5（A）～（D）分别为对应不同偏振阶数n=1、2、3、4时的相位分布，图5（E）～（H）分别为对应总场光梯度力阱的直径大小。总体来说，随着矢量Bessel光束偏振阶数n的增大，除图5（a）外，其他光梯度力阱呈现圆环状，且直径不断增大，分别为60λ、100λ、176λ。矢量Bessel光束在偏振阶数n=1时，光梯度力阱为一个实心亮点，如图5（a）所示。从偏振阶数n=2开始，可以清楚地看到光梯度力阱呈现为两个圆环状，且中心亮环梯度力强度高于第二亮环梯度力，并且随着偏振阶数的增大，光梯度力阱逐渐扩大，且两个圆环上均有方向相反的梯度力，如图5（b）、（c） 、（d） 所示。

此外，图6给出了对应矢量Bessel光束在拓扑数l=1时光梯度力方向和光势能分布情况。从图中可以明显地看出，当偏振阶数n=1时，光梯度力为一个实心亮斑状，虽然也有方向向外的梯度力，但整体方向为向内流动，如图6（a）所示；在图（e）中更加明显地看出中心位置的光势能分布。当偏振阶数n=2时，光梯度力形状发生了变化，逐渐向外扩展，在内环形成一个菱形光梯度力阱，且能量流动方向相反，外环形成一个环形光梯度力阱，且方向为向内流动，如图6（b）所示，但在（f）中光势能明显以内环为主，内环光势能远大于外环光势能。当偏振阶数n=3时，光梯度力阱直径不断扩大，在内环处形成一个环形光陷阱，且方向相反，在外环形成一个直径更大的环形光陷阱，如图6（c）所示，在（g）中则明显看出内环光势能远大于外环光势能。当偏振阶数n=4时，在内环处形成一个直径更大的环形光陷阱，且方向相反，同样外环环形光陷阱能量远小于内环光陷阱能量，如图6（d）、（h）所示。

紧接着，本文给出了拓扑数l=2时矢量Bessel光束不同偏振阶数下的焦点区域光梯度力分布特性结果。图7（A）～（D）分别为对应不同偏振阶数n=1、2、3、4时的相位分布，图7（E）～（H）分别为对应总场光梯度力阱的直径大小。总体来说，随着矢量Bessel光束偏振阶数n的增大，除图7（b）外，其他光梯度力分布呈现圆环形，分别为60λ、60λ、92λ。矢量Bessel光束在偏振阶数n=2时，光梯度力分布为一个实心亮点，如图7（b）所示。有趣的是，在偏振阶数n=1和n=3时，光梯度力阱内环直径大小相等，但是光陷阱的形态却不尽相同，如图7（a）、（c）所示。在偏振阶数n=3、4时，光梯度力分布均为两个圆环，且中心亮环梯度力强度高于第二亮环梯度力，并且随着偏振阶数的增大，光梯度力阱逐渐扩大，且两个圆环上均有方向相反的梯度力，如图7（c）、（d）所示。更有趣的是，拓扑数l=2且偏振阶数n=1时的光梯度力分布与拓扑数l=1且偏振阶数n=2时的光梯度力分布基本相同，如图7（a）和6（b）所示。这一有趣的发现，为可调节光镊和微粒操纵等应用领域提供了很好的补充。

图8给出了对应矢量Bessel光束在拓扑数l=2时光梯度力方向和光势能分布情况。从图中可以看出，当偏振阶数n=1时，光梯度力分布与拓扑数l=1且偏振阶数n=2时的光梯度力分布基本相同，在内环形成一个菱形光梯度力阱，且方向相反，外环形成一个环形光梯度力阱，且方向为向内流动，如图8（a）所示，但在（e）中光势能明显以内环为主，内环光势能远大于外环光势能，且两者相距较近。当偏振阶数n=2时，光梯度力分布为一个实心斑状，且梯度力能量较低，整体光梯度力方向为向内流动，如图8（b）、（f）所示。当偏振阶数n=3时，光梯度力分布在内环处形成一个菱形光陷阱，且方向相反，在外环形成一个直径较大的环形光陷阱，但能量低于内环能量，如图8（c）所示。值得注意的是，偏振阶数n=3时的内环光梯度力阱直径虽然与n=2时相等，但形态却不相同。n=2时两个光陷阱相距较近，且环形周边光强较强；n=3时两个光陷阱相距较远，中间呈现出明显的暗礁区，如图8（e）、（g）所示。当偏振阶数n=4时，光梯度力分布继续向外扩大，在内环处形成一个直径更大且能量更强的环形光陷阱，同时外环光陷阱的直径也不断增大，能量不断增强，但外环光陷阱能量还是较内环光陷阱能量低，如图8（d）、（h）所示。

综上，讨论了不同拓扑数l=0、1、2时矢量Bessel光束在不同偏振模式提取下的光梯度力特性分布结果，实现了从单一矢量Bessel光束中提取任意偏振模式的光梯度力分布。从以上光梯度力演化过程来看，可以得出光梯度力分布形状与矢量Bessel光束的拓扑数和偏振阶数有密切关系，并具有一定的规律。此外，矢量Bessel光束在某些拓扑数和偏振阶数时显示出中心亮点，这可能归因于相位影响偏振，相位奇点和偏振奇点相互抵消。因此，通过模式提取得到的矢量Bessel光束的拓扑数和偏振阶数均可以明显调控光梯度力分布，这一有趣特性可用来构成可调控光陷阱，从而形成不同光镊和粒子操纵，满足具体需求。

3 结　论

综上所述，本文对基于模式提取产生矢量Bessel光束焦平面上的可调梯度力进行了模拟研究，证明了不同拓扑数、偏振阶数以及偏振方向可以显著改变梯度力特性分布，通过改变矢量Bessel光束的偏振参数，梯度力的方向、大小、形状等均会发生明显的变化，许多新的梯度力图形可能会出现，这意味着相应的光学陷阱可能会出现，如环形光学陷阱、菱形光学陷阱、花瓣形光学陷阱等。此外，在不同拓扑数下，矢量Bessel光束梯度力演化规律也有显著差异。因此，利用这种模式提取产生矢量Bessel光束的梯度力特性，可以实现微粒的自由选择和操纵，提高了光镊的利用效率、便利性和可控性，为可调光镊的设计提供了一种新的途径。