引　言

光场结构化是一种广泛存在的现象^[1-2]。早在两个世纪前，Young通过观察双缝干涉现象验证了光的波动性，展示了沿一维方向强度交替变化的结构光场^[3]。此后，光场调控逐步扩展至其他光学自由度，如偏振^[4-5]、相位^[6]、频率^[7-8]和时间等。多元化的结构光场不仅在干涉测量中显示出重要作用，还蕴含丰富的光学信息，在信息科学、材料科学和生命科学等领域发挥了关键作用^[9-10]。

随着物理学的不断发展，隐藏于表面效应之下的物理状态逐渐受到关注，其中最引人注目的是拓扑物理学的发现与崛起。拓扑物理学主要利用拓扑学和几何学的方法来研究物质的基本物理性质，可粗略地分为两类：一类聚焦经典场论和量子场论中的拓扑激发现象^[11-12]；另一类围绕材料科学中波在非均匀介质中传播的拓扑保护思想，受量子霍尔效应启发，聚焦于材料中电子能带的拓扑性质诱导的拓扑相变^[13]。而后，Haldane提出在石墨烯蜂窝晶格中施加交错磁场的理论模型，首次实现了量子反常霍尔效应^[14]；Kane和Mele研究了石墨烯中的量子自旋霍尔效应^[15-16]。在这些研究基础上，研究人员构建了拓扑绝缘体^[17]。这种材料内部绝缘，表面导电，其能带可以用拓扑不变量描述。根据体边对应关系^[18]，该材料表面或者不同材料界面处具有单向传输、背向散射抑制、不受缺陷和杂质干扰的边界态，有显著的研究和应用价值。

拓扑物理效应并不只存在于自然材料中^[19]。光学人工微结构材料是研究拓扑物理的良好平台，由此产生的拓扑光子学近年来蓬勃发展^[20-21]。超构表面在亚波长尺度上对光场进行多维度调控，改变光束常规的散射行为。超构表面由于其成熟的微纳加工工艺，可以作为实现二维拓扑光学效应的理想实验平台^[22]。在超构表面上加工纳米尺度的二维光子晶体结构，可以实现多种拓扑边界态的光学模拟，并利用边界态的传输特性设计功能器件。Wang等^[23]在二维旋磁光子晶体中施加磁场来打破时间反演对称性，并观察到量子霍尔效应标志性的拓扑保护边界态。Wu 和Hu采用二维全介质蜂窝晶格，保留时间反演对称性，在光学体系中模拟了量子自旋霍尔效应^[24]，并进行了拓扑边界态单向传输特性的实验验证。在此体系基础上产生了多种应用，比如产生高阶拓扑态^[25-26]，构造拓扑微腔激光器阵列^[27-28]，打破空间反演对称性实现谷霍尔效应^[29-32]。

文献[24]中构建的光子晶体能带在$ \mathit{\Gamma} $点附近具有狄拉克类型的色散关系。类比凝聚态体系中的狄拉克方程，狄拉克质量项可以用来衡量带隙宽度。标准的蜂窝晶格中质量项为零，形成能量简并的狄拉克点；加入扰动降低对称性后，产生非零质量项，且带隙打开的宽度与质量项成正比。通过改变超构表面的元胞结构，定量化设计光子的狄拉克质量项，可以增加局域模式的调控自由度，丰富模式的调控手段。在超构表面上设计绝热变化的质量项单元，从而产生新的局域波导或谐振腔模式^[33-34]，并且可以调控局域模式的远场辐射能力，降低由界面或制造缺陷引入的对称性破坏对拓扑边界态的影响^[35]。然而以往的工作中并未深入探讨调控光子质量项的方式，以及不同质量项的结构对光子带隙、拓扑边界态局域能力的影响，这对选择合适的质量项结构、设计特定功能的片上拓扑光子器件造成了限制；同时，绝热变化的质量项对于大范围调节边界态的局域能力有所欠缺。为了能够在大范围内定量调控光子质量项，获得工作波段、局域效果可调节的波导模式，本研究基于可伸缩六边形元胞结构，调节元胞参数获得质量项分布图，设计可配置质量项的超构表面拓扑光子器件，实现了多个波段下、具有多种局域能力的拓扑边界态，为进一步发展光通信^[36-37]和光学微操控^[38-47]等技术提供可能。

1 理论模型与光子质量项分布

从文献[24]的元胞结构出发，建立理论模型。超构表面上的二维光子晶体的几何结构如图1（a）所示，其中：$a$为晶格常数；a₁和a₂表示晶格基矢；d为圆柱直径；R为元胞中心与圆柱中心之间的距离。在蜂窝晶格的基础上构建可伸缩的扩大六边形元胞，每个元胞中包含6个等距分布的硅材料介质圆柱，整体具有$ {C_6} $对称性。

考虑到光子晶体中的电磁波传播和晶体中的电子传播都满足布洛赫定理，具有相似的能带结构，可以将计算电子能带的紧束缚模型用于本文的理论分析。将每个介质柱简化为一个位点，将电磁波类比为电子的布洛赫波，集中分布在位点处。仅考虑相邻位点之间的耦合作用，忽略长程耦合。每个元胞内的6个位点分别标记为$ A,B,\; C,\; D,\; E,\; F $，局域轨道正交基下，6个位点的产生算符分别为$c_A^{\dagger}, c_B^{\dagger}, c_C^{\dagger}, c_D^{\dagger}, c_E^{\dagger}, c_F^{\dagger}$，湮灭算符分别为$c_A, c_B, c_C, c_D, c_E, c_F$，i表示位点${\boldsymbol{r}}_i $的元胞，$i-{\boldsymbol{a}}_1 $表示位点$ \boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{a}_1 $的元胞，元胞之内相邻位点的耦合系数为$K$。在紧束缚近似下可以写出晶格的哈密顿量为

$\begin{split} \begin{aligned} \boldsymbol{H} =& - K \sum_i c_{A, i}^{\dagger} c_{B, i} - K \sum_i c_{A, i}^{\dagger} c_{F, i} - J \sum_i c_{A, i}^{\dagger} c_{D, i - a_1} \\ & - K \sum_i c_{B, i}^{\dagger} c_{A, i} - K \sum_i c_{B, i}^{\dagger} c_{C, i} - J \sum_i c_{B, i}^{\dagger} c_{E, i - \left(a_1 - a_2\right)} \\ & - K \sum_i c_{C, i}^{\dagger} c_{B, i} - K \sum_i c_{C, i}^{\dagger} c_{D, i} - J \sum_i c_{C, i}^{\dagger} c_{F, i+a_2} \\ & - K \sum_i c_{D, i}^{\dagger} c_{C, i} - K \sum_i c_{D, i}^{\dagger} c_{E, i} - J \sum_i c_{D, i}^{\dagger} c_{A, i+a_1} \\ & - K \sum_i c_{E, i}^{\dagger} c_{D, i} - K \sum_i c_{E, i}^{\dagger} c_{F, i} - J \sum_i c_{E, i}^{\dagger} c_{B, i+\left(a_1 - a_2\right)} \\ & - K \sum_i c_{F, i}^{\dagger} c_{E, i} - K \sum_i c_{F, i}^{\dagger} c_{A, i} - J \sum_i c_{F, i}^{\dagger} c_{C, i - a_2} \end{aligned} \end{split} $

(1)

进一步将哈密顿量写成动量表象下的矩阵形式，即

$ \begin{split} &\boldsymbol{H}=\\ &\left[ \begin{array}{cccccc} 0 & -K & 0 & -J \exp \left(-\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{a}_1\right) & 0 & -K \\ -K & 0 & -K & 0 & -J \exp \left[-\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot\left(\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2\right)\right] & 0 \\ 0 & -K & 0 & -K & 0 & -J \exp \left(\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{a}_2\right) \\ -J \exp \left(\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{a}_1\right) & 0 & -K & 0 & -K & 0 \\ 0 & -J \exp \left[-\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \left(\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2\right)\right] & 0 & -K & 0 & -K \\ -K & 0 & -J \exp \left(\mathrm{i} \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{a}_2\right) & 0 & -K & 0 \end{array} \right] \end{split}$

(2)

将万尼尔表象的基矢变换为具有${C_{6v}}$点群对称性的基矢后，在$ \mathit{\Gamma} $点附近进行一阶小量展开。$ \mathit{\Gamma} $点处的6个本征模式中有两个单态[能量分别为$ \pm \left( {2K + J} \right)$]和两个二重简并态[能量分别为$ \pm \left( {K - J} \right)$]。单态与二重态存在较大的能量差，因此可以忽略二者之间的相互耦合，即直接去掉哈密顿量中与单态有关的行和列，得到有效哈密顿量。此时对应的基矢分别为$\left| {{p_ + }} \right\rangle $，$\left| {{d_ + }} \right\rangle $，$\left| {{p_ - }} \right\rangle $，$\left| {{d_ - }} \right\rangle $，分别具有$L = + 1, + 2, - 1, - 2$的轨道角动量。其中$ + $和$ - $代表两个相反方向的轨道角动量，作为赝自旋自由度；$p$和$d$代表亚晶格自由度，对应的本征模式分别具有偶极和四极场分布。赝自旋分块对角化的有效哈密顿量形式为

$ {{\boldsymbol{H}}_{{\rm{eff}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{H}}_ {\rm{+}} }}&0 \\ 0&{{{\boldsymbol{H}}_ {\rm{-}} }} \end{array}} \right]$

(3)

其中分别对应两种赝自旋的哈密顿量${{\boldsymbol{H}}_ {{+}} }$和${{\boldsymbol{H}}_ {{-}} }$为

$ {{\boldsymbol{H}}_ {{+}} } = m{{\boldsymbol{\sigma}} _{\textit{z}}} + v\left( { - {k_x}{{\boldsymbol{\sigma}} _x} + {k_y}{{\boldsymbol{\sigma}} _y}} \right) $

(4)

$ {{\boldsymbol{H}}_ {{-}} } = m{{\boldsymbol{\sigma}} _{\textit{z}}} + v\left( {{k_x}{{\boldsymbol{\sigma}} _x} + {k_y}{{\boldsymbol{\sigma}} _y}} \right)$

(5)

式中：质量项$m = J - K$；有效速度$v = {{Ja} \mathord{\left/ {\vphantom {{Ja} 2}} \right. } 2}$；${k_x}$，${k_y}$是动量的分量；$ {{\boldsymbol{\sigma}} _x} $，$ {{\boldsymbol{\sigma}} _y} $，$ {{\boldsymbol{\sigma }}_{\textit{z}}} $是泡利矩阵。可以看出，在有效哈密顿量的近似下，$ \mathit{\Gamma} $点附近不同赝自旋之间没有相互耦合，保持简并，而同种赝自旋的$p$和$d$模式有耦合。从上述模型得到的重要结论是：当$m = 0$时，在$ \mathit{\Gamma} $点附近形成二重简并的狄拉克锥，带隙闭合，式（4）、（5）符合无质量粒子的狄拉克方程，胞内与胞间耦合强度相等导致质量项为零；当$m \ne 0$时，带隙打开，在$ \mathit{\Gamma} $点具有宽度为$2\left| m \right|$的带隙，与有质量粒子的狄拉克方程相符，且非零的质量项是由胞内和胞间耦合强度不相同导致的。

将紧束缚模型下的理论结果应用于光子晶体体系，从而可以对具有狄拉克色散关系的晶格作出理论解释：光子质量项也是由胞内和胞间耦合强度的差异导致的，且可以通过改变元胞参数，调节耦合强度，进而调控光子质量项；另一方面，计算光子晶体能带发现，$ \mathit{\Gamma} $点的带隙宽度与质量项成正比，所以$ \mathit{\Gamma} $点的带隙宽度可以用来表征质量项的相对大小。

据此进行光子晶体${\mathrm{TM}}$模式下能带的仿真计算，设置晶格常数$a = 750 \;{\text{nm}}$，改变参数$R$和$d$，$R$扫描范围为$125 \sim 315 \;{\text{nm}}$，$d$扫描范围为$20 \sim 125 \;{\text{nm}}$。观察$ \mathit{\Gamma} $点的本征模式，如果没有发生模式翻转，偶极模式位于带隙下方，四极模式位于带隙上方，则对应的结构为平凡元胞，此时质量项为负值；如果偶极模式翻转到带隙上方，四极模式翻转到下方，则对应的结构为发生拓扑相变的拓扑元胞，此时质量项为正值。可以得到图1（b）所示的质量项分布图，其中：在$R = {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 3}} \right. } 3}$处质量项趋近于0；$R < {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 3}} \right. } 3}$时质量项为负，胞内耦合更强；$R > {a \mathord{\left/ {\vphantom {a 3}} \right. } 3}$时质量项为正，胞间耦合更强。图1（c）～（e）分别展示了3种情形的能带图，其参数用相应的几何形状标注在图1（b）中，可以发现圆形、三角形、菱形分别对应光子带隙25 ${\mathrm{THz}}$、带隙闭合、反向打开光子带隙35 ${\mathrm{THz}}$。调节$R$可以在大范围内改变质量项，并且改变其正负，实现定量化调节带隙宽度；调节$d$的主要作用是改变带隙位置，并在一定范围内可以保持质量项稳定。R、d联合调节可实现宽波段、大范围的带隙调控。值得注意的是，质量项并不能完全确定${\mathrm{TM}}$模式下光子完全带隙的大小。图1（c）、（e）所示的情形具有一定的普遍性，即$ \mathrm{\mathit{\mathit{M}}} $点的本征频率是制约带隙的一个重要因素，但在扫描参数的大部分范围内，质量项与光子完全带隙的大小相差不大，因此可近似用质量项来代表完全带隙的大小。在后续拓扑超构表面设计时，将会从这个范围内选取参数。

考虑到研究的完整性，还进行了${\text{TE}}$模式下元胞质量项及能带结构的计算。为实现${\text{TE}}$模式光子带隙，在硅介质元胞中构建6个呈六边形等距分布的等边三角形空气孔，如图2（a）所示。设置晶格常数$a = 750 \;{\text{nm}}$，$R$是元胞中心与等边三角形中心之间的距离，$ L $是三角形的边长。$R$扫描范围为$210 \sim 280 \;{\text{nm}}$，$ L $扫描范围为$210 \sim 340 \;{\text{nm}}$。图2（b）为质量项分布图，图2（c）～（e）为平凡、过渡、拓扑元胞3种情形的计算结果。可以发现，保持L不变时，${\text{TE}}$模式下质量项的变化趋势与图1（b）中${\text{TM}}$模式下的相同；当$R$不变时，${\text{TE}}$模式下质量项随空气柱增大而迅速增大，带隙位置逐渐升高，这与光子晶体理论相符合。

利用质量项分布图可以选取参数进行超胞能带结构研究。平凡元胞和拓扑元胞具有正负异号的质量项，所构成的晶格具有不同的拓扑不变量。将两者拼接成超胞时，根据体边对应关系，其界面上会出现受到拓扑保护的边界态。如图3（a）所示，将质量项符号相反的元胞沿着$y$方向拼接形成畴壁，长度为37个元胞，在$x$方向设置周期性边界条件。选取4种超胞结构配置，计算${\text{TM}}$模式下超胞能带以及垂直于平面的电场分量${E_{\textit{z}}}$分布，发现在原本对应带隙的范围内，出现了独立于上下方连续体态的边界态，并且关于${k_x} = 0$对称的边界模式具有相反的能流传播方向，对应着两个不同赝自旋的相反传播方向。在图3（b）～（e）中大范围内改变狄拉克质量项，发现只要满足质量项符号相反的条件，就会出现拓扑保护的边界态，这表明质量项对带隙大小和位置有明显的调控作用。理想情况下，量子自旋霍尔效应类型的边界态完全穿过带隙。但随着质量项差值增大，边界两侧的元胞几何结构差异明显，破坏了空间结构的对称性，导致偏离理想的拓扑边界态。作为对比，图3（d）中畴壁两侧质量项很接近，空间对称性破坏不明显，带隙只有1$\;{\rm{THz}}$左右，几乎闭合；图3（b）中畴壁两侧质量项差异很大，所以形成了宽度约为20$\;{\rm{THz}}$的带隙，并且上方边界态与体态之间也产生约20$\;{\rm{THz}}$的带隙。另一方面，图3（b）～（d）中均选取$d = 112.5 \;{\text{nm}}$，图3（e）中选取$d = 75 \;{\text{nm}}$。减小圆柱直径可以显著增大带隙频率，为多波段激发拓扑边界态提供了可能。

同样计算了${\text{TE}}$模式下超胞能带结构，如图4所示。注意到在大范围内改变质量项时，超胞对于不同的赝自旋都具有相反方向传播的边界态；相比于${\text{TM}}$模式下，TE模式下边界态对应的能带与连续的体态更接近，其一部分埋入体态中，使得边界态不易被单独激发，且改变$d$时激发边界态的频率移动不大。综上，${\text{TE}}$和${\text{TM}}$模式具有相似的质量项分布规律，都支持拓扑保护的边界态传输。本文在设计拓扑超构表面器件时，采用${\text{TM}}$模式，对应空气中的圆形介质柱结构。

2 拓扑边界态的传输特性

对拓扑边界态的研究大多数聚焦于其良好的单向性，不受缺陷和杂质影响而发生散射。在大范围调控质量项的基础上，不仅可以得到单向性良好的拓扑边界态，还能够调控边界态在垂直于畴壁方向的局域能力。根据Jackiw-Rebbi模型，理想的拓扑边界态在垂直于畴壁方向的分布取决于畴壁两侧的质量项，即

$ \varphi \left( {x,y} \right) = \varphi \left( x \right)\exp \left[ { - \frac{1}{{{v_{\text{D}}}}}\int_0^y {m\left( y \right){\mathrm{d}}y} } \right]$

(6)

式中：$\varphi \left( {x,y} \right)$是平面内的光场分布；$\varphi \left( x \right)$是沿着$x$方向周期性分布的光场；指数部分是$y$方向的光场分布；${v_{\text{D}}}$代表边界态的群速度；$m\left( y \right)$是畴壁两侧的质量项分布。对于不同的质量项分布方式，光场在$y$方向有不同的局域模式，其衰减能力也有区别。

为研究质量项对边界态局域能力的调控作用，使用质量项符号相反的元胞构建“${\text{Z}}$”形拓扑超构表面，如图5（a）所示。在“${\text{Z}}$”形边界中心放置具有涡旋相位的面外电流源，以产生带有特定方向涡旋相位（即赝自旋）的电场，从而选择性激发对应赝自旋的边界态。共设置4组质量项结构，与图3（b）～（e）的参数设置完全相同，并使用不同几何形状标注在图5（b）质量项分布图中以便对比。每种结构都使用两个不同旋向的电流源激发边界态，激发频率由图3（b）～（e）的边界态频率确定，仿真结果如图5（c）～（f）所示。拓扑边界态的单向传输特性和鲁棒性都得到了验证：具有相反赝自旋的边界态反向传播，背向传播的电磁场占比很低；并且在波导结构120°弯折处的散射被抑制，说明边界态单向传播不会受到不规则结构的影响，具有鲁棒性。为进一步验证拓扑边界态的鲁棒性，设计了如图5（g）所示的缺陷和无序结构。在两种质量项元胞形成的“${\text{Z}}$”形畴壁基础上，左侧引入了元胞无序排列的区域，使得畴壁形状不规则，右侧畴壁处构造了一个小型空腔，在空腔中放入一个硅介质棒作为障碍物。如图5（h）所示，在畴壁两侧分别用不同的赝自旋激发边界态时，边界态均可以绕过无序区域，不受散射地单向传播；在缺陷空腔和障碍物介质棒处，边界态几乎不会被反射，可以完美绕过缺陷和障碍，且没有拓扑保护的普通波导中的局域模式在波导弯折、无序、缺陷处会受到严重散射，从而无法实现高效的单向传输。这也证明了拓扑超构表面在电磁波单向传输方面的优越性。

另一方面，4种结构的边界态局域能力具有显著差别。根据式（6），对于本实验中的阶梯式质量项分布，$y$方向光场分布呈现指数下降，且质量项绝对值越大，光场衰减越快，局域能力越强。图5（c）是两种元胞质量项绝对值较大的极限情形，其边界态在垂直方向的拓扑元胞和平凡元胞中传播长度仅为1$\;{\text{μm}}$左右，即迅速衰减，局域能力很强。图5（e）是两种元胞质量项绝对值较小的极限情形，其边界态可以向两侧分别深入5$\;{\text{μm}}$左右，局域能力很弱，电磁场能量难以集中传播。图5（d）中拓扑元胞质量项绝对值较大，平凡元胞质量项绝对值较小，边界态在两侧的分布具有明显差别，在拓扑元胞中仅传播约1$\;{\text{μm}}$，而在平凡元胞中可以传播2.5～3.0$\;{\text{μm}}$。图5（f）相比前3个结构，改变了圆柱直径$d$，采用质量项绝对值适中的元胞，其边界态向两侧传播1～1.5$\;{\text{μm}}$，局域能力也居中。由此可见，在畴壁两侧施加不同形式的质量项、大范围调节质量项，可以灵活调控边界态局域能力，使其在较大范围内产生显著变化，具有较高的敏感性，这样的拓扑畴壁工程为设计拓扑超构表面实现光场的亚波长尺度精细化控制提供了思路，有望在多种超构表面器件中得到应用。

以上使用了手性电流源激发特定赝自旋的边界态。此外，在模拟中还可以使用更加简单的点源激发方式，即用平面内的圆偏振磁偶极子激发${\text{TM}}$模式边界态，如图5（i）所示，其中左旋圆偏振（LCP）和右旋圆偏振（RCP）分别对应两种赝自旋，支持方向相反的边界态，从而实现了与手性源相同的激发效果。如果使用线偏振点源激发，则会产生向两个方向传播的边界态，失去单向性。考虑到实验中便于施加面外的手性线电流作为激发源，主要使用手性源的激发方式。

同时，拓扑微腔是构建拓扑激光器的一种思路。局域在畴壁附近的光场如果有较强的面外辐射能力，就可以制造具有高度稳定性、高度相干性的激光源，因此研究质量项对腔内局域模式的调控能力有重要意义。如图6（a）所示，使用质量项符号相反的元胞构建六边形拓扑微腔，其内侧是6层拓扑元胞，外侧是5层平凡元胞，4组结构设置与图3（b）～（e）、图5（c）～（f）相同。在边界处设置涡旋相位电流激发特定赝自旋的电场，激发频率由拓扑微腔的本征频率和图3（b）～（e）超胞能带图共同确定。如图6（b）～（e）所示，腔内的局域电磁场均沿顺时针方向传播，展示了良好的单向性；大范围调控质量项同样可以有效地调节腔模式的局域能力，有望进一步调控面外辐射性能，且有助于设计具有拓扑保护的、定向性更强的激光器。

在借助拓扑保护的边界态构造波导和微腔的基础上，利用边界态在拓扑畴壁两侧指数衰减的性质，将波导和微腔耦合，在超构表面上构建拓扑保护的逻辑门和光开关。如图7（a）所示，整个器件由两个波导和一个拓扑微腔耦合而成，在波导的两端共有4个输入或输出端口，将1、4设置为光输入端口，使用特定的赝自旋激发单向边界态，检测2、3端口的输出性质。根据耦合模式理论^[48-49]，波导中的局域模式会耦合到微腔，进而耦合到另一个波导中，即只在一个端口激发边界态，也有可能在各个端口检测到输出。各个端口的透射率依赖于激发频率和微腔与波导之间的耦合系数，且注意到在微腔的谐振频率附近耦合效应最强。通过设计质量项分布，可以定量控制耦合系数，进而调控端口的透射率。利用波导中两束光的干涉相消和相长，可以实现逻辑门和光开关功能。

调控质量项，选择边界态局域能力较弱的结构组成器件，通过仿真得到微腔的谐振频率如图7（b）所示。中间离散区域的频率可以激发边界态，上、下两侧连续区域的频率激发非局域的体态。为确保可以同时激发波导中的单向边界态，选择$ {f_{{\mathrm{cavity}}}} = 243.1\; {\text{THz}} $作为基准频率，并在图7（b）中用红色线框标出。在端口1附近使用相位${\varphi _1} = - {{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2}$的手性源激发，端口4附近使用相位${\varphi _2} = 0$的手性源激发。两者都不激发时，记为00输入态，如图7（c）所示。此时端口2和3均无电场，输出记为00。只激发端口4时，输入为01，在激发频率$ {f_{{\mathrm{in}}}} = 241.3 \;{\text{THz}} $下，如图7（d）所示，边界态在单向传播的同时，通过微腔耦合进入上方波导，端口2和3电场强度几乎相等，输出记为11。同理，只激发端口1也有类似的效果，输入为10，如图7（e）所示，输出为11。当两个端口都激发时，输入为11，如图7（f）所示，端口2处两路光波发生相消干涉，无电场，端口3处两路光波发生相长干涉，电场增强，整体输出为01。综合以上情形，对于端口1和4的2比特输入，端口2的输出符合异或门（XOR gate），端口3的输出符合或门（OR gate），从而实现了复合功能的拓扑逻辑门，并且边界态的传输与耦合受到拓扑保护，不易被缺陷和杂质散射，保证了逻辑门运算的稳定性。同时，也起到了控制光开关的作用，对于端口2的输出而言，端口1激发的单向边界态可以定向传输到端口2，此时若加入端口4的输入，则端口2输出减弱，几乎消失，从而实现了可控的光开关。

3 结　论

本文关注具有狄拉克类型色散性质的光学微结构的狄拉克质量项。基于可伸缩六边形元胞，构建拓扑超构表面，从理论上建立了光子质量项与胞内、胞间耦合系数的联系，并证明了带隙宽度由光子质量项决定。通过调节元胞结构参数改变耦合系数，获得了质量项分布，以便在大范围内定量调控光子质量项，为同领域内的工作提供了更为丰富扎实的数据基础。同时，调控质量项可以从多个维度调节局域光场。最重要的方面是通过适当的质量项配置实现光场局域能力的大范围调节，并在“Z”型弯曲波导、拓扑微腔、拓扑逻辑门等多种拓扑超构表面上进行仿真计算。本研究验证了调节方法的灵活性和高效性，丰富了光场调控手段，为利用多个自由度调控超构表面片上光场性质，研究强局域和弱局域光场的特性，构筑功能更复杂更强大的拓扑光子超构器件，实现光通信、光学微操控、光传感等目标提供了研究基础。