引　言

众所周知，光源的相干性对相干光场的强度分布起着非常重要的作用。因此，相干调控是控制远场光强分布十分有效的工具^[1-6]。对稳态部分相干光束的相干结构进行调控可以产生各种部分相干光源，如多高斯关联谢尔模型源^[7]、不对称余弦高斯关联谢尔模型源^[8]、厄米高斯部分相干源^[9]等。这些光源在传播过程中会有一些奇异的特性，如远场平顶、自分裂、自聚焦、自旋转等。这些新的特性和现象使部分相干光源在光通信、微粒操控、光束整形、显微成像等领域得到了广泛应用。空间域相干调控技术为时间域的相干调控提供了很多方式和方法上的借鉴^[10]。

近年来，超短脉冲激光技术发展迅速，在实验室已经可以获得阿秒量级的光脉冲^[11]。脉冲光场调控，即对激光脉冲波形、脉宽、啁啾、频率、相干结构等进行调控，逐渐引起国内外研究者的密切关注，已成为现代光学的前沿和热点研究领域之一^[12]。对部分相干脉冲光束的时间关联结构进行构建和调控可以产生多种新的现象和效应，如对脉冲光束时间相干性的精确控制不仅可以改变脉冲干涉条纹的可见度^[13]，还可以提高脉冲光束鬼成像的清晰度^[14]；对时间关联结构的构建和调控可以产生多种部分相干脉冲光源，如拉盖尔（厄米）高斯时间关联、相干光栅时间关联的部分相干脉冲光源^[15-16]。上述研究都局限于时间域中的部分相干脉冲光源。

本文同时考虑脉冲光束的空间调控和时间调控，构建了一个新颖的时间余弦–多高斯关联和空间余弦–多高斯关联部分相干脉冲光束，借助广义惠更斯–菲涅尔传输公式，推导出了时空余弦多高斯关联部分相干（spatiotemporal cosine-multi-Gaussian correlation partially coherent, STCMGCPC）脉冲光束在传输距离z处的互相干函数表达式，进一步获得了其时空强度分布的演化规律。研究发现该脉冲光束在色散介质中出现了自分裂和自聚焦现象，并对这些现象的物理机制进行了讨论。

1 基本原理

在时空域中，脉冲光束的相干特性可以通过它们的互相干函数定义为

$ \varGamma \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1},{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2}} \right) = {{＜}} U\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1}} \right)U\left( {{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2}} \right) {{＞}} $

(1)

式中，U（r, t）为在空间位置r =（x, y）和时间坐标t的脉冲复解析信号，尖括号表示系综平均。一般来说，为使互相干函数在物理上是可实现的，Γ（ r₁, t₁, r₂, t₂）必须对应于非负的积分核^[17]。对于式（1），非负定义的充分条件是互相干函数必须表示为时空域的叠加积分，即

$ \begin{split} & \varGamma \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1},{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2}} \right) = \iint {{p_{\mathrm{t}}}\left( {{v_1}} \right)}{p_{\mathrm{s}}}\left( {{v_2}} \right)\times\\&\qquad {H^ * }\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1},{v_1},{v_2}} \right)\times H\left( {{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2},{v_1},{v_2}} \right){\mathrm{d}}{v_1}{\mathrm{d}}{v_2} \end{split} $

(2)

式中：p（v）为非负的傅里叶变换函数；v为积分变量；H为任意函数；H^*为H函数的复共轭；下标t和s分别为时间域和空间域。通过选择合适的p（v）和H，可以为部分相干脉冲光束定义各种各样的时空相干结构函数。

为了引入STCMGCPC脉冲光束，将p（v）和H定义为

$ \begin{split} & p_{{\mathrm{t}}}(v) = \dfrac{T_{\mathrm{c}}}{\sqrt{2{\text{π}}}} \dfrac{1}{C_0} \displaystyle \sum_{f=1}^{F} (-1)^{f-1} \binom{F}{f} \times\\& \qquad \exp \left[ -\dfrac{f T_{\mathrm{c}}^2 v^2}{2} \right] \cos \left[ \dfrac{n \sqrt{2{\text{π}}} (t_2 - t_1)}{T_{\mathrm{c}}} \right] \end{split} $

(3)

$ \begin{split} & p_{\mathrm{s}}(v) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{2{\text{π}}}} \dfrac{1}{C_1} \displaystyle \sum_{g=1}^{G} \dfrac{(-1)^{g-1}}{\sqrt{g}} {\binom{G}{g}} \times\\& \quad \exp \left[ -\dfrac{g \sigma^2 v^2}{2} \right] \cos \left[ \dfrac{m \sqrt{2{\text{π}}} ({\boldsymbol{r}}_2 - {\boldsymbol{r}}_1)}{\sigma} \right] \end{split} $

(4)

$ \begin{split} & H({\boldsymbol{r}}, t, v_1, v_2) = \exp \left[ -\dfrac{t^2}{4 T_0^2} \right] \exp \left[ {\mathrm{i}} v_1 t \right] \times\\& \quad \exp \left[ -\dfrac{r^2}{4 \delta^2} \right] \exp \left[ {\mathrm{i}} v_2 {\boldsymbol{r}} \right] \end{split} $

(5)

式中：T_c为脉冲时间相干长度；T₀为脉冲宽度；σ为空间相干长度；δ为方均根束宽；$ {C_0} = \displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)} \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt f }} $，$ {C_1} = \displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)} \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{g} $为归一化参数；$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right) $和$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right) $为二阶多项式，其中F和G为多高斯参数，f和g为求和变量；n和m分别为时间和空间光束阶数。将式（3）、式（4）、式（5）代入式（2）后，得到脉冲光束的互相干函数

$ \begin{split} & \varGamma({\boldsymbol{r}}_1, t_1, {\boldsymbol{r}}_2, t_2) = \exp \left[ -\dfrac{{\boldsymbol{r}}_1^2 + {\boldsymbol{r}}_2^2}{4 \delta^2} \right] \varGamma({\boldsymbol{r}}_1, {\boldsymbol{r}}_2) \times \\& \quad \exp \left[ -\dfrac{t_1^2 + t_2^2}{4 T_0^2} \right] \mu(t_1, t_2)\exp \left[ -{\mathrm{i}} \omega_0 (t_2 - t_1) \right]\\[-1pt] \end{split} $

(6)

$ \begin{split} & \varGamma({\boldsymbol{r}}_1, {\boldsymbol{r}}_2) = \dfrac{1}{C_1} \displaystyle \sum_{g=1}^{G} \binom{G}{g} \dfrac{(-1)^{g-1}}{g} \times\\& \quad \exp \left[ -\dfrac{({\boldsymbol{r}}_1 - {\boldsymbol{r}}_2)^2}{2 g \sigma^2} \right] \cos \left[ \dfrac{m \sqrt{2{\text{π}}} ({\boldsymbol{r}}_2 - {\boldsymbol{r}}_1)}{\sigma} \right] \end{split} $

(7)

$ \begin{split} & \mu(t_1, t_2) = \dfrac{1}{C_0} \displaystyle \sum_{f=1}^{F} \binom{F}{f} \dfrac{(-1)^{f-1}}{\sqrt{f}} \exp \left[ -\dfrac{(t_1 - t_2)^2}{2 f T_{\mathrm{c}}^2} \right]\times \\& \quad\cos \left[ \dfrac{n \sqrt{2{\text{π}}} (t_2 - t_1)}{T_{\mathrm{c}}} \right] \end{split} $

(8)

式中：μ为时间相干度；ω₀为脉冲载波频率。

式（7）和式（8）分别表示脉冲光束在源平面空间位置r₁和r₂与瞬时时刻t₁和t₂的相干度。

接着，讨论STCMGCPC脉冲光束在二阶色散介质中的传播。互相干函数在这种介质中的传播可以用广义柯林斯积分公式来研究^[18]

$ \begin{split}& \varGamma \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1},{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2},{\textit z}} \right) = {\left( {\dfrac{k}{{2{\text{π}} {B_{\mathrm{s}}}}}} \right)^2}\left( {\dfrac{{{\omega _0}}}{{2{\text{π}} {B_{\mathrm{t}}}}}} \right)\iint {\varGamma \left( {{{\boldsymbol{r}}_{10}},{t_{10}},{{\boldsymbol{r}}_{20}},{t_{20}}} \right)} \times \\& \qquad {\mathrm{exp}}\left\{ { - \dfrac{{{\mathrm{i}}k}}{{2{B_{\mathrm{s}}}}}\left[ {{A_{\mathrm{s}}}\left( {{\boldsymbol{r}}_{10}^2 - {\boldsymbol{r}}_{20}^2} \right) - 2\left( {{{\boldsymbol{r}}_{10}}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_{20}}{{\boldsymbol{r}}_2}} \right) + {D_{\mathrm{s}}}\left( {{\boldsymbol{r}}_1^2 - \boldsymbol{r}_2^2} \right)} \right]} \right\}{{\mathrm{d}}^2}{{\boldsymbol{r}}_{10}}{{\mathrm{d}}^2}{{\boldsymbol{r}}_{20}} \times \\& \qquad {\mathrm{exp}}\left\{ { - \dfrac{{{\mathrm{i}}{\omega _0}}}{{2{B_{\mathrm{t}}}}}\left[ {{A_{\mathrm{t}}}\left( {t_{10}^2 - t_{20}^2} \right) - 2\left( {{t_{10}}{t_1} - {t_{20}}{t_2}} \right) + {D_{\mathrm{t}}}\left( {t_1^2 - t_2^2} \right)} \right]} \right\}{\mathrm{d}}{t_{10}}{\mathrm{d}}{t_{20}} \end{split} $

(9)

式中ABCD矩阵为

$ \begin{bmatrix} A_{\mathrm{s}} & B_{\mathrm{s}} \\ C_{\mathrm{s}} & D_{\mathrm{s}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & {\textit z} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

(10)

$ \begin{bmatrix} A_{\mathrm{t}} & B_{\mathrm{t}} \\ C_{\mathrm{t}} & D_{\mathrm{t}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + s \beta_2 {\textit z} & \omega_0 \beta_2 {\textit z} \\ s / \omega_0 & 1 \end{bmatrix} $

(11)

式中：β₂为群速度色散参数；s为啁啾系数；k为波数；z为传输距离。这里假设时空坐标是在以脉冲群速度运动的参考系中测量的，将式（6）、式（7）和式（8）代入式（9）中，经过繁琐的积分运算，得到脉冲光束在传输距离z处互相干函数的表达式

$ \begin{split}& \varGamma \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{t_1},{{\boldsymbol{r}}_2},{t_2},{\textit z}} \right) = \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{4B_{\mathrm{s}}^2}}{\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{ - {\mathrm{i}}k{D_{\mathrm{s}}}({\boldsymbol{r}}_1^2 - {\boldsymbol{r}}_2^2)}}{{2{B_{\mathrm{s}}}}}\right]{\mathrm{{\mathrm{exp}}}}\left[\dfrac{{ - {\delta ^2}{k^2}{{({{\boldsymbol{r}}_1} - {\boldsymbol{r}}_2})^2}}}{{2B_{\mathrm{s}}^2}}\right] \times \\& \qquad \dfrac{1}{{{C_1}}}\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{{g{a_{\mathrm{s}}}}}} \left\{ {{\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{\eta _{{\mathrm{s}} - }^2}}{{4{a_{\mathrm{s}}}}}\right] + {\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{\eta _{{\mathrm{s}} + }^2}}{{4{a_{\mathrm{s}}}}}\right]} \right\}\dfrac{{{T_0}{\omega _0}}}{{\sqrt 8 {B_{\mathrm{t}}}}}{\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{ - {\mathrm{i}}{\omega _0}{D_{\mathrm{t}}}(t_1^2 - t_2^2)}}{{2{B_{\mathrm{t}}}}}\right] \times \\& \qquad {\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{ - T_0^2{\omega _0}^2{{({t_1} - {t_2})}^2}}}{{2B_{\mathrm{t}}^2}}\right]\dfrac{1}{{{C_0}}}\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt {f{a_{\mathrm{t}}}} }}} \left\{ {{\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{\eta _{{\mathrm{t}} - }^2}}{{4{a_{\mathrm{t}}}}}\right] + {\mathrm{exp}}\left[\dfrac{{\eta _{{\mathrm{t}} + }^2}}{{4{a_{\mathrm{t}}}}}\right]} \right\} \end{split} $

(12)

式中：a和η均为空间域和时间域相关函数，具体表达式为

$ {a_{\mathrm{s}}} = \dfrac{1}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2g{\sigma ^2}}} + \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}} $

(13)

$ {a_{\mathrm{t}}} = \dfrac{1}{{8T_0^2}} + \dfrac{1}{{2fT_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{T_0^2{{(1 + s{\beta _2}{\textit z})}^2}}}{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}} $

(14)

$ {\eta _{{\mathrm{s}} \pm }} = - \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2})}}{{{{\textit z}^2}}} - \dfrac{{{\mathrm{i}}k({{\boldsymbol{r}}_1} + {{\boldsymbol{r}}_2})}}{{2{\textit z}}} \pm \dfrac{{{\mathrm{i}}m\sqrt {2{\text{π}} } }}{\sigma } $

(15)

$ {\eta _{{\mathrm{t}} \pm }} = - \dfrac{{T_0^2(1 + s{\beta _2}{\textit z})({t_1} - {t_2})}}{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}} - \dfrac{{{\mathrm{i}}({t_1} + {t_2})}}{{2{\beta _2}{\textit z}}} \pm \dfrac{{{\mathrm{i}}n\sqrt {2{\text{π}} } }}{{{T_{\mathrm{c}}}}} $

(16)

当t₁=t₂，r₁=r₂时，脉冲光束在介质中的平均强度I（ x, y, t, z）的表达式为

$ \begin{split}& I\left( {x,y,T,{\textit z}} \right) = \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{g}} }}\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{{\dfrac{g}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2{\sigma ^2}}} + \dfrac{{g{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}}}} {\mathrm{{\mathrm{exp}}}}\left[ - \dfrac{{{\text{π}} {m^2}}}{{\dfrac{{{\sigma ^2}}}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2g}} + \dfrac{{{\sigma ^2}{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}}}\right] \times \\& \qquad {\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{k^2}\left({x^2} + {y^2}\right)}}{{\dfrac{{{{\textit z}^2}}}{{2{\delta ^2}}} + \dfrac{{2{{\textit z}^2}}}{{g{\sigma ^2}}} + 2{\delta ^2}{k^2}}}\right]{\mathrm{cosh}}\left[\dfrac{{\sqrt {\text{π}} kmx}}{{\sqrt 2 \left(\dfrac{{{\textit z}\sigma }}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{{\textit z}}{{2g\sigma }} + \dfrac{{\sigma {\delta ^2}{k^2}}}{{2{\textit z}}}\right)}}\right]{\mathrm{cosh}}\left[\dfrac{{\sqrt {\text{π}} kmy}}{{\sqrt 2 \left(\dfrac{{{\textit z}\sigma }}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{{\textit z}}{{2g\sigma }} + \dfrac{{\sigma {\delta ^2}{k^2}}}{{2{\textit z}}}\right)}}\right] \times \\& \qquad \dfrac{{{T_0}}}{{\sqrt 8 {\beta _2}{\textit z}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt f }}} }}\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{f}{{8T_0^2}} + \dfrac{1}{{2T_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{fT_0^2{{\left(1 + s{\beta _2}{\textit z}\right)}^2}}}{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}} }}} \times \\& \qquad \left\{ {{\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{{\left(\dfrac{t}{{{\beta _2}{\textit z}}} + \dfrac{{n\sqrt {2{\text{π}} } }}{{{T_{\mathrm{c}}}}}\right)}^2}}}{{\dfrac{1}{{2T_0^2}} + \dfrac{2}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{2T_0^2{{\left(1 + s{\beta _2}{\textit z}\right)}^2}}}{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}}}\right] + {\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{{\left(\dfrac{t}{{{\beta _2}{\textit z}}} - \dfrac{{n\sqrt {2{\text{π}} } }}{{{T_{\mathrm{c}}}}}\right)}^2}}}{{\dfrac{1}{{2T_0^2}} + \dfrac{2}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{2T_0^2{{\left(1 + s{\beta _2}{\textit z}\right)}^2}}}{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}}}\right]} \right\} \end{split} $

(17)

式（17）为本文获得的主要公式，用于研究STCMGCPC脉冲光束的时空强度随传输距离的演化规律。

2 分析与讨论

接着讨论STCMGCPC脉冲光束在静止纯水中的时空强度演化规律。假设水的折射率可表示为$ q\left(\omega \right)={q}_{a}\omega +{q}_{b} $，其中$ {q}_{a} = {\beta }_{2}c $，$ {q}_{b} = c/j - 2{\beta }_{2}{\omega }_{0}c $，式中ω为介质中光的频率，c为真空中光速，j为脉冲的群速度^[19]。20 ℃、标准大气压下，水的折射率q = c/j = 1.359 1，其群速度色散系数β₂ = 58.174 ps²/km ^[20]。在随后的计算中，脉冲和介质的参数设置为δ = 2 mm，σ = 2 mm，T₀ = 4 ps，T_c = 2 ps，ω₀ = 3.667 rad/fs（取λ₀ = 514 nm ^[21]，在水中传输时该波长激光束穿透力更强）。

图1为不同空间光束阶数m时，STCMGCPC脉冲光束的归一化强度分布I（x, y, t, z）随传输距离z和水平坐标x的变化规律，其中m = 0、1、2或3，y、s、t、n均为0，G = F = 1。结果显示，空间光束阶数m在STCMGCPC脉冲光束的空间分裂中担当着重要角色：当m=0时，脉冲光束在传播时不存在光束分裂；当m = 1时，在传播距离z超过30 m时，光束分裂成两个子光束；对于更大的光束阶数（如m = 2和m = 3），光束分裂的起始点更靠近源平面z = 0。图2为不同时刻点t时，STCMGCPC脉冲光束的归一化强度分布I（x, y, t, z）随传输距离z和位置坐标x的变化规律，其中t = 2、10、12或15 ps，m=1，其他计算参数同图1。比较图2和图1（b）可知，当t较大时，时空强度的分裂现象更为明显。对该结果进行讨论分析，将相关参数代入式（17），可得

$ \begin{split}& I\left( {x,y,t,{\textit z}} \right) = \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2{\sigma ^2}}} + \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}}} \times \\& \qquad \dfrac{{{T_0}}}{{\sqrt 8 {\beta _2}{\textit z}}}\dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{1}{{8T_0^2}} + \dfrac{1}{{2T_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{T_0^2}}{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}} }}{\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{\text{π}} {m^2}}}{{\dfrac{{{\sigma ^2}}}{{4{\delta ^2}}} + 1 + \dfrac{{{\sigma ^2}{\delta ^2}{k^2}}}{{{{\textit z}^2}}}}}\right]{\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{{\left(\dfrac{t}{{{\beta _2}{\textit z}}}\right)}^2}}}{{\dfrac{1}{{2T_0^2}} + \dfrac{2}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{2T_0^2}}{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}}}\right] \times \\& \qquad \left\{ {{\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{k^2}}}{{\dfrac{{{{\textit z}^2}}}{{2{\delta ^2}}} + \dfrac{{2{{\textit z}^2}}}{{{\sigma ^2}}} + 2{\delta ^2}{k^2}}}{{\left(x - \dfrac{{{\textit z}m\sqrt {2{\text{π}} } }}{{k\sigma }}\right)}^2}\right] + {\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{{{k^2}}}{{\dfrac{{{{\textit z}^2}}}{{2{\delta ^2}}} + \dfrac{{2{{\textit z}^2}}}{{{\sigma ^2}}} + 2{\delta ^2}{k^2}}}{{\left(x + \dfrac{{{\textit z}m\sqrt {2{\text{π}} } }}{{k\sigma }}\right)}^2}\right]} \right\} \end{split} $

(18)

从式（18）可知，时空强度I（x, y, t, z）是关于y轴对称的两个指数函数的叠加（含x部分）。当传播距离z较短时，两个指数函数基本相同，因此不能区分两个光束。然而，当z足够大时，两个光束分别向x的正向横向偏移，偏移大小为$ {\textit z}m\sqrt{2\mathrm{{\text{π}} }}/k\sigma $。即当空间光束阶数m增加时，式（18）中含x的指数函数中z的系数$ {\textit z}m\sqrt{2\mathrm{{\text{π}} }}/k\sigma $就变大，光束会发生横向偏移。

图3为不同传播距离z时，STCMGCPC脉冲光束在x-y平面中的归一化时空强度I（ x, y, t, z）的密度图，其中z = 0、30、40或60 m，m=1，s、n、t均为0，G = F = 4。由图可知，脉冲光束在水中传输时表现出自分裂特性，且随着传输距离的增加，初始光束在远场传输中逐渐演变成了4个子光束。图4为空间光束阶数m = 2时，不同传播距离z处STCMGCPC脉冲光束在x-y平面中的归一化时空强度I（ x, y, t, z）密度图，其中z = 0、30、40或60 m，s、n、t均为0，G = F = 4。比较图4和图3可知，空间光束阶数m越大，自分裂效应越显著。该结果可以用式（18）进行解释。当m增大时，含x指数函数中z的系数$ m\sqrt{2\mathrm{{\text{π}} }}/k\sigma $也增大，即在x方向上增大了横向偏移，导致光束分裂加剧。

图5为不同时间光束阶数n时，STCMGCPC脉冲光束的时空强度I（x，y，t，z）作为传播距离z和时间t的函数的演变规律，其中n = 0、1、2或3，m、y、x、s均为0，G = F = 4。由图5可知：当n > 0时，光束在时间域表现出自分裂行为。随着传播距离z的增加，光束分裂成两个子光束；当n = 0时，即对应于传统的高斯相关谢尔模型脉冲光束，其在传输时不存在自分裂。对该结果进行讨论分析，将相关参数代入式（17），可得

$ \begin{split}& I\left( {x,y,t,{\textit z}} \right) = \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{g}} }}\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{{\dfrac{g}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2{\sigma ^2}}} + \dfrac{{g{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}}}} \times \\&\qquad \dfrac{{{T_0}}}{{\sqrt 8 {\beta _2}{\textit z}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt f }}} }}\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{f}{{8T_0^2}} + \dfrac{1}{{2T_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{fT_0^2}}{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}} }}} \times \\&\qquad \left\{ {{\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{1}{{\dfrac{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{2T_0^2}} + \dfrac{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2}}{{\left(t - \dfrac{{{\beta _2}{\textit z}n\sqrt {2{\text{π}} } }}{{{T_{\mathrm{c}}}}}\right)}^2}\right] + {\mathrm{exp}}\left[ - \dfrac{1}{{\dfrac{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{2T_0^2}} + \dfrac{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2}}{{\left(t + \dfrac{{{\beta _2}{\textit z}n\sqrt {2{\text{π}} } }}{{{T_{\mathrm{c}}}}}\right)}^2}\right]} \right\} \end{split} $

(19)

从式（19）可知，时空强度I（ x, y, t, z）是关于坐标轴t = 0对称的两个指数函数的叠加（含t部分）。当传播距离z较短时，两个指数函数基本相同，因此不能区分两个光束。然而，当z足够大时，两个光束分别向t的正负方向横向偏移，偏移大小为$ {\beta }_{2}{\textit z}n\sqrt{2\mathrm{{\text{π}} }}/{T}_{\mathrm{c}} $。此外，当时间光束阶数n增加时，式（19）中含t的指数函数中$ {\beta }_{2}{\textit z}n\sqrt{2\mathrm{{\text{π}} }}/{T}_{\mathrm{c}} $就变大，即光束发生了横向的偏移。

图6为n = 0、G = F = 1，不同啁啾系数s时，STCMGCPC脉冲光束的时空强度I（ x, y, t, z）作为传播距离z和时间t的函数的变化规律，其中s = 0、−0.4、−0.8 或−1.2 ps⁻²，m、y和x均为0。从图6可知，当s<0时，光束表现出自聚焦行为，随着啁啾系数s的减小，光束自聚焦的发生位置越接近光源，且自聚焦效应也越强。对该结果进行讨论分析，式（17）可以表示为

$ \begin{split}& I\left( {x,y,t,{\textit z}} \right) = \dfrac{{{\delta ^2}{k^2}}}{{{{\textit z}^2}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{g}} }}\displaystyle \sum\limits_{g = 1}^G {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} G \\ g \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{g - 1}}}}{{\dfrac{g}{{8{\delta ^2}}} + \dfrac{1}{{2{\sigma ^2}}} + \dfrac{{g{\delta ^2}{k^2}}}{{2{{\textit z}^2}}}}}} \dfrac{{{T_0}}}{{\sqrt 8 {\beta _2}{\textit z}}}\dfrac{1}{{\displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt f }}} }} \times \\&\qquad \displaystyle \sum\limits_{f = 1}^F {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} F \\ f \end{array}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{f - 1}}}}{{\sqrt {\dfrac{f}{{8T_0^2}} + \dfrac{1}{{2T_{\mathrm{c}}^2}} + \dfrac{{fT_0^2{{(1 + s{\beta _2}{\textit z})}^2}}}{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}} }}} {\mathrm{exp}}\left[ { - \dfrac{{{t^2}}}{{\dfrac{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{2T_0^2}} + \dfrac{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2{{(1 + s{\beta _2}{\textit z})}^2}}}} \right] \end{split} $

(20)

对于指数部分有

$ \begin{split} & {\mathrm{exp}}\left[ { - \dfrac{{{t^2}}}{{\dfrac{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{2T_0^2}} + \dfrac{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2{{(1 + s{\beta _2}{\textit z})}^2}}}} \right] =\\&\qquad {\mathrm{exp}}\left[ { - \dfrac{{{t^2}}}{{{T^2}({\textit z})}}} \right] \end{split}$

(21)

式中

$ \begin{split}& {T^2}\left({\textit z}\right) = \dfrac{{\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{2T_0^2}} + \dfrac{{2\beta _2^2{{\textit z}^2}}}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2{\left(1 + s{\beta _2}{\textit z}\right)^2} = \\& \left(\dfrac{1}{{2T_0^2}} + \dfrac{2}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2{s^2}\right)\beta _2^2{{\textit z}^2} + 4T_0^2s{\beta _2}{\textit z} + 2T_0^2 \end{split} $

(22)

由式（22）可知，T²（z）是z的二次函数，当

$ {{\textit z}_{{\mathrm{min}}}} = - \dfrac{{2T_0^2s{\beta _2}}}{{\dfrac{1}{{2T_0^2}} + \dfrac{2}{{fT_{\mathrm{c}}^2}} + 2T_0^2{s^2}}} $

(23)

即T²（z）达到极小值时，此时可获得一个光强极大值点。因此，当啁啾系数s < 0时，光束在传播时会出现自聚焦现象。而且，随着|s|的增大，z_min会减小，因为由式（23）可知，对于较大的|s|，可以省略$ 1/(2{T}_{0}^{2})+2/(f{T}_{\mathrm{c}}^{2}) $。式（23）可以表示为z_min≈β₂/|s|，|s|增大，z_min减小，即焦点位置向源平面移动。这里啁啾系数s在时间ABCD矩阵中对传播的影响相当于一个透镜，因此出现了自聚焦现象。

图7为n = 1、G = F = 4，不同啁啾系数s时，STCMGCPC脉冲光束的时空强度I（ x, y, t, z）随传播距离z和时间t的变化规律，其中s = 0、−0.4、−0.8 或−1.2 ps⁻²，m、y和x均为0。由图7可知，当啁啾系数s < 0时，自聚焦和自分裂现象同时发生。由于自聚焦位置的移位，|s|较大时出现了3个强度峰，见图7（c）。

图8为m = 0、n = 0，不同传播距离z时，STCMGCPC脉冲光束在x-t平面上归一化时空强度I（x, y, t, z）的密度图，其中z = 0、20、30或40 m，m、n和y均为0，s = −0.4 ps⁻²、G = F = 4。由图8可知，当z = 0时，在x-t平面上存在一个椭圆形的强度分布。随着传播距离z的增加，椭圆形强度分布变为圆形，然后再次由圆形变为椭圆形强度分布。并且可以看到，随着传播距离z的不断增加，强度分布进一步发生变化。图9为m = 1、n = 1，不同传播距离z时，STCMGCPC脉冲光束在x-t平面上归一化时空强度I（x, y, t, z）的密度图，其中z = 0、20、30或40 m，y = 0，s = −0.4 ps⁻²，G = F = 4。由图9可知，光束首先在时间坐标t上分裂，然后在位置坐标x上分裂。在远场，光束在x-t平面上分裂成4个子光束点。可以发现，当传播距离z = 40 m时，自分裂现象更为明显。通过图8与图9的对比可知，光束的m和n参量对x-t平面的时空强度分布起着重要的决定作用。

图10给出了不同空间光束阶数m和时间光束阶数n时，STCMGCPC脉冲光束在x-t平面上的归一化时空强度I（x, y, t, z）密度图，其中m = n = 0、1、2或3，z = 50 m，s = −0.4 ps⁻²，y = 0。结果表明：当m = n = 0时，远场不发生光束分裂；当m = n = 1时，初始光束开始分别在时间坐标t和位置坐标x上分裂成两个子光束；随着光束阶数的增加，光束的分裂现象更加明显。

3 结　论

本文提出了一种新的时空余弦多高斯关联部分相干（STCMGCPC）脉冲光束，并获得了STCMGCPC脉冲光束在ABCD光学系统中通过衍射色散介质传播时的时空强度解析表达式，并重点分析了光束在静止纯水中的时空强度演化特性。研究发现，该脉冲光束展现出时空自分裂与自聚焦共存的特殊现象，具体表现为：当光束阶数为0时，脉冲光束保持完整传输而不发生分裂；当阶数非零时，光束会分裂为两个子光束，且阶数越大，分裂效应愈加显著，分裂起始位置越接近源平面。脉冲啁啾s = 0时不发生自聚焦；随着s减小，自聚焦现象逐渐显现，且s越小，自聚焦位置越靠近源平面。这里s参数在色散介质中的作用类似于透镜在衍射介质中的效应。从物理机制上看，这种时空自分裂现象源于光束特殊的时空相干态结构。本研究结果具有普适性，可推广应用于其他色散介质或ABCD光学系统。