光具有波粒二象性，即波动性和粒子性。波动性特征包括振幅、相位、偏振、波长、频率等^[1]。粒子性说明光具有角动量和线动量，角动量分为与偏振特性相关的自旋角动量（spin angular momentum，SAM）和与空间相位分布相关的轨道角动量（orbital angular momentum，OAM）^[2]。近些年，紧聚焦条件下SAM-OAM的转化及其逆过程研究引起了研究者的广泛兴趣。2007年，Zhao等^[3]将左、右旋圆偏振光通过高数值孔径聚焦后，发现聚焦光场出现了涡旋相位，并将这种由SAM转化为OAM的现象称为自旋–轨道角动量转换（spin-to-orbital angular momentum conversion，SOC）。2009年，该课题组实验证明了SOC的发生^[4]。2018年，Han等^[5]利用径向偏振光的紧聚焦光场，发现没有发生OAM至SAM的整体转化，只是对SAM的局域化起到了“催化”作用。同年，Yu等^[6]发现线偏振涡旋光束在紧聚焦条件下也发生了SAM局域化现象。2021年，本课题组研究了傍轴条件下径向偏振圆形艾里涡旋光束在焦点区域的偏振态突变现象，发现仍然是OAM的引入导致了SAM的局域化现象^[7]。目前的研究还没有发现OAM至SAM的整体转换，但OAM的引入会使SAM发生局域化现象，又被称为自旋霍尔效应，OAM在其中起到了类似催化剂的作用。

上述有关SAM局域化现象的研究大多数聚焦于对称的矢量场，而针对对称破缺光束的研究却相对较少。2021年，Khonina等^[8]将发生遮挡、偏离光轴的线偏振光进行紧聚焦，发现改变入射光束的位移距离、大小及方向，能调控光强的横向分量，并对SAM及OAM的再分布起到催化作用。同年，Qiu等^[9]打破涡旋光束的对称性，提出直接测量其坡印亭矢量倾斜角的新方法，并观测到了能流的轨迹。2023年，Cheng等^[10]对圆偏振高斯光束进行离轴及遮挡处理，发现随着离轴距离或遮挡面积的增加，SAM与内禀OAM的相互作用逐渐过渡到SAM与外禀OAM相互作用，并将这种现象称为拓扑相变。2024年，Zhou等^[11]通过离轴移动角向偏振光控制偏振奇点，引入偏移指数对V奇点进行控制，从而精细控制C奇点对，并利用其手性反转特性对散射场的纳米颗粒进行仿真验证，该方法具有实现亚纳米级位移传感精度。同年，Zhang等^[12]也对偏振奇点离轴处理，即打破其对称性，通过设计自由空间中的离轴偏振奇点，分析了自旋轨道耦合与OAM光谱的关系，揭示了自旋分离方向与偏振奇点离轴方向垂直的特性。对称破缺对紧聚焦光场的影响仍有很多问题有待展开进一步的研究，基于此，本文详细研究了对称破缺对紧聚焦径向偏振涡旋光场的作用规律，发现引入对称破缺后，自旋霍尔效应也会发生显著变化，并对这些现象进行了分析与解释。

1 理论方法

自由空间中电磁场的SAM可表示为^[13]

$ ^{ } {\boldsymbol{J}}_{\mathrm{SAM}}=\frac{\mathrm{Im}({\varepsilon }_{0}{\boldsymbol{E}}^{*}\times \boldsymbol{E}+{\mu }_{0}{\boldsymbol{H}}^{*}\times \boldsymbol{H})}{4\omega } ^{ } $

(1)

式中：${\boldsymbol{E}} $和$ {\boldsymbol{H}} $分别表示电磁场的电场和磁场分量；$ {\varepsilon }_{0} $为真空介电常数；$ {\mu }_{0} $为真空磁导率；$ \omega $表示电磁波的角频率。在非磁介质中，只考虑电场的SAM分量，该3个正交分量可写为

$ \begin{aligned}{S}_{x}& = \frac{{\varepsilon }_{0}}{4\omega }\mathrm{Im}(E_{y}^{*}{E}_{{\textit z}} - E_{{\textit z}}^{*}{E}_{y}) = \frac{{\varepsilon }_{0}}{2\omega }\left| {E}_{{\textit z}}\right| \left| {E}_{y}\right| \sin ({\varphi }_{{\textit z}} - {\varphi }_{y})\\ {S}_{y}& = \frac{{\varepsilon }_{0}}{4\omega }\mathrm{Im}(E_{{\textit z}}^{*}{E}_{x}-E_{x}^{*}{E}_{{\textit z}}) = \frac{{\varepsilon }_{0}}{2\omega }\left| {E}_{x}\right| \left| {E}_{{\textit z}}\right| \sin ({\varphi }_{x} - {\varphi }_{{\textit z}})\\ {S}_{{\textit z}}& = \frac{{\varepsilon }_{0}}{4\omega }\mathrm{Im}(E_{x}^{*}{E}_{y} - E_{y}^{*}{E}_{x}) = \frac{{\varepsilon }_{0}}{2\omega }\left| {E}_{y}\right| \left| {E}_{x}\right| \sin ({\varphi }_{y} - {\varphi }_{x})\\[-1pt] \end{aligned} $

(2)

径向偏振涡旋光束的紧聚焦电场可以使用Richards-wolf衍射积分计算获得^[14–15]

$ \begin{split} \boldsymbol{E}(\rho ,\varphi ,{\textit z})=&-\frac{\mathrm{i}kf}{2\text{π} }\int\limits_{0}^{\alpha }\mathrm{d}\theta \int\limits_{0}^{2\text{π} }\mathrm{d}\phi {E}_{\rm{in}}(\theta )\\& \sqrt{\cos \theta }\sin \theta \exp ({\rm{i}}{n}\phi ) \times \left[ \begin{array}{c} \cos \theta \cos (\phi -\varphi ){\boldsymbol{e}}_{\rho }\\ \cos \theta \sin (\phi -\varphi ){\boldsymbol{e}}_{\varphi }\\ -\sin \theta {\boldsymbol{e}}_{{\textit z}} \end{array} \right] \times \\& \mathrm{exp}(\mathrm{i}k(f\cos \theta +\rho \sin \theta \cos (\phi -\varphi ))\\[-1pt] \end{split} $

(3)

式中：$ n $为入射光携带的涡旋相位拓扑荷数；$ E\mathrm{_{in}}(\theta) $为入射光的振幅分布。聚焦光路示意图如图1所示，其中R为入射光瞳半径，f为透镜焦距，本文取$ f=1\ \mathrm{mm} $；$ \alpha =\mathrm{arc}\sin (NA) $，$ NA=R/f $为数值孔径，取$ NA=0.95 $。$ \left(r,\phi \right) $和$ \left(\rho ,\varphi \right) $分别为光阑平面和焦平面的极坐标。

入射光振幅选取拉盖尔−高斯光束，表达式为^[2]

$ {E}_{\mathrm{in}}(r)={\left(\frac{\sqrt{2}r}{{w}_{0}}\right)}^{\left| n\right| }L_{p}^{n}\left(\text{2}\frac{{r}^{2}}{{w}_{0}{}^{2}}\right)\exp \left(-\frac{{r}^{2}}{{w}_{0}{}^{2}}\right) $

(4)

式中：$ L_{p}^{n}\left(\text{*}\right) $为拉盖尔函数；$ {w}_{0} $为束腰半径。本文选取径向指数$ p=0 $，此时$ L_{0}^{n}\equiv 1 $。透镜满足正弦条件，有$ r=f\cdot \sin \theta $，因此式（4）可简化为

$ ^{ } {E}_{\mathrm{in}}(\theta )={\left(\frac{\sqrt{2}\sin \theta }{\sin \alpha }\right)}^{\left| n\right| }\exp \left(-\frac{{\sin }^{2}\theta }{{\sin }^{2}\alpha }\right) ^{ } $

(5)

矢量光场的偏振分布可以使用斯托克斯参量描述，其计算表达式为

$ \left\{\begin{split}& {S}_{0}={\left| {E}_{x}\right| }^{2}+{\left| {E}_{y}\right| }^{2}\\& {S}_{1}={\left| {E}_{x}\right| }^{2}-{\left| {E}_{y}\right| }^{2}\\& {S}_{2}=2\left| {E}_{x}\right| \left| {E}_{y}\right| \cos \delta \\& {S}_{3}=2\left| {E}_{x}\right| \left| {E}_{y}\right| \sin \delta \end{split}\right. $

(6)

式中，$ \delta $表示左、右旋圆偏振之间的相位差。当$ {S}_{3}=0 $时，表示电场呈线偏振态分布；当$ {S}_{3}=\pm 1 $时，分别表示呈右旋、左旋圆偏振态分布；其余则表示电场呈椭圆偏振态。

2 仿真分析

首先考虑不携带涡旋相位的情况。图2给出了径向偏振光及其在半遮挡情况下的聚焦光场光强分布和偏振分布：（a）、（b）、（c）分别为径向偏振光束的初始面光强、焦平面横向电场分量的光强及偏振分布、焦平面横向电场分量的斯托克斯$ {S}_{3} $分布；（d）、（e）、（f）分别为半遮挡径向偏振光束初始面光强、焦平面横向电场分量的光强及偏振分布、焦平面横向电场分量的斯托克斯$ {S}_{3} $分布。从图2（b）可知，完整径向偏振光聚焦后，横向电场仍保持径向偏振特性，因此未发生纵向SAM的局域化现象。半遮挡后，其初始面的振幅对称性被打破，形成的焦斑光强呈y轴对称分布，表现为双峰结构。此时焦斑横向电场无法再保持径向偏振态，而是形成局域线偏振、圆偏振及椭圆偏振的复杂混合偏振态，如图2（e）所示。结合图2（f）的斯托克斯$ {S}_{3} $分布可知，此时焦斑双峰处呈左旋与右旋偏振态分布，左峰为左旋偏振，右峰为右旋偏振，偏振态分布发生了明显分离，即产生了自旋霍尔效应。

为更好地理解这一现象，图3给出了完整径向偏振光及其半遮挡后，焦斑区域电场3个正交分量的光强、相位和SAM分布：（a）、（b）分别为径向偏振光焦斑电场各分量的光强、SAM分布图，其中（a）右上角子图为电场各分量的相位分布；（c）、（d）分别为半遮挡的径向偏振光焦斑电场各分量的光强、SAM分布图，其中（c）右上角子图为电场各分量的相位分布。图中3个分量的光强分布分别对总光强进行了归一化处理，SAM分量也做了相应的归一化处理。由图3（a）可知，径向偏振光紧聚焦后，纵向z分量占据主导地位，这与已有报道结果一致^[16]。如图2（b）所示，由于横向电场保持径向偏振特性，因此此时纵向SAM处处为零。与纵向SAM相比，横向SAM的矢量和虽也为零，但表现出很强的局域化现象。

当光束被半遮挡后，聚焦电场发生重新分布，其中纵向z分量仍然占据主导地位，电场的y分量则发生显著变化，由双峰结构转变为单峰结构，峰值出现在光轴位置，且光强峰值显著大于x分量，使得原横向电场光轴处的偏振奇点消失，并转变为线偏振分布，如图1（e）所示。完整的径向偏振光中，左、右旋电场分量携带等量但符号相反拓扑荷数的OAM，从而在光轴位置形成偏振奇点；而对称破缺会使该偏振奇点消失，这表明此时发生了自旋–轨道相互作用，促使左、右旋光子的OAM部分抵消，进而在光轴位置形成线偏振态。受此影响，$ {S}_{x} $ 的局域化程度显著变弱；与此相反，$ {S}_{{\textit z}} $ 发生了明显的局域化现象，而$ {S}_{y} $ 的分布与未遮挡时相类似。由此可知，半遮挡显著改变了电场y分量的分布，导致$ {S}_{{\textit z}} $ 发生了局域化，同时弱化了$ {S}_{x} $ 的局域化。

接下来考虑携带涡旋相位的情况。图4为拓扑荷数$ n=1 $时，径向偏振涡旋光及其在半遮挡情况下的聚焦光场光强分布和偏振分布。由图4（a）、（b）可知，引入涡旋相位后，焦平面电场也无法保持原有径向偏振特性，且发生了明显的纵向SAM局域化现象。这是因为，此时光束中左旋分量的拓扑荷数由不带涡旋相位时的−1变为了0，相位奇点消失，因此左旋电场汇聚于光轴位置，呈亮斑分布；光束中右旋分量的拓扑荷数由不带涡旋相位时的1变为了2，右旋分量电场向远离光轴的位置移动，形成焦斑的旁瓣光环，如图4（a）、（b）所示。

当光束被半遮挡后，与不携带涡旋相位的情况相比，焦斑光强不再呈y轴对称分布，而是呈偏心分布，光强质心向右偏移。此时，左旋分量集中在光轴处，形成了焦斑的光强主峰，因此光轴位置仍然保持左旋偏振；右旋分量则不再以光轴为中心呈对称分布，而是集中于光轴右侧，形成峰值相对较低的次光强峰，右旋分量的局域化现象显著增强。

图5给出了拓扑荷数$ n=1 $时，径向偏振涡旋光束及其半遮挡后焦斑电场分量的光强、相位及SAM分布图。由图5（a）可知，此时电场的纵向z分量在光轴位置保持了初始面的涡旋相位，呈中空分布；而电场x、y分量的涡旋相位发生分裂，并偏离光轴位置，使其光轴位置出现峰值。这种横向电场分布使得$ {S}_{{\textit z}} $在光轴位置出现峰值，表现出强局域化现象，如图5（b）所示。此时$ {S}_{x} $和$ {S}_{y} $也表现出局域化现象，但局域化程度弱于$ {S}_{{\textit z}} $。

当光束被半遮挡后，从图5（c）可知，电场的x、y和z分量均出现光强质心向右平移的现象。特别是y和z分量的相位奇点均偏离y轴，向左发生显著偏移。此时光强无法再保持对称分布，光子被相位奇点“挤”至y轴右侧，总光强峰值向右平移。对比图5（b）和图5（d）的$ {S}_{{\textit z}} $分量分布可见，由于此时左旋分量不携带OAM，因此未发生偏移现象，仍然处于光轴位置；而携带OAM的右旋分量在对称破缺造成的自旋–轨道相互作用下，出现OAM中心偏移现象。电场分量的向右偏移也使SAM的分布失去了对称性，与不携带涡旋相位的情况相似，$ {S}_{x} $的局域化程度变弱，峰值减小。与此相反，$ {S}_{y} $的局域化程度变强，峰值增大。一方面，遮挡后横向光强的焦斑尺寸变大，使$ {S}_{{\textit z}} $的峰值减小；另一方面，遮挡后电场的右旋分量分布变得更加集中，使$ {S}_{{\textit z}} $的谷值增大。

图6给出了拓扑荷数$ n=2 $时，径向偏振涡旋光及其在半遮挡情况下的聚焦光场光强分布和偏振分布。此时光束中左旋分量的拓扑荷数变为1，右旋分量的拓扑荷数变为3。因此，未遮挡时焦斑呈中空分布，左旋分量的拓扑荷数比右旋分量小2，形成半径较小的主光环，右旋分量则形成半径较大的次光环，如图6（a）、（b）所示。

当光束被半遮挡后，对比图4（c）和图6（c）可见，随着拓扑荷数的增大，光强质心进一步向右平移，光轴位置出现明显的中空光环。相比未遮挡的光束，聚焦电场的左旋和右旋分量分布变得更为集中，二者分别组成了焦斑的主峰和次峰。

图7给出了$ n=2 $时，径向偏振涡旋光束及其半遮挡后的焦斑电场分量的光强、相位及SAM分布图。遮挡后的变化规律与$ n=1 $时类似，$ {S}_{x} $的局域化程度变弱，峰值减小；与之相反，$ {S}_{y} $的局域化程度变强，峰值增大。比较图7（b）和图7（d）的$ {S}_{{\textit z}} $分量分布可以发现，此时左旋分量携带了OAM，因此也发生了偏移现象，而右旋分量携带的OAM大于左旋分量，因此偏移距离更大。这说明这种对称破缺造成的OAM中心偏移现象取决于光子携带的OAM，OAM越大，偏移越明显。

3 结　论

本文详细研究了径向偏振涡旋光引入对称破缺后的紧聚焦光场特性。研究发现，当光束不携带涡旋相位时，引入对称破缺会促使纵向SAM的发生明显的局域化现象，同时横向$ {S}_{x} $的局域化程度减弱；当携带涡旋相位的光束引入对称破缺后，焦斑光强分布发生了明显的偏心现象，且该现象随着拓扑荷数的增大而加剧。此时横向$ {S}_{x} $的局域化程度减弱，但横向$ {S}_{y} $的局域化程度显著。此外，对称破缺使得电场右旋分量的分布更为集中，导致$ {S}_{{\textit z}} $的谷值增大，进而使$ {S}_{{\textit z}} $的局域化程度显著增强。