引　言

光涡旋晶格是一种常见的、具有多相位奇点的涡旋光场。与相位奇点单一的传统涡旋光束不同，具有多相位奇点的涡旋光场拥有出色的并行处理能力^[1-3]，这显著提高了其工作效率，使其在光操作与光通信领域具有广阔的应用前景。通过光束干涉来生成多奇点涡旋光场是一种常见的方法。例如：拉盖尔−高斯光束^[4]、贝塞尔−高斯光束^[5]和完美涡旋光束^[6]等涡旋光束之间的干涉常被用来生成多奇点的涡旋光场。但通过干涉形成的光涡旋中所携带的拓扑电荷（topological charge，TC）通常较小，一般仅为$ \pm 1 $，且难以调制，这极大地限制了光涡旋晶格的应用范围。此前，Chen等^[7]通过低阶拉盖尔−高斯光束的同轴干涉产生光涡旋阵列，并对其相位作高阶变换，使光涡旋阵列所携带的TC大小任意可调，从而克服了光涡旋阵列适用范围小与灵活性低的缺点。Zhu等^[8]基于这项技术提出了一种形状可控的高阶光涡旋晶格的生成方法。

本文首先分别通过三束、四束、六束高斯光束之间的离轴干涉得到不同的光涡旋晶格，在这些晶格中，一部分晶格具有轨道角动量（orbital angular momentum，OAM）。分析晶格上的TC难以调制的原因，并利用相位倍乘技术对六边形晶格和Kagome晶格中的OAM进行调控，生成了具有更高OAM的光涡旋晶格。搭建马赫−曾德尔干涉光路，通过非同轴干涉实验验证生成光涡旋晶格的TC，并分析其相位奇点附近的能量流分布。此外，生成的光涡旋晶格在传播过程中表现出周期性变化，体现了Talbot效应。在传播路径中，某些阶数的光涡旋晶格会在特定的分数Talbot距离处转化为超蜂窝晶格，这为超蜂窝晶格的生成提供了一种新的方法。

1 物理模型

光涡旋晶格是由若干个振幅相同但相位分布不同的高斯光束离轴干涉得到的，其原理示意图如图1（a）和1（b）所示。在半径为$ \rho $的圆上均匀排列多个具有固定相位阶跃的高斯光束，以生成光涡旋晶格。在源平面上，单个高斯光束的复振幅可以表示为^[9]

$ \begin{split} {E_j}\left( {{x_0},{y_0},{\textit{z}} = 0} \right) = &A\exp \left[ { - \frac{{{{\left( {{x_0} - {x_j}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - {y_j}} \right)}^2}}}{{{w^2}}}} \right]\times\\ & \exp \left( {{\text{i}}{\varphi _j}} \right) \end{split} $

(1)

式中：A与$ \varphi_j=2jm{{\text{π}}}\mathord{\left/\vphantom{2jm{\text{π}}6}\right.}6 $分别代表第j个高斯光束的振幅与相位分布，m为整数，用以调整相邻子高斯光束之间的固定相位差；x₀，y₀是每个子高斯光束的坐标；高斯光束都具有相同的束腰半径$w$。子高斯光束中心位置在x方向与y方向上的坐标分别为${x_j} = \rho \cos {\theta _j}$，${y_j} = \rho \sin {\theta _j}$，${\theta _j} $为第j个高斯光束的中心和x轴之间的夹角，如图1（b）所示。调整半径$\rho $的大小，使光束之间距离足够远，以防止高斯光束之间发生重叠。在这项工作中，光涡旋晶格分别由三束、四束、六束高斯光束离轴干涉得到。在源平面上的复合场分布$ {E_{\mathrm{s}}} $可以表示为B束子高斯光束的总和

$ {E_{\mathrm{s}}}\left( {{x_0},{y_0},{\textit{z}} = 0} \right) = \sum\limits_{j = 1}^B {{E_j}\left( {{x_0},{y_0},{\textit{z}} = 0} \right)} $

(2)

式中，B表示高斯光束的数量。通过夫琅禾费衍射积分来模拟其在空间中的传输以及远场衍射分布，其远场复振幅分布E_f表达式^[10]为

$ \begin{split} {E_{\mathrm{f}}}\left( {x,y} \right) = &\frac{{\exp \left( {{\mathrm{i}}k{\textit{z}} } \right)}}{{{\mathrm{i}}\lambda {\textit{z}} }}\exp \left[ {{\mathrm{i}}\frac{k}{{2{\textit{z}} }}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right] \times\\ \int {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{E_0}} }\left( {x_0},{y_0},{\textit{z}}\right. = & \left.0 \right) \exp \left[ { - {\mathrm{i}}\frac{{2{\text{π}} }}{{\lambda {\textit{z}} }}\left( {{x_0}x + {y_0}y} \right)} \right]{\mathrm{d}}{x_0}{\mathrm{d}}{y_0}{\rm{ }} \\ =& \frac{A}{{{\mathrm{i}}\lambda {\textit{z}} }}\exp \left[ {{\mathrm{i}}k\left( {{\textit{z}} + \frac{{ {{x^2} + {y^2}} }}{{2{\textit{z}} }}} \right)} \right]{\rm{ }}\times\\ \sum\limits_{j = 1}^B {{\cal F} \left[ {\exp \left( {{\mathrm{i}}{\varphi _j}} \right)} \right]} \otimes& {\cal F} \left\{{\left. { \exp \left[ { - \frac{{{{\left( {{x_0} - {x_j}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - {y_j}} \right)}^2}}}{{{w^2}}}} \right]} \right\}} \right. \end{split} $

(3)

式中：z =f，f为透镜的焦距；k = 2π/λ；λ为透镜的焦距；$\mathcal{F}$为傅里叶变换，其远场复振幅分布E_f可以简化为^[11]

$\begin{split} {E_{\mathrm{f}}}\left( {x,y} \right) \propto & \sum\limits_{j = 1}^B {\exp \left( {{\mathrm{i}}{\varphi _j}} \right)}\times \\ & \exp \left\{{{\mathrm{i}}\frac{{k\rho }}{f}\left[ {x\cos \left( {{\text{π}} j/3} \right) + y\sin \left( {{\text{π}} j/3} \right)} \right]} \right\} \end{split}$

(4)

本研究中，B束高斯光围绕着半径为$\rho $的圆均匀排列，经过夫朗禾费衍射观察其远场分布，其中B的值分别为3、4、6。为了简化计算，令式（4）中的$ {{k\rho } \mathord{\left/ {\vphantom {{k\rho } f}} \right. } f} = 1 $。图1（d）～1（g）展示了六束子高斯光束在远场处的强度与相位分布，即$ B = 6 $时，通过改变相邻子高斯光束之间的固定相位差，一共可得到4种强度分布不同的光晶格。当m分别为0、1、2和3时，子高斯光束在远场处的强度分布如图1（d3）～1（g3）所示。而图1（d2）～1（g2）则分别展示了与其对应的相位分布，可以发现当相邻子高斯光束之间的固定相位差为${\text{π}} / 3$和$2 {\text{π}} / 3$（即m分别为1和2）时，在远场处可得到排列规律的光晶格，并且在晶格中都携带有OAM。这两种光涡旋晶格的复振幅分布可以简化为

$ \begin{split} E_{\mathrm{f}}^{m = 1}\left( {x,y} \right) =& \left| {2{\mathrm{i}}\left[ {\sin \left( x \right) + \sin \left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right)} \right]} \right. - \\ & {\left. { \sqrt 3 \cos \left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right)} \right|^2} \\ \end{split} $

(5)

$ \begin{split} E_{\mathrm{f}}^{m = 2}\left( {x,y} \right) = & \left| { - 2\left[ {\cos \left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right)} \right.} \right. + \cos \left( x \right) \cdot\\ &{\left. {\left. { \sqrt 3 {\mathrm{i}} \cdot \sin \left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right)} \right]} \right|^2} \end{split} $

(6)

同理，图2（a1）～2（d4）分别为$B = 3$和$B = 4$时，即三束和四束子高斯光束的三维原理图、源平面处的示意图、强度和相位分布图。如图2（a1）～2（b4）所示，三束子高斯光束在远场中生成了六角晶格，其相邻的子高斯光束之间的相位差分别为0和${{2{\text{π}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{2{\text{π}} } 3}} \right. } 3}$，即$m = 0$和$m = 1$。观察图2（a3）、2（b3）发现，m的变化不会改变晶格结构，但是精确的定位显示，光强模式会随着m的变化而变化，如图中白色圆圈所示。此外，如图2（a4）、2（b4）所示，其相位分布还会在水平方向上发生平移，用黑色虚线圈表示，并且其TC数始终保持$ \pm 1$。此光涡旋晶格的复振幅分布为

$\begin{split} E_{\mathrm{f}}^{m = 0}\left( {x,y} \right) =& 2\cos \frac{{\sqrt 3 y}}{2}\left(\cos \frac{x}{2} - {\mathrm{i}}\sin \frac{x}{2}\right) +\\& \cos x + {\mathrm{i}}\sin x \end{split} $

(7)

$\begin{split} E_{\mathrm{f}}^{m = 1}\left( {x,y} \right) = & \cos \frac{{\sqrt 3 y}}{2}\left[(\sqrt 3 {\mathrm{i}} + 1)\cos \frac{x}{2} +\right. \\ & \left.(\sqrt 3 {\mathrm{i}} - 1)\sin \frac{x}{2}\right] - (\cos x + {\mathrm{i}}\sin x) \end{split} $

(8)

图2（c1）～2（d4）给出了$ m=1和m=3 $时四束子高斯光束在远场中生成的Lieb晶格，其相邻的子高斯光束之间的相位差为${{\text{π}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π}} 2}} \right. } 2}$和${{3{\text{π}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{3{\text{π}} } 2}} \right. } 2}$，其复振幅分布为

$ E_{\mathrm{f}}^{m=1}\left(x,y\right)=\sqrt{[1-2(\sin y)^2+\sin\left(2x\right)]\times2\mathrm{i}+2\sqrt{2}[\sin(\sqrt{2}x)+\sin(\sqrt{2}y)-\cos(\sqrt{2}x)-\cos(\sqrt{2}y)]} $

(9)

在这项工作中，以六边形晶格和Kagome晶格为例，单位晶格所携带的TC大小总是为1或2，因此晶格上的OAM过小，可以忽略不计。但若是将参数m设定为大于3的数，则相邻子高斯光束之间的相位差大于${\text{π}} $，此时其相位差值可写作${\varphi _j} - {\varphi _{j - 1}} = {\text{π}} + \varepsilon $。但是相位总是以$2{\text{π}} $为周期，因此相邻子高斯光束之间相位差也可以写成${\varphi _j} - {\varphi _{j - 1}} = - {\text{π}} + \varepsilon $，此时相位差的取值范围为$\left[ { - {\text{π}} ,{\text{π}} } \right]$。在这种情况下，只要m为整数，则所有的相位差都只能在$0，{\text{π}} /3，2{\text{π}} /3$和${\text{π}} $中取值。这导致当$m {\text{＞}} 3$时，六束光在远场处强度分布会一直重复，即通过六束光离轴干涉得到的光晶格所携带TC仅能为1或2，难以调制。因此，必须在六边形晶格和Kagome晶格上执行额外的相位调制才能获得具有高TC的光涡旋晶格。待调制的光涡旋晶格相位分布$\phi $可表示为

$ \phi \left( {x,y} \right) = {{\mathrm{Im}}} \Big\{ {\log \Big[ {{E_{\mathrm{f}}}\left( {x,y} \right)} \Big]} \Big\} $

(10)

式中，Im表示复合函数的虚部。为了调制光涡旋晶格中单位晶格上所携带的TC，利用相位倍乘技术，将乘法因子N应用于相位，则其相位分布$\phi_0 $为

$ {\phi _0}\left( {x,y} \right) = N\phi \left( {x,y} \right) = N{{\mathrm{Im}}} \Big\{ {\log \Big[ {{E_{\mathrm{f}}}\left( {x,y} \right)} \Big]} \Big\} $

(11)

经过重建的相位项应为$\exp \left( {{\mathrm{i}}N\phi } \right)$，则高阶光涡旋晶格的复振幅分布E_N为

$ {E_N}\left( {x,y} \right) = {E_0}\exp \Big\{ {{\mathrm{i}}N{{\mathrm{Im}}} \Big\{ {\log \Big[ {{E_{\mathrm{f}}}\left( {x,y} \right)} \Big]} \Big\}} \Big\} $

(12)

式中，${E_0}$为光场的振幅。由TC的定义可知，单一晶格中所携带的TC可通过改变N值进行调制，这使其在光操纵和光通信领域中的应用范围更加广泛。此外，利用分布傅里叶算法在自由空间中模拟传播的光涡旋晶格，公式为

$ \begin{split} E(X,Y,Z) =& \left\{ {{{\cal F}^{ - 1}}\exp \left[ {\frac{{\mathrm{i}}}{2}\left( {\omega _x^2 + \omega _y^2} \right)Z} \right]} \times \right. \\ & \Biggr. { {\cal F} \left[ {E\left( {X,Y,Z = 0} \right)} \right]} \Biggr \} \end{split}$

(13)

式中：$ E\left( {X,Y,Z = 0} \right) $为源平面复振幅；$ E\left( {X,Y,Z} \right) $是距离源平面为Z的观测点处光束的复振幅^[12]；$\mathcal{F}$和${\mathcal{F}^{ - 1}}$表示傅里叶变换和傅里叶逆变换；${\omega _x}$和${\omega _y}$分别为x方向与y方向上的空间频率。

2 实验装置

为了测量光涡旋晶格的TC，通过图3所示的实验装置产生高阶光涡旋晶格。光源为氦氖激光器（He−Ne Laser）发出的波长为632.8 nm的激光。激光由反射镜R1与R2反射后经过光阑CA1进行准直，再通过激光扩束器（BE）使光束束腰增加一倍。经过扩束后的激光被偏振分束器（PBS）分成两条路径，其中水平支路上的光束经由PBS和半波片（HWP1）进行偏振调控后照射到空间光调制器（SLM，GAEA，有效面积14.96 mm × 9.22 mm，分辨率4000 × 2464像素）上，经SLM调制的光束的衍射再现包含多个衍射级。+1衍射级是期望的涡流光束，其他衍射级被光阑CA2阻挡，以避免降低成像质量。SLM中加载有预先设定好的相位全息图，如图3右上角插图所示，光束经过SLM后被调制为光涡旋晶格。输出的光涡旋晶格通过反射镜（R3）和分束器（BS）反射到CMOS相机（CMOS）中。PBS中另一条垂直支路上的光束为参考光束，PBS与BS构成了一个马赫−曾德尔干涉仪，将参考光束与生成的光涡旋晶格非同轴叠加形成叉形图案来测量光涡旋晶格的TC。参考光束首先通过反射镜（R4）反射，再用分束器（BS）调节其与光涡旋晶格之间的夹角，使得两束光合并，最后在CMOS相机处实现非同轴干涉叠加，干涉图样被记录在CMOS相机中。此外，可通过调整马赫−曾德尔干涉仪中两条支路上的光强比或通过调整垂直支路上的HWP2使参考光束的偏振与SLM调制生成的光涡旋晶格的偏振相匹配，来提高所采集到的图样的清晰度，使CMOS相机采集到质量较好的实验结果。

3 模拟与讨论 3.1 高阶光晶格的产生

利用式（12）对六束光进行干涉生成了高阶六边形晶格，图4为晶格的理论强度分布和相位分布图以及通过图3的实验装置生成的实验强度分布图，展示了不同参数N对六边形晶格强度分布的影响。由图4观察到六边形晶格在高阶变化的过程中暗核数量不变，但暗核中相位奇点上的TC增加，同时也导致了在高阶六边形晶格中单位晶格中心区域的暗核面积与四周的暗核面积逐渐扩大^[13]。为了便于观察，在图4（b1）～4（b4）中仅展示了图4（a1）～4（a4）中高亮显示的单位晶格及其周边的相位分布。

当相邻子高斯光束之间的相位差$\Delta \varphi $大于0时，即$\Delta \varphi = {\varphi _{j + 1}} - {\varphi _j} {\text{＞}} 0$，在每个单位晶格中心处的相位从0沿顺时针方向增加到$2{\text{π}} $并循环，图4（b1）与4（b2）中标注了这一过程，此时定义TC为负数。在图4（b3）与4（b4）中展示了$\Delta \varphi = {\varphi _{j + 1}} - {\varphi _j} {\text{＜}}0$的情况，此时在单位晶格中心处的相位沿逆时针方向增加，对应的TC为正数。除此之外，在其周围区域也存在一些相位奇点，如图4（b1）～4（b4）虚线圆圈所标记，该区域的TC在调制的过程中也会增加，因此导致其无法携带无限大的OAM。图4（c1）～4（c4）为相应的实验强度分布图，其中图4（c2）～4（c4）中，高阶六边形晶格的暗核面积会随着参数N的增加而不断增大。但在图4（c1）中并不符合这一规律，这是因为在生成低阶[图4（c1）]和高阶[图4（c2）～4（c4）]六边形晶格的实验过程中使用的焦距不同，这导致图4（c1）中任意两个单位晶格之间的间距更大。

图5（a1）～5（a3）和图5（b1）～5（b3）分别为高阶Kagome晶格的理论强度分布和相位分布。在Kagome晶格的理论强度分布中发现晶格由六边形和沙漏形两种独特的结构组成，在图5（a）中用蓝色虚线标出并放大以展示其细节。观察其对应的相位分布可知，六边形结构中的TC为2，而在沙漏形结构中则存在两个相位奇点，每个奇点携带TC大小为−1，因此晶格整体所携带的TC总和为0。在高阶Kagome晶格中，暗核的数量不会发生改变。但在六边形结构里，暗核中的TC数变为之前的N倍，即TC数为2N；而在沙漏形结构里，两个暗核中的TC数都为N。而相位调制作用于整个晶格，所以在Kagome晶格的阶数提高后TC数仍满足$ - N + 2N - N = 0 $。因此，高阶Kagome晶格和传统的Kagome晶格具有相同的特征，即晶格整体的TC为0。同时Kagome晶格可通过改变相邻子高斯光束之间的相位差来对六边形结构和沙漏形结构中携带的TC的正负进行控制。此外，Kagome晶格与高阶六边形晶格相似，相位奇点处的TC增大总是会导致晶格中暗核面积的扩大。

利用图3实验装置中的马赫−曾德尔干涉仪，使高阶光涡旋晶格与平面波之间进行非同轴干涉，从而测量晶格的TC。其实验干涉图如图6所示，图6（a1）～6（a4）和6（b1）～6（b4）分别为不同阶数的六边形晶格与Kagome晶格经干涉后测得的实验强度分布，在两种晶格的相位奇点处都出现了分叉条纹，分叉数量与TC大小相等。在图6（a1）中展现了一般的六边形晶格，即在$N = 1$的情况下，7个单位晶格（在图中用黑色圆圈标注）的中心暗核区域呈现出分叉方向向下的条纹，且每个暗核中的分叉数量为1，即每个暗核中都含有一个TC为1的相位奇点。因此，每个单位晶格都可以视为一个独立的光学涡旋。图6（a2）～6（a4）中分别展示了当N为2、3以及4时的干涉图案，可以观察到在高阶光涡旋晶格中暗核数量不变，但在每个暗核中的TC会随着N值的增加而增加，其大小为N，与理论模拟结果一致。图6（b1）～6（b4）主要展示了Kagome晶格中六边形结构暗核（黑色圆圈标记）内包含的TC，每个暗核中的TC数为2N，同样符合之前所提出的理论。

如图7所示，利用式（12）对三束光干涉和四束光干涉生成了高阶六角晶格（黑色实线框）和高阶Lieb晶格（黑色虚线框），与上文六束光干涉有着相同的现象，随着阶数N的增加，暗核的面积增大，强度减小。此外在六角晶格中，观察图7（b1）～7（b3）相位分布，晶格中含有一对相反的TC，如图中黑色圆圈标注，且TC值与N的大小直接相关。当$N = 2$时，相位奇点携带一个TC为2，另一个TC为−2，使得晶格整体携带的TC为0，因此可以得到六角晶格的整体TC为$N + \left( { - N} \right) = 0$。在四束光干涉生成的Lieb晶格中，由图7（e1）～7（e3）相位分布可得，每一个暗核内携带的TC大小随着N值的增加而增加了N倍，正负根据TC的定义判断即可，即图7（e1）～7（e3）中白色圆圈内携带的TC分别为+2、−3、−4。

3.2 Talbot效应

Talbot效应，又称Talbot干涉现象，是一种常见的近场衍射效应^[14-15]，指的是当光波通过一个周期性结构，如光栅或者其他具有周期性的透明或半透明物质时，会在一定的距离后自我再现，即原有的光栅图案会在特定的距离处重现，这两个平面之间的特定距离被称为Talbot距离（在本文用Z_T表示），其大小为横向Talbot（Z_Tx）和纵向Talbot（Z_Ty）周期的最小公倍数^[16]。利用式（13）模拟光涡旋晶格在自由空间中的传输模型，观察晶格在传播过程中是否具有Talbot效应。

首先，考虑一个携带TC为4的Kagome晶格（此时$N = 2$），其在源平面上的强度分布如图8（a1）所示，图中的虚线矩形表示组成Kagome晶格的一个基本结构单元。晶格的无衍射特性被打破后在沿z方向传播过程中的光强如图8（a2）所示。由图中观察到光束在传播路径中不断重复出现，具有周期性，表明该光束在自由空间的传播过程中显现出Talbot效应。

图8（a）中Kagome晶格在x方向和y方向上的周期分别为$2{\text{π}} $和${{2{\text{π}} } \mathord{/ {\vphantom {{2{\text{π}} } {\sqrt 3 }}} } {\sqrt 3 }}$，即得到总的Talbot距离为${Z_{\mathrm{T}}} = 4{\text{π}} $。Z取$4{\text{π}} $代入式（13）中得到如图8（a3）所示的强度分布，可以发现其光强分布与源平面上的一致，证实了高阶Kagome晶格的总Talbot距离为$4{\text{π}} $。分别截取高阶Kagome晶格在z$ =0.07Z_{\mathrm{T}}，{\textit{z}}=0.2Z_{\mathrm{T}}，{\textit{z}}=0.24 Z_{\mathrm{T}} $处的光强分布，同时再截取这些位置以$0.5{Z_{\mathrm{T}}}$为中心的对称位置$\left( {\textit{z}} = 0.93{Z_{\mathrm{T}}}，{\textit{z}} = 0.8{Z_{\mathrm{T}}}，\right.\left.{\textit{z}} = 0.76{Z_{\mathrm{T}}} \right)$处的强度分布[图8（a3）]，通过对比其对应位置的强度分布一致，体现了其周期性。

同样在图8（b）中也表明五阶六边形晶格的传输过程中显现出Talbot效应。其在沿x方向与y方向上的两个周期与Kagome晶格一样，因此六边形晶格的总Talbot距离也为$4{\text{π}} $。同样的，截取六边形晶格在$ {\textit{z}}=0.2{Z}_{{\mathrm{T}}}，\text{ }{\textit{z}}=0.42{Z}_{{\mathrm{T}}}, {\textit{z}}=0.58{Z}_{{\mathrm{T}}} $以及它们以${\textit{z}} = 0.5{Z_{\mathrm{T}}}$为中心的对称位置处的光强截面图，其强度分布如图8（b3）所示，二者完全一致。

如图9所示，研究发现在三束光干涉生成的六角晶格中也存在Talbot效应，但是只在六角晶格携带的TC为1（此时$N = 1$）时检测到。其横向周期和纵向周期分别为${{2{\text{π}} } \mathord{/ {\vphantom {{2{\text{π}} } {\sqrt 3 }}} } {\sqrt 3 }}$和$2{\text{π}} $，基于傅里叶算法得到六角晶格Talbot总距离为$4{\text{π}} $，同样以${\textit{z}} = 0.5{Z_{\mathrm{T}}}$为中心，截取六角晶格对称位置处的光强截面图来验证，如图9（a3）所示。发现在${\textit{z}} = 0.11{Z_{\mathrm{T}}}\left( {{\textit{z}} = 0.89{Z_{\mathrm{T}}}} \right)$和${\textit{z}} = 0.22{Z_{\mathrm{T}}}\left( {{\textit{z}} = 0.78{Z_{\mathrm{T}}}} \right)$位置处晶格转变为Kagome晶格结构，而在${\textit{z}} = 0.21{Z_{\mathrm{T}}}\left( {{\textit{z}} = 0.79{Z_{\mathrm{T}}}} \right)$和${\textit{z}} = 0.46{Z_{\mathrm{T}}}\left( {{\textit{z}} = 0.54{Z_{\mathrm{T}}}} \right)$位置处转变成了超蜂窝晶格结构。高阶六边形晶格和高阶Kagome晶格以及超蜂窝晶格结构的光斑较为复杂，受实验设备的限制，获得的光斑质量较差，因此此处未展示相关的实验图。

图10为四束光干涉生成的Lieb晶格在不同阶数下的Talbot效应，其横向周期和纵向周期都为$\sqrt 2 {\text{π}} $，基于傅里叶算法得到Lieb晶格Talbot总距离为$2{\text{π}} $。在图10（a3）～10（a6）中，截取高阶Lieb晶格中以${\textit{z}} = 0.5{Z_{\mathrm{T}}}$为中心的不同距离处的光强截面图，观察到对称位置处的光强分布一致，验证了其Talbot效应。Lieb晶格的光斑形状较为简单，得到的实验效果良好，如图10（b1）～10（b4）所示，且和理论结果相吻合。

4 结 论

本文首先通过六束、四束、三束光的干涉生成Kagome晶格、六边形晶格和Lieb晶格以及六角晶格，随后利用相位倍乘技术对生成的光涡旋晶格携带的TC进行调制，拓展了原来单位晶格中携带的TC数，通过不同光束数量生成的不同光涡旋晶格验证了此方法的普适性，并通过搭建马赫−曾德尔干涉仪构建非同轴干涉的光路验证该方法的有效性。除此之外，利用分布傅里叶算法建立了不同的光涡旋晶格在自由空间中的传输模型。研究发现，除了三束光干涉生成的高阶六角晶格中没有Talbot效应，另外三种高阶光涡旋晶格都具有Talbot效应，并且在特定的位置处某些阶数的 Kagome 晶格和六边形晶格可以转换为超蜂窝晶格。但是一阶六角晶格在特定得距离下也转换成了六边形晶格和超蜂窝晶格。这为六边形晶格和超蜂窝晶格的生成提供了新的方法。综上所述，这项研究工作拓展了光涡旋晶格的应用范围，为同时捕获和操纵多个粒子铺平道路，对于大容量空间光通信和复杂微粒控制具有重要意义，为光学研究和技术开辟了新的途径。