光束在一些特殊环境，如大气湍流^[1]或复杂介质中传播时，由于介质分布的不均匀以及介质的吸收和散射等因素，其相位和强度会发生不同程度上的变化，使光信号的传播受到影响，光束的成像质量^[2]、功率及稳定性等下降。这也是长距离光通信^[3]和在介质中进行光捕获^[4]与操纵^[5]所要应对的主要难题。为了解决这一问题，研究者最初聚焦于贝塞尔–高斯光和艾里光等无衍射光束。因为这些无衍射光束具有自恢复特性，可以有效抵抗空气干扰的影响。随着研究的深入，研究者发现自聚焦光束也能有效抑制大气湍流带来的影响，使其获得了越来越多的关注^[6-8]。

光束的自聚焦能力是否与抗大气干扰能力成正比，这一问题目前还没有得到系统性的研究。鉴于此，本文比较研究了圆环形艾里光束（circular Airy beams，CAB）^[9]和啁啾环形Airyprime光束（chirped ring Airyprime beam，CRAPB）^[10]这两种典型的突然自聚焦光束（abruptly autofocusing beams，AAB）在大气湍流中的传输特性。AAB是一种特殊的自聚焦光束，其特点是在自由空间传播时，光束在焦点前能保持极低的光强分布，而到达焦点区域时光强会突然提升数十甚至数百倍^[9]。这种特殊光束可被应用于光动力治疗、光学操控、光通信、激光加工等领域^[11-15]。相比于CAB，CRAPB加入了线性啁啾因子调制。调制后的光束具有更复杂的光场结构，同时其自聚焦能力也得到大幅提升。研究结果表明，在相同的大气湍流影响下，虽然CRAPB具有更强的自聚焦能力，但其在传播过程中光束畸变的程度大于CAB，使得其焦点峰值光强衰减比例高于CAB。这说明抗大气干扰能力不单纯取决于光束的自聚焦能力，其光场结构的复杂性也会产生极大的影响。

1 研究方法

目前，针对光束在大气湍流中传播的理论研究工作主要以数值模拟为主，通过Kolmogorov湍流理论^[16]产生一系列随机相位^[17]附加在光束中进行传播。较为常用的大气湍流相位屏的生成方法有功率反演法^[17]和Zernike多项式展开法^[18]。其中，功率反演法是根据大气湍流的功率谱密度函数得出的扰动相位，Zernike多项式展开法是以正交的Zernike多项式为展开函数来表示相位波前。本文使用功率反演法来产生大气湍流相位屏，其计算过程是：先生成一个均值为0、方差为1的复高斯随机矩阵；再将大气功率谱函数对复高斯随机矩阵进行滤波处理；最后进行傅里叶逆变换。上述过程的表达式为

$ \begin{split} {\phi }_{\text{HF}}\left(x,y\right)=&{\sum}_{{{k}_{x}}}{\sum}_{{{k}_{y}}}{\boldsymbol{h}}\left({k}_{x},{k}_{y}\right)\sqrt{{F}_\mathit{\Phi }\left({k}_{x},{k}_{y}\right)}\\&\, \exp \left[{\mathrm{j}}\left({k}_{x}x+{k}_{y}y\right)\right]\Delta {k}_{x}\Delta {k}_{y} \end{split} $

(1)

式中：$ {\phi }_{\text{HF}}\left(x,y\right) $为大气扰动相位；$ \boldsymbol{h}\left({k}_{x},{k}_{y}\right) $为均值为0，方差为1的复高斯随机矩阵；$ {F}_\mathit{\Phi }\left({k}_{x},{k}_{y}\right) $为大气功率谱函数，其表达式为

$ {F}_\mathit{\Phi }\left({k}_{x},{k}_{y}\right)=2\text{π}{k}^{2}\Delta {\textit z}\mathit{\Phi }\left({k}_{r},{\textit z}\right) $

(2)

式中：$ k=2\text{π}/\lambda $为波数；$ \Delta {\textit z} $为大气湍流薄层厚度；$ \mathit{\Phi }\left({k}_{r},{\textit z}\right) $为折射率功率密度函数。本文使用Kolmogorov模型的折射率功率密度函数，其表达式为

$ {\varPhi }\left({k}_{r},{\textit z}\right)=0.033C_{n}^{2}k_{r}^{-11/3} $

(3)

式中：$ C_{n}^{2} $为大气折射率结构函数，表示大气湍流强度；$ {k}_{r}=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}} $为空间波数，$ {k}_{x} $、$ {k}_{y} $分别是以$ \Delta {k}_{x}=2\text{π} /{L}_{x} $，$ \Delta {k}_{y}=2\text{π} /{L}_{y} $为间隔的波数范围，其中$ {L}_{x} $、$ {L}_{y} $为大气扰动相位屏尺寸。由于傅里叶变换自身约束，功率反演后的大气湍流相位屏缺乏低频成分^[19]，表现为频率向低频方向移动时，功率谱急剧上升，从而导致位于低频区域的信息采样不足。因此，使用次谐波法^[19]来补偿低频成分。次谐波法的表达式为

$ \begin{split} {\phi }_{\text{LF}}\left(x,y\right)=&\sum\limits_{p=1}^{Np}\sum\limits_{m=-1}^{1}\sum\limits_{n=-1}^{1}{h}_{p}\left(m,n\right)\sqrt{{F}_\mathit{\Phi }\left(m\Delta {k}_{xp},n\Delta {k}_{yp}\right)}\\&\,\exp \left[{\mathrm{j}}\left(m\Delta {k}_{xp}x+n\Delta {k}_{yp}\right)\right] \Delta {k}_{xp}\Delta {k}_{yp}\\[-1pt] \end{split}$

(4)

式中，$ \Delta {k}_{xp}=\Delta {k}_{x}/{3}^{p} $、$ \Delta {k}_{yp}=\Delta {k}_{y}/{3}^{p} $为波数间隔，$ p $为次谐波级数，表示波数间隔划分次数。每完成一回次谐波补偿，波数间隔将缩小为原来的1/3。因此，最终的大气扰动相位屏表达式为

$ \phi ={\phi }_{\text{HF}}\left(x,y\right)+{\phi }_{\text{LF}}\left(x,y\right) $

(5)

式中，$ {\phi }_{\text{HF}} $、$ {\phi }_{\text{LF}} $为大气扰动相位屏的高频成分与低频成分。

2 分析讨论

CAB由一维艾里函数作径向对称获得，其初始面光场分布^[9]为

$ {u}_{\text{CAB}}\left(r,0\right)=CAi\left(\frac{{r}_{0}-r}{{w}_{0}}\right)\exp \left(a\frac{{r}_{0}-r}{{w}_{0}}\right) $

(6)

式中：C为振幅常数；$ Ai\left(\cdot \right) $为艾里函数；r₀为光束的主光环半径；w₀为缩放比例系数；0＜a＜1为指数衰减因子。CAB的初始面光强分布如图1（a）所示，光束参数$ {r}_{0}=0.48\;\text{mm} $，w₀ = 0.1 mm，a = 0.1，波长为532 nm。CAB在自由空间自聚焦后的焦斑分布呈圆对称分布，如图1（b）所示。图1（c）给出了沿x轴的焦点光强分布，光强峰值约为46.3，焦斑的半高宽约为0.091 mm。

CRAPB是由N个线性啁啾环形Airyprime光束组成，其中第N个线性啁啾环形Airyprime光束是由线性啁啾Airyprime光束在初始平面绕坐标（b，b）旋转$ \theta =2\text{π}/N $得到。线性啁啾Airyprime光束的初始面表达式^[10]为

$ \begin{split} u\left(x,y,0\right)=&A\exp \left(\frac{ax}{{w}_{0}}+\frac{{\mathrm{i}}{c}_{1}x}{{w}_{0}}\right)A{i}^{\prime}\left(\frac{x}{{w}_{0}}\right)\\& \exp \left(\frac{ay}{{w}_{0}}+\frac{{\mathrm{i}}{c}_{1}y}{{w}_{0}}\right)A{i}^{\prime}\left(\frac{y}{{w}_{0}}\right) \end{split} $

(7)

式中：A为振幅常数；c₁为线性啁啾因子；$ A{i}^{\prime}\left(\cdot \right) $为艾里函数的微分运算。所以，CRAPB的总表达式为

$ {u}_{{\mathrm{CRAPB}}}\left(x,y,0\right)=\sum\limits_{n=1}^{N}E\left({x}_{n},{y}_{n},0\right) $

(8)

式中，$ {x}_{n} $、$ {y}_{n} $的表达式分别为

$ {x}_{n} = \frac{x\cos {\theta }_{n} - y\sin {\theta }_{n} + b}{{w}_{0}},{y}_{n} = \frac{x\sin {\theta }_{n} + y\cos {\theta }_{n} + b}{{w}_{0}} $

(9)

图1（d）给出了CRAPB的初始面光强分布，图1（e）和（f）分别给出了CRAPB在自由空间中的焦点光强分布以及沿x轴的焦点光强分布。光束参数为：b = 0.25，c₁ =－0.5，N = 50，波长、$ {w}_{0} $和a与CAB的相同。为便于比较，设两光束的初始面最大光强值为1。从图1（a）和（d）可知，相比于CAB，CRAPB的初始面旁瓣光斑形状结构复杂，且光束直径大，但聚焦后焦斑仍然呈圆对称分布。其焦点光强峰值为219.4，焦斑的半高宽度略小于CAB，约为0.08 mm。因此，CRAPB自聚焦能力优于CAB。

本文使用多层大气湍流相位屏叠加的方法，对上述两种光束在大气湍流中的传输特性进行了仿真计算。即将光束从初始面传播至观察面的过程分成多个间隔相同部分，每个间隔的传输距离设置为$ \Delta {\textit z} $。设光束在初始面的光场分布为$ {u}_{0}\left(x,y\right) $，当光束衍射到相位屏前表面时，对光束附加上大气湍流相位$ \exp \left(\text{i}\phi \right) $，此时位于第1个相位屏后表面的光场分布为

$ U\left(x,y\right)={u}_{0}\left(x,y\right)\exp \left(\text{i}\phi \right) $

(10)

然后，使用傅里叶角谱衍射公式计算衍射传播，衍射距离为$ \Delta {\textit z} $，到达下一相位屏前表面的光场分布为

$ \begin{split} {U}^{\prime}\left(x,y\right)=&{F}^{-1}\Big\{F\left\{{u}_{0}\left(x,y\right)\exp \left(\text{i}\phi \right)\right\} \\& \exp \left(\text{i}k\Delta {\textit z}\left(1-{\lambda }^{2}\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)/2\right)\right)\Big\} \end{split} $

(11)

依次重复上述步骤直至观察面，最终可得到光束在大气湍流中传播结果。使用分步衍射计算方法的另一个优点是，能够直观地看出光束在大气湍流衍射传播过程中，不同位置光束轮廓的变化。

大气湍流按强度可分为弱湍流、中等强度湍流和强湍流3个等级^[20]，所对应的范围分别是：$ C_{n}^{2}{{≤}} 1\times {10}^{-16}\;{\text{m}}^{-2/3} $、$ 1\times {10}^{-16}\;{\text{m}}^{-2/3} {{＜}} C_{n}^{2}{{≤}}1\times {10}^{-14}\;{\text{m}}^{-2/3} $、$ C_{n}^{2} {{＞}} 1\times {10}^{-14}\;{\text{m}}^{-2/3} $。本文将采样点数设置为$ N=512 $，大气湍流相位屏尺寸为$ {L}_{x}={L}_{y}=6\;\text{mm} $，大气湍流薄层厚度$ \Delta {\textit z}=100\;\text{mm} $。在计算过程中，为避免$ {F}_\mathit{\Phi }\left(0,0\right) $的功率谱上升至无穷大，需要将$ {F}_\mathit{\Phi }\left(0,0\right) $的值设置为0。对相位屏进行低频补偿时，将次谐波级数p设置为3。图2给出了Kolmogorov模型在不同折射率结构函数下的大气湍流相位屏。图2（a）、（b）和（c）分别表示$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-13}\;{\text{m}}^{-2/3} $、$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-12}\;{\text{m}}^{-2/3} $、$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-11}\;{\text{m}}^{-2/3} $时的大气湍流相位屏。由图2可知，折射率结构函数越大，相位屏起伏越大。相位起伏位置具有随机性，能够模拟出大气在自由空间中的随机变化。

图3和图4分别给出了CAB和CRAPB在3种不同折射率结构函数条件下的焦点光强分布情况。从图3和图4的（a）~（c）可以观察到：随着大气干扰增强，焦斑形状逐渐变形，无法再保持圆对称分布；其形状大小受大气干扰影响相对较小，随大气干扰增强略有增大；焦点位置逐渐偏离光轴位置，偏移距离与大气湍流强度成正比。而焦点光强峰值受大气干扰影响较大，CAB在不同程度大气干扰下的焦点光强峰值依次下降45.88、38.75、12.56，对应光强下降百分比约为0.9%、16.3%、72.8%；CRAPB的焦点光强峰值依次下降215.46、176.65、52.06，对应光强下降百分比约为1.79%、19.48%、76.2%。上述现象表明，大气湍流并未改变光束的自聚焦性质，但对自聚焦能力产生较大干扰，且CRAPB更易受到大气扰动的影响。

图5为CAB和CRAPB在3种不同折射率结构函数条件下，传播至300 mm处的光强分布。从图5（a）中可以观察到，在$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-13}\;{\text{m}}^{-2/3} $大气湍流条件下，两光束结构完整，光环强度有轻微起伏。随着湍流强度的增大，在$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-12}\;{\text{m}}^{-2/3} $时，两光束的光环光强起伏明显，光环出现畸变，不再呈圆对称结构，但仍保持环状特征。此外，可以观察到CRAPB主光环的光强度分布不均匀，起伏大于CAB。当湍流强度达到$ C_{n}^{2}=5\times {10}^{-11}\;{\text{m}}^{-2/3} $时，两光束出现明显畸变，且CRAPB光束的畸变情况较CAB的更为显著，其环状结构已被破坏。这是由于在初始平面上，CAPB的有效面积要大于CAB，因此在聚焦前半段过程中受到的大气干扰更为严重。更关键的是，由于CRAPB的旁瓣光环形状小且分布密集，这些旁瓣光环将更容易受到大气湍流的影响产生光束畸变，使得旁瓣光环变得弥散，导致旁瓣光强在传播的过程中迅速减小。这是一个持续的过程，弥散的程度随着光束的传播距离增大而一直累加，最终导致光束质量严重下降。虽然CRAPB具有更强的自聚焦能力，但其具有复杂的光场结构，受到大气干扰后更难保持其原有环状结构，且光斑光强降低会导致自聚焦能力受到更大的影响。因此，在评估光束的抗大气干扰能力时需要同时考虑光束的自聚焦能力及光场本身结构复杂程度的影响。

3 结　论

本文对CAB和CRAPB在不同大气湍流情况下的自聚焦特性进行了仿真模拟。首先，在焦点位置上，CRAPB的焦斑峰值强度下降比例高于CAB，且背景杂光面积小于CAB。两种光束在大气湍流的影响下，焦斑位置都发生偏移，在较强的湍流影响下，CRAPB偏移量略小于CAB。此外，在3种不同大气湍流中传播时，大气湍流并未改变光束的自聚焦性质，显示出自聚焦光束的抗干扰能力。两光束在3种不同大气湍流条件下传播至300 mm处的仿真结果表明，在大气湍流强度相同时，结构复杂的光束更容易发生畸变，旁瓣光环更容易变得弥散，导致旁瓣光强减小，聚焦后焦斑光强出现更大幅度的下降。因此，抗大气干扰能力不单纯取决于光束的自聚焦能力，其光场结构的复杂性也会产生很大的影响。这些仿真结果对于自聚焦光束在光通信传输、生物组织介质中成像、光操控等应用领域的研究具有一定的借鉴意义。