引　言

光纤时频传递是一种精度较高的异地时频比对方法，用于建立远距离异地守时站之间的钟差比对链路，由于具有较高的比对精度而受到广泛的关注^[1]。但相关成果普遍处于试验验证阶段，目前尚未建立基于光纤时频传递链路的异地联合守时^[2]。在影响光纤时频传递链路的众多噪声中，温度对时频链路时延波动的影响具有往复波动的特征^[1]。对于该噪声，常用校正方法分为两类：1）借助于光学或电学分频、倍频、混频技术生成相位共轭的补偿信号，该方法精度低，补偿范围有限^[3]；2）通过锁相环和压控振荡器等，建立发射端与接收端之间的反馈鉴相，通过锁相环对相位噪声进行补偿，该方法存在锁相环失锁问题^[3]。李骁逸^[4]提出了一种基于异地原子钟跨站钟差数据总和噪声加权平均的链路噪声校正方法，在卫星系统中对具有往复波动特征的噪声具有极好的校正效果，理论上可以实现对链路噪声的百分百校正。陈法喜^[5]实测获得的光纤时频比对链路温度时延波动曲线及黄睿^[6]推导的温度时延波动公式表明，光纤的温度时延波动同样具有典型的往复波动特征，表明光纤的温度时延波动同样可能采用噪声数据加权的方法进行计算和校正。针对这一情况，本文基于仿真产生的氢原子钟，模拟建立了含有温度时延波动的光纤时频传递链路，对跨站钟差数据总和噪声加权平均方法在光纤温度时延波动中的校正效果进行了计算。结果表明，该方法可以从异地原子钟跨站钟差数据内获得光纤温度时延波动的具体数值，从而实现对温度时延波动的高精度校正。在陈法喜测得的1000 km光纤链路温度时延波动数值条件下，当光纤链路两端的守时站内各自拥有12台氢原子钟时，校正残差缩减至1ns以内。校正后的跨站钟差频率稳定度与原子钟实际频率稳定度之差，比原子钟实际频率稳定度数值低两个数量级。当光纤链路两端采用铯原子钟时，需400台左右的铯原子钟，方可将校正残差缩减至10 ns以内。计算结果表明，由于氢原子钟和铯原子钟噪声水平相差过大，在链路噪声校正中无法实现氢铯联合校正。

1 跨站钟差数据总和噪声加权平均校正方法 1.1 包含光纤时频传递链路温度时延波动的异地钟差比对系统

如图1所示，守时地面站A和守时地面站B通过光纤时频传递链路连接。地面站A内设置有n+1个原子钟，其中原子钟A₀为地面站A的参考钟。地面站B内同样设置有n+1个原子钟，其中原子钟B₀为地面站B的参考钟。原子钟A₁至原子钟A_n，分别与参考钟A₀形成n组站内钟差数据，为a₁至a_n。原子钟B₁至原子钟B_n，分别与参考钟B₀形成n组站内钟差数据，为b₁至b_n。参考钟A₀和参考钟B₀通过光纤时频传递链路连接，形成异地原子钟跨站钟差数据ab。

上述钟差数据可表达为

$ \begin{split}a_i= & \mathit{A_i}-\mathit{A}_0\ i=1,\cdots,n \\ b_j= & \mathit{B_j}-\mathit{B}_0\ \ j=1,\cdots,n \\ ab'= & \mathit{B}_0-\mathit{A}_0 \\ ab= & ab'+\xi(t)\end{split} $

(1)

式中：$ \xi (t) $为光纤链路的温度时延波动；$ ab' $为参考钟B₀与参考钟A₀不包含温度时延波动时的直接钟差。

通过以上方法求得原子钟B₁至B_n相对于参考钟B₀的钟差数据b₁至b_n后，以参考钟B₀相对参考钟A₀的钟差$ ab $为中介求得B₁至B_n相对于参考钟A₀的钟差$ a{b_1},\cdots ,a{b_n} $。

$ \begin{split} ab_j=b_j+ab= & ({B}_j-{B}_{{0}}{)}+{(}{B}_{{0}}-{A}_{{0}}{)}{ + }\xi{(}t{)}= \\ & {B}_j-{{A}}_{{0}}{ + }\xi(t)\ \ \ j=1,\cdots,n \end{split} $

(2)

将式（1）和式（2）相结合，把异地守时原子钟B₁至B_n与本地参考钟A₀的钟差比对转换为异地守时原子钟B₁至B_n与本地守时原子钟A₁至A_n之间的钟差比对数据。由此获得的$ {{\text{B}}_j};j = 1,\cdots ,n $与$ \mathit{{A}_j};j=1,\cdots,n $之间的钟差比对数据数学模型为

$ \begin{split}a_jb_j= & ab_j-a_j=\mathit{{B}_j}-\mathit{{A + }}\xi(t)-(\mathit{{A}_j}-\mathit{{A}})= \\ & \mathit{{B}_j}-\mathit{{A}_j}{ + }\xi(t)\ \ j=1,\cdots,n\end{split} $

(3)

众所周知，氢原子钟之间进行钟差比对，产生的钟差数据可以由二阶多项式$ x(t) = {x_0} + {{\text{y}}_0}t + { {\textit{z}}_0}{t^2} + \varepsilon (t) $表达，其中x₀为两个氢原子钟之间的初始相位差，y₀为两个氢原子钟之间的初始频差，z₀为两个原子钟之间的初始频漂差，$ \varepsilon(t) $为两个氢原子钟的总噪声^[7]。因此式（3）可以表示为

$ \begin{split}a_jb_j= & x_{0,j,j}+\mathit{{y}}_{0,j,j}t+\mathit{{z}}_{0,j,j}t^2+\varepsilon_{j,j}(t)\text{ + }\xi(t) \\ j= & 1,\cdots,n\end{split} $

(4)

通过上述步骤，即可建立包含有温度时延波动数据的异地站间原子钟钟差数据a_jb_j。

1.2 包含有温度时延波动的钟差数据总和噪声序列

陈法喜^[5]、黄睿^[6]、李晓亚等^[8]的研究指出，由温度变化引起的光纤时频传递链路时延波动具有周期和幅度小范围变化近似周期性波动，正弦曲线近似表示为

$ \xi(t)=a\times\sin\left(\dfrac{t}{b}\right) $

(5)

式中：a为正弦曲线幅值，其数值随光纤链路长度而增长^[5]；b为正弦曲线周期，其数值短期内以天为周期，长期情况下叠加年周期^[5-6]。根据陈法喜^[5]、黄睿等^[6]的研究成果，得到产生温度时延波动模拟曲线如图2中黑色曲线所示。由于钟差数据长度有限，不足以进行年周期计算，本文仅建立温度时延波动的天周期波动曲线。波动幅值参考陈法喜^[5]实测获得的，未经任何修正的1000 km光纤天周期链路温度时延波动，峰峰值为150 ns。

通过式（4）与式（5）可知，可以通过最小二乘拟合扣去异地钟差比对数据a_jb_j中的初始相位差、初始频差、频漂，得到如式（6）所示的异地原子钟B₁至B_n相对于本地原子钟A₁至A_n钟差数据的总和噪声序列$ { \varepsilon'_{ab,j,j}} $，其中仅包含各原子钟钟差数据内的原子钟自身噪声$ {\varepsilon _{ab,j,j}}(t) $以及温度时延波动$ \xi (t) $。

${ \varepsilon'_{ab,j,j}}(t)=\varepsilon_{ab,j,j}(t){ + }\xi(t)\;\; j=1,\cdots,n $

(6)

1.3 求得温度时延波动数值序列

在守时系统中，各个原子钟噪声状态相互独立，而噪声分布近似。多个相互独立的原子钟进行加权平均计算可以使原子钟自身噪声$ {\varepsilon _{ab,j,j}}(t) $在加权平均结果中被削弱。由于温度时延波动在所有钟差噪声序列中完全一样，因此不会被加权平均计算削弱。综上所述，对n组噪声序列进行加权平均后的结果为

$ \varepsilon '(t) = \frac{{\overline {{\varepsilon _{ab,j,j}}(t)} }}{{\sqrt n }}{\text{ + }}\xi (t) $

(7)

式（7）表明，参与温度时延波动计算的两地原子钟越多，则在采用本方法进行温度时延波动计算时，求得的加权平均结果中各原子钟自身噪声的成分越少。

将式（2）与式（7）联立即可得到温度时延波动校正后异地站各原子钟B₁至B_n与本地参考钟A₀之间的钟差序列$ {{ab'_j}}$的表达式为

$ \begin{split} ab'_j= & x_{ab0,j}+\mathit{y}_{ab0,j}t+\mathit{\text{z}}_{ab0,j}t^2+\varepsilon_{ab,j}(t)\text{ + }\xi(t)- \\ & \frac{\overline{\varepsilon_{ab,j,j}(t)}}{\sqrt{n}}-\xi(t)=x_{ab0,j}+y_{ab0,j}t+ \\ & z_{ab0,j}t^2+\varepsilon_{ab,j}(t)-\frac{\overline{\varepsilon_{ab,j,j}(t)}}{\sqrt{n}}\ \ j=1,\cdots,n \end{split} $

(8)

从式（8）中可以看到，在${{ab'_j}} $中光纤时频传递的温度时延波动$ \xi (t) $已被百分百校正。同时式（8）表明，在采用本文提出的温度时延波动校正方法时，不可避免的会损失一部分原子钟自身噪声，损失量为$ {{\overline {{\varepsilon _{ab,j,j}}(t)} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\overline {{\varepsilon _{ab,j,j}}(t)} } {\sqrt n }}} \right. } {\sqrt n }} $。噪声的损失体现在频率稳定度上，会使钟差数据的频率稳定度性能表现出提升。但是这一性能提升是虚假的，并非原子钟钟差数据性能的真实提升。当参与计算的原子钟数目n趋于无穷多时，原子钟自身噪声损失量趋于0，即可获得完全无损的真实原子钟钟差比对数据。因此原子钟数目n是运用本文提出的上述方法的前提条件。若采用不同类型的原子钟，根据原子钟自身噪声$ {\varepsilon _{ab,j,j}}(t) $的差异，需求的原子钟数目n将会有所不同。本文以当前商用原子钟中性能最优的氢原子钟为条件进行了试验，试验结果证明了本文提出的上述方法的有效性，并指出了当前技术条件下需要的氢原子钟数目n的最小数值。

2 计算结果分析 2.1 氢原子钟计算结果

本文以不同数量的氢原子钟计算了前文提出的校正方法，氢原子钟钟差数据的参数设置参考刘阳等的设置方法^[7]。当每个地面站内的原子钟数量从2台增加至40台时，所得各原子钟与链路的总和噪声序列加权平均结果如图2所示。由于参与计算的原子钟数目较多，图2中仅以20台，30台和40台原子钟数目为例。

图2中红色曲线为每个地面站各40台氢原子钟参与计算时获得的加权平均结果。绿色曲线为每个地面站各30台氢原子钟参与计算时获得的加权平均结果。蓝色曲线为每个地面站各20台原子钟参与计算时获得的加权平均结果。黑色曲线为原温度时延波动曲线。图2显示上述方法可以求得链路噪声的近似曲线，但无法表明求得噪声曲线所需的最佳原子钟数目。图3为原子钟数目逐渐增大时，所得噪声近似曲线与真实噪声曲线之差。

可以看出，在每个守时站内氢原子钟的数目从2台增加至40台的过程中，所得噪声近似曲线与真实噪声之差逐渐缩小。根据前文的推导，这一噪声偏差是由于噪声计算结果中不仅包含链路噪声，还包含原子钟噪声的计算残留。原子钟噪声的计算残留会随着参与计算的原子钟数目的增加而减小。图3表明，当每个守时站内参与计算的原子钟数目超过12台时，噪声近似曲线与真实曲线之间的偏差，即原子钟噪声的计算残留稳定的小于1ns。当原子钟数目由12台进一步增加，虽然噪声偏差值逐渐下降，但是下降缓慢。当原子钟数目超过32台时，噪声偏差值稳定的小于0.5 ns。更多的原子钟数目虽然能够更加精准的求得链路噪声，但产生显著提升所需的原子钟数目急剧增加。

用不同数目的氢原子钟参与计算时求得的噪声曲线，对异地跨站钟差数据进行校正后，所得的钟差数据频率稳定度如图4所示，图4以12钟计算、20钟计算、30钟计算和40钟计算举例显示。图5为不同原子钟数目参加噪声计算时，所得校正后的钟差数据的频率稳定度数值，与不包含链路噪声的原子钟真实钟差数据频率稳定度之间的差值。图5以氢原子钟守时系统较为关注的万秒平滑步长举例说明，在其他平滑步长的频率稳定度上结论与万秒平滑步长一致。

图4表明本文所述方法有效消除了链路噪声对原子钟性能的影响。但是根据1.3小节的推导可知，本文所述原子钟噪声的计算残留，在用于链路噪声校正时会破坏原子钟的真实性能，使钟差数据显示出的性能略优于原子钟的真实性能。通过图5可以看出，随着参与计算的原子钟数目的增加，这一虚假的性能提升会逐渐缩小。在万秒平滑步长下两个地面站各自有4台氢原子钟参与计算，稳定度偏差即可下降至10⁻¹⁷次方量级；有23台氢原子钟参与计算，稳定度偏差即可下降至10⁻¹⁸次方量级。相较于氢原子钟真实的万秒频率稳定度性能（10⁻¹⁵次方量级）小两个数量级。

2.2 铯原子钟计算结果

当采用铯原子钟进行链路噪声校正时，铯原子钟钟差数据的参数设置参考刘阳等的设置方法^[7]。由于铯原子钟自身噪声较大，需要更多的铯原子钟参与计算，以降低加权平均结果中含有的原子钟自身噪声。在计算中，当每个守时站内，参与计算的铯原子钟数量达到400台左右，求得的链路噪声计算值与真实链路噪声之差方可降低至纳秒量级。若要达到氢原子钟计算结果中的3 ns以内，需要超过1 k台铯原子钟。这一数量需求已经超出了现实系统能够实现的原子钟数目。因此未对更多的铯原子钟计算效果进行进一步的验证。

随着铯原子钟数目逐渐增大，所得噪声近似曲线与真实噪声曲线之差如图6所示。通过图6可以看出，在计算中，当每个守时站内，参与计算的铯原子钟数量达到400台左右，求得的链路噪声计算值与真实链路噪声之差方可降低至纳秒量级。若要达到氢原子钟计算结果中的3ns以内，需要超过1 k台铯原子钟。这一数量需求已经超出了现实系统能够实现的原子钟数目。因此未对更多的铯原子钟计算效果进行进一步的验证。

铯原子钟所获得的计算结果表明，其链路噪声计算值与真实值偏差较大。若不能集中极大数量的铯原子钟参与计算，则在温度时延波动等噪声的校正中难以建立氢−铯联合计算的方法。

但数学推导和计算结果也表明，原子钟自身噪声水平对计算结果及需要的原子钟数目具有决定性的影响。预期新一代冷原子钟投入使用后，可以进一步提高噪声计算精度，并降低提升计算精度所需的原子钟数量。

3 结　论

本文的计算结果表明，异地钟差数据总和噪声序列加权平均方法可以有效求得温度波动造成的光纤时频传递链路时延波动。理论上可以实现对温度时延波动的彻底校正，使异地原子钟跨站钟差数据真实体现原子钟的固有性能。对于1000 km左右的光纤时频传递链路而言，当氢原子钟数目超过12台时，即可使异地钟差数据的校正残差达到1ns以内，且异地钟差频率稳定度性能与原子钟真实频率稳定度之差，比原子钟真实频率稳定度性能低两个数量级。而当采用铯原子钟进行计算时，则需400台左右铯原子钟，方可将校正残差降低到10 ns以内。需1千台以上铯原子钟，方可将校正残差降低至3 ns以内。计算结果表明原子钟自身噪声水平对校正效果具有决定性的影响，氢原子钟和铯原子钟自身噪声水平差距巨大，难以通过本方法建立有效的氢铯联合噪声校正。

单纯使用本文提出的方法，对氢原子钟数目有较大的需求，使整个系统成本昂贵。与传统温度时延波动校正方法相结合，可以降低氢原子钟的噪声计算负担，从而降低本方法需要的氢原子钟数目。相对于百纳秒量级的时延波动，需十余台氢原子钟方可实现较好的校正精度。若通过传统方法，使温度时延波动降低至10 ns量级，可以预期仅需个位数的氢原子钟即可实现亚纳秒量级的校正效果。