引　言

自20世纪80年代Ashkin发明光镊以来，光镊已被应用于许多领域，成为研究生物细胞、DNA分子和其他粒子不可或缺的工具^[1]。传统光镊一般由高斯光束（Gaussian beam, GB）构成，聚焦高斯光束的梯度力会将粒子稳定地困在束腰处^[2]。许多研究都表明一些其他光束也可以用于光学操作，比如拉盖尔高斯光可以在多平面对粒子进行捕获^[3-4]。此外，柱矢量光束、洛伦兹−高斯光束等对微粒的辐射力也有相关的研究报道^[5-6]。

将一维艾里光束做径向对称处理可以获得圆对称艾里光（circular Airy beam, CAB）^[7]。它是一种特殊的自聚焦光束，在自由空间中传播时，由于保持了艾里光束的自加速特性，光场能量沿抛物面汇聚于焦点，因此CAB能一直保持极低的光强直到焦点前，而在焦点处的光强会突然增大到之前的数十倍甚至上百倍^[8-10]。与普通聚焦光束相比，CAB在到达预定的治疗区域前（即焦点位置）能保持极低的光强分布，不会对其传播路径上的健康细胞造成损伤，从而能实现精准定点治疗的效果，可应用于激光手术治疗和光动力治疗等领域^[7]。CAB还具有“相位记忆”特性。Fedorov等^[11]发现CAB在非线性介质中产生的高阶谐波能与基波保持相同的相位分布，这一特性在非线性光学中有着广阔的应用前景。此外，CAB的焦点位置在较长一段距离内变化时，其焦点的体积元素特征，包括形状和尺寸等都能几乎保持不变，因此CBA可应用于激光直写三维微结构加工技术。与聚焦高斯光束相比，使用CAB能够加工出质量更高的微纳器件^[12]。

在CAB的众多应用领域中，光学操控是最受关注的一个。CAB由于在焦点处的光强突变会产生极大的光学梯度力，因此被认为在光学微操作领域具有无可替代的先天优势 。2011年，Zhang等^[13]首先通过实验验证了CAB能够高效地捕获和引导微粒。2013年，Jiang等^[14]理论研究了CAB对瑞利粒子的光力特性，发现CAB的光阱刚度要远大于高斯光束。2019年，Lu等^[15]理论研究了CAB对米颗粒的光力特性，发现CAB同样可以有效地操控米颗粒。2022年，Shou等^[16]使用CAB实现了在较大范围内操控颗粒的运动。

然而目前CAB的光力研究仅针对标量光束，对矢量CAB光力的研究还未有报道。因此本文详细研究了一阶涡旋角向偏振CAB的自由空间传播特性以及其对瑞利颗粒的光力特性，发现矢量CAB同样可以高效地对瑞利颗粒进行操控，效率远大于普通高斯光束。

1 自聚焦性质

角向偏振光由于光轴上存在偏振奇点，因此聚焦后焦斑呈中空分布。当引入一阶涡旋相位后，由于轨道角动量的引入使得焦斑的自旋角动量发生了局域化现象，因此暗焦斑变为亮焦斑，在紧聚焦条件下，其焦斑横向尺寸甚至小于纵向分量占主导地位的径向偏振光焦斑^[17]。

涡旋角向偏振圆对称艾里光束的电场分布可表示为

$ E\left(r,\theta\right)=A\left(r\right)\exp\left(\mathrm{i}m\theta\right)\hat{e}_{\theta}^{ } $

(1)

式中：m为拓扑荷数；$A\left( * \right)$为切趾艾里函数，可表示为^[7]

$ ^{ }A(r)=A\mathrm{i}\left(\frac{r_0-r}{w}\right)\exp\left[\alpha\left(\frac{r_0-r}{w}\right)\right] $

(2)

式中：${r_0}$为主光环半径；$w$为比例因子，决定了光环的疏密程度；$\alpha $为指数衰减因子，决定了艾里函数的衰减速度，如图1（a）所示。当${r_0}$足够大时，CAB在自由空间传播表现出突然的自动聚焦特性，该特性来源于艾里函数的自加速。

角向偏振光束的自由空间传播可由瑞利−索末菲衍射积分计算获得^[18]

$ \begin{split}E_{\text{r}}(\rho,\phi,\textit{z}) = & -(-\mathrm{i})^m\frac{\mathrm{i}m\textit{z}}{\rho\sqrt{\textit{z}^2 + \rho^2}}\mathrm{exp}(\mathrm{i}k\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2})\exp(\mathrm{i}m\phi)\; \; \; \\ & \int_{ }^{ }A(r)\text{exp}\left(\frac{\mathrm{i}kr^2}{2\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2}}\right)J_m\left(\frac{k\rho r}{\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2}}\right)\mathrm{d}r\end{split} $

(3)

$ \begin{split}E_{\phi}(\rho,\phi,\textit{z}) = & (-\mathrm{i})^m\frac{k\textit{z}}{2(\textit{z}^2+\rho^2)}\mathrm{exp}(\mathrm{i}k\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2})\exp(\mathrm{i}m\phi) \\ & \int_{ }^{ }A(r)\mathrm{exp}\left(\frac{\mathrm{i}kr^2}{2\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2}}\right) \\ & \left[J_{m-1}\left(\frac{k\rho r}{\sqrt{\textit{z}^2+\rho^2}}\right) - J_{m + 1}\left(\frac{k\rho r}{\sqrt{\textit{z}^2 + \rho^2}}\right)\right]r\mathrm{d}r \end{split} $

(4)

式中$ k $代表波数。由于此时光束传播仍在傍轴范围内，纵向z分量远远小于横向分量，所以忽略不计。图1（b）分别给出了不同参数的一阶涡旋角向偏振CAB的光轴光强分布，在本文的计算中$m = 1$。从图1中可以看到，矢量CAB也保持了突然自聚焦特性，在焦点处的光强突增。

图2给出了CAB参数${r_0}$，$w$，$\alpha $对光束自聚焦特性的影响。为了便于比较，不同参数下初始面光场能量设为1。参数$\alpha $控制艾里函数的振荡衰减速度，$\alpha $越小衰减速度越慢，外环光圈数量增多。从图2（a）可知，$\alpha $的变化对自聚焦焦距几乎不产生影响，这表明焦距主要由主光环决定，受外环光圈影响很小；从图2（d）可知，焦斑尺寸会随着$\alpha $的增加而增大，这是由于随着$\alpha $的增加，光束的高频分量减少，使得焦斑变大。焦点峰值也相应随$\alpha $的增加而减小，如图2（g）所示。

参数${r_0}$决定了主光环的位置，从图2（b），图2（e）可知，焦距随着${r_0}$的增大而增大，与之相反，焦斑尺寸随${r_0}$的增大而减小，但当${r_0}$增大到一定数值后，焦斑尺寸基本保持不变，不再随着${r_0}$的增大而减小。由图2（h）可知，焦点光强峰值随${r_0}$的增大而减小。

参数$w$控制了光环的疏密程度，$w$越小，光环分布越密，继频谱中高频分量越多。从图2（c），图2（f）可知，焦距与焦斑尺寸都随着$w$的增大而单调递增。相应的，焦点光强峰值随$w$的增大而递减，如图2（i）所示。从图2中可以看到，参数$w$对光束焦距特性的影响远大于$\alpha $和${r_0}$。与标量CAB的空间传播特性相比^[7]，一阶涡旋角向偏振CAB自聚焦性质随不同参数的变化趋势与标量光束一致，这说明涡旋相位的引入以及偏振态的改变对CAB的自聚焦性质影响较小。由于参数$w$对光束自聚焦性质的影响是最大的，本文只讨论$w$的改变对光场力的影响。

2 瑞利颗粒的辐射力

瑞利介电粒子可以看做光场中的电偶粒子。极化率$\beta $为^[19]

$ ^{ }\beta=4{\text{π}}R^3\frac{\varepsilon_p-\varepsilon_m}{\varepsilon_p+\varepsilon_m}^{ } $

(5)

式中：$R$为粒子半径；${\varepsilon _p}$和${\varepsilon _m}$分别为粒子和所处环境介质的介电函数。由此可以进一步推导出粒子的梯度力${F_g}$和散射力${F_s}$^[20]

$ F_g=\frac{1}{4}\varepsilon_0\varepsilon_m\mathrm{Re}(\beta)\nabla\left|E^2\right| $

(6)

$ ^{ } {F_s} = \frac{{{\varepsilon _0}\varepsilon _m^3k_0^4}}{{12\pi }}\left| {{\beta ^2}} \right|\left| {E} ^2 \right| $

(7)

式中：$\varepsilon _0 \mathrm{为} $真空的介电常数；$ {k}_{0}\mathrm{为} $真空波数。在以下计算中设微粒为球形，半径$R = 40\;{\rm{nm}}$。玻璃微粒的折射率${n_p} = 1.59$，环境介质为空气，折射率${n_m} = 1$。在可见光波段有${\varepsilon _p} = n_p^2$和${\varepsilon _m} = n_m^2$。计算时保持参数$\alpha = 0.08$，${r_0} = 50\;{\text{μ}}{\rm{m}}$，$\lambda = 1\,064\;\;{\rm{nm}}$不变。为了排除峰值强度大小因素的干扰，单独比较光强分布对微粒所受辐射力的影响，以便于比较，在以下计算中设焦平面峰值光强为1。

2.1 玻璃颗粒

图3给出了玻璃微粒在$w = 2.5\;{\text{μ}}{\rm{m}}$时的横向与纵向辐射力的分布，从图3（a）和图3（b）可知，当$w = 2.5\;{\text{μ}}{\rm{m}}$时，纵向梯度力大于散射力，但处于一个数量级，图3（c）的纵向合力主要取决于梯度力。粒子可以在纵向梯度力的作用下，在${ {\textit{z}}_a} = 338\;{\text{μ}}{\rm{m}}$处被捕获，由于散射力的影响，${ {\textit{z}}_a}$的位置从焦点略微向前移动。梯度力沿光轴振荡，所以后续存在多个平衡位置，例如在${ {\textit{z}}_b}$位置也可被捕获。图3（d）分别给出了${ {\textit{z}}_a}$和${ {\textit{z}}_b}$位置的横向梯度力，从图中可以看到，在${ {\textit{z}}_a}$和${ {\textit{z}}_b}$位置都可以有效地约束住微粒的横向位置。${ {\textit{z}}_a}$位置由于更靠近焦点，其势阱刚度明显大于${ {\textit{z}}_b}$位置。

图4给出了$w = 4.5\;{\text{μ}}{\rm{m}}$时玻璃粒子的受力情况，其他计算参数与图3相同。通过对比图3和图4可以看出，随着$w$的增大平衡位置向远离初始面的方向移动，这是由于$w$的增大会让光束的焦距增大，平衡位置跟随焦点位置移动，如图1（c）所示。从粒子的受力情况来看，$w$的增大对粒子的纵向散射力峰值的影响较小，但使得纵向梯度力大幅减小，因此纵向合力中散射力的影响随着$w$的增大而增加，如图4（c）所示。这是由于随着$w$的增大，焦斑区域的突然自聚焦性和焦斑尺寸都随之下降，使得纵向梯度力和横向梯度力都有较大幅度的减小。因此，为了增强光阱刚度，应尽量选择$w$较小的光束作为光源。但另一方面，$w$的减小会增加光束产生难度，且$w$的取值过小反而会降低自聚焦性能^[21]。

2.2 气　泡

图5给出了气泡${n_p} = 1$在水中（${n_m} = 1.33$）时的受力情况。与玻璃粒子受力相比，纵向散射力明显增大，如图3（b）和图5（b）所示，这使得平衡位置的光阱刚度下降，如图3（c）和图5（c）所示。从图5（d）中可知，纵向平衡位置${ {\textit{z}}_a}$和${ {\textit{z}}_b}$并不是横向平衡位置，即不能在横向方向将气泡限制在光轴位置，而是会发生横向运动。

3 捕获稳定性分析

要使光阱可以稳定捕获粒子需满足几个必要条件。首先，向后的纵向梯度力必须大到足以克服向前的散射力，存在纵向平衡位置。从图3至图5可知，无论是玻璃微粒还是气泡，这一条件是可以满足的。然后，光阱的约束力必须能够大到克服微粒的重力与浮力的影响，并大于由热运动导致的布朗力。最大布朗力可表示为^[16]

$ ^{ } {F_b} = \sqrt {12{\text{π}} \eta R{k_B}T} ^{ } $

(8)

式中：$\eta $为环境介质的动力学粘度，空气和水分别为$ 1.85\times10^{-5}\;\mathrm{Pa}\cdot\text{s} $和 $8 \times {10^{ - 4}}\;{\rm{Pa}} \cdot {\rm{s}}$$k_{\mathrm{B}}$为玻尔兹曼常数；T为环境温度，本文取常温$ T=300\ \mathrm{K} $。由式（8）计算可知，当微粒半径$R = 40\;{\rm{nm}}$时，空气中的玻璃微粒和水中的气泡，其最大布朗力分别为$0.34\;{\rm{fN}}$和$2.24\;{\rm{fN}}$。而微粒的重力和浮力约在$ {10^{ - 3}}\;{\rm{fN}} $量级，远小于最大布朗力，可忽略不计。

当$w = 2.5\;{\text{μ}}{\rm{m}}$时，对于玻璃微粒，矢量CAB在纵向平衡位置${ {\textit{z}}_a}$能克服最大布朗力，焦点光强峰值需要约$ 9\; \mathrm{W}/\text{μ}\mathrm{m}^2 $。而要满足${ {\textit{z}}_b}$也能克服最大布朗力，焦点光强峰值则需要约$ 12.6\; \mathrm{W}/\text{μ}\mathrm{m}^2 $。由于横向梯度力大于纵向梯度力，因此满足纵向束缚要求也能满足横向束缚要求。对比同等条件的高斯光束，焦点光强峰值则要达到约$ 56.7\; \mathrm{W}/\text{μ}\mathrm{m}^2 $。

对于气泡，横向方向无法将气泡束缚在光轴。这是由于此时横向梯度力与位移同向，如图5（d）所示，因此气泡在光轴位置处会受到一个推力作用，使其远离光轴。通常横向束缚低折射率粒子需要构造暗焦斑。在纵向方向，${ {\textit{z}}_a}$和${ {\textit{z}}_b}$位置能克服最大布朗力，焦点光强峰值分别需要约$ 126\; \mathrm{W}/\text{μ}\mathrm{m}^2 $和$ 207\; \mathrm{W}/\text{μ}\mathrm{m}^2 $，远大于玻璃微粒的要求。而同等条件的高斯光束，其梯度力无法克服散射力，因此无平衡位置，无法束缚气泡。

4 结　论

本文首先讨论了一阶涡旋角向偏振CAB的自由空间传播特性，发现其仍然保持了标量CAB的突然自聚焦特性，且自聚焦特性与标量CAB类似。这说明涡旋相位的引入以及偏振态的改变对CAB的自聚焦性质影响很小。接下来，本文讨论了矢量CAB对瑞利球形颗粒的捕获能力。研究结果表明，矢量CAB在沿光轴的若干不同位置均可以捕获玻璃微粒和气泡。但对于气泡，矢量CAB无法在横向方向将其束缚在光轴位置。最后，本文讨论了矢量CAB的光阱刚度问题，发现纵向束缚气泡的要求远大于束缚玻璃微粒的要求，再次证明低折射率微粒更难被束缚。