引　言

随着太赫兹科学技术的发展和成熟，太赫兹波被广泛应用于安全检测、疾病诊断、通信和国防等领域。然而，由于自然界中缺乏天然响应的太赫兹材料，强场太赫兹器件的发展仍受到限制。超材料是人工设计的亚波长微结构材料，通过对微结构单元设计，超材料能够实现任意的介电常数和磁导率，从而为灵活调控电磁波提供了可能。太赫兹超材料的出现为制备太赫兹功能器件，进而有效调控太赫兹波提供了解决方案。

衡量强场太赫兹器件性能的指标之一是需具备光场束缚能力，从而增强光与物质的相互作用，因此在太赫兹超材料的设计中需引入光场束缚机制以获得强太赫兹场。连续域束缚态（bound states in the continuum, BIC）是一种光与物质之间的强相互作用，具有强束缚和超高品质因子等特性，在窄带滤波、传感、成像和非线性光学等领域均有应用^[1-4]。近年来，基于超材料和超表面的BIC被提出并用于电磁波调控。理想的BIC具有无限大的寿命和零泄漏，在电磁谱中是观察不到的。但是在产生BIC的超表面中引入结构扰动，就可以在远场中观察到准BIC。在实际的光学设计中，根据扰动的不同，光学BIC可分为两类：分别是对称保护型BIC（symmetry-protected BIC，SP-BIC）和偶发型BIC。SP-BIC是通过打破结构对称性或倾斜入射来实现的^[5]；而偶发型BIC中的共振耦合型BIC是在保持结构对称性的情况下，通过调整系统参数使束缚态与连续域之间的耦合消失来实现的^[6]，包括法布里–珀罗型BIC （Fabry-Pérot BIC，FP-BIC）^[7]和弗里德里希–温特根型BIC（Friedrich-Wintgen BIC ，FW-BIC）^[8]。其中，FW-BIC通常由两种不同激发模式在满足相位匹配条件下通过相消干涉产生的，其辐射通道伴有明显的反交叉现象。近年，关于FW-BIC的研究引起了人们广泛的兴趣，如Azzam等^[9]探讨了在由银光栅和介质层组成的超材料中，基于光子波导模式与光栅中等离激元的耦合实现的FW-BIC。Niu等^[10]设计了包含两个共面的金属开口环谐振器的太赫兹超表面，通过调节内环参数使内外两环支持的LC模式和四偶极模式耦合，获得了FW-BIC。Li等^[11]将石墨烯引入金属太赫兹超表面中，实现了准BIC到BIC的动态切换。Gao等^[12]设计了由石墨烯光栅和石墨烯薄片组成的超表面，基于法布里–珀罗共振模式和波导模式之间的相消干涉实现了FW-BIC，并用于完美吸收。Zhao等^[13]设计了能同时支持LC共振模式和偶极共振模式的金属太赫兹超表面，实现了FW-BIC，并讨论了其在太赫兹电、磁场增强方面的应用。由前述可知，对利用FW-BIC实现太赫兹波段电磁场增强的讨论较少，且缺少对利用晶格模式与超材料本征模式之间的耦合实现FW-BIC的讨论。晶格模式（lattice mode, LM）^[14]是一种沿着金属–电介质界面传播的表面模式，它的能量强烈集中在界面而不会辐射到远场，因此当晶格模式与其他模式耦合时可以有效减少模式的辐射损失，从而增强品质因子（Q因子），如Luo等^[15]利用晶格增强了准anapole模式的Q因子，并用于太赫兹免疫传感器。晶格模式与超材料本征模式耦合时的强耦合作用也为实现FW-BIC和超强电磁场提供了可能。

本文设计了一个包含双层空竹的超表面结构，通过调整晶格周期实现了不同阶的晶格模式与本征模式间的强耦合，在相位匹配条件下，实现了FW-BIC，并讨论利用FW-BIC和强耦合效应来实现太赫兹波段的磁场增强，发现相对于入射太赫兹波，最大的磁场强度可提高4个数量级。

1 双层空竹超表面的设计及本征模式

具有C₂旋转对称性的双层空竹超表面如图1（a）所示，其中50 µm厚的本征硅作为基底，在其顶部沿垂直方向沉积两层结构相同，周期性排列的200 nm厚的金空竹阵列结构，两层金属阵列由2 µm厚的介质层（聚酰亚胺）分开。在模拟中，金为有损金属，电导率$ \sigma = $4.561×10⁷ S/m。图1（a）还给出了一个结构单元的正视图及其几何参数，其中L = 100 μm，l = 20 μm，$ {a_{}}(x,y) = {a_{}}{(4，4)_{}}\;{\text{μm}} $，结构沿x轴和y轴的晶格周期分别用P_x和P_y表示。为了在超表面中激发本征模，设入射太赫兹波的偏振沿x轴方向。

为体现双层空竹超表面在磁场增强方面的优势，图1（b）给出了当P_x = P_y = 110 μm时，利用CST模拟的单层和双层空竹超表面的透射谱。其中单层空竹超表面（仅由衬底和单层空竹结构组成，未画出）的透射谱只有一个本征模式，共振频率在0.48 THz，谱线较宽，辐射损耗大。而对于双层空竹超表面则包括两个本征模式——对称模式（symmetric mode, SM）和反对称模式（anti-symmetric mode, ASM），它们是由上、下两个空竹结构的杂化耦合激发的。其中，SM的共振频率为0.44 THz，谱线较宽，但比单层空竹超表面的窄，并具有平行的表面电流分布，如图1（c）中上方的图所示，SM也称为电模式。由于SM中两个电偶极子的强度不同，它们将形成辐射通道，导致SM具有较低的电场限制能力。ASM的共振频率为0.69 THz，线宽较窄，具有不对称的Fano线形和反平行的表面电流分布，如图1（c）中下方的图所示。根据安培定则，磁场将限制在中间介质层内，因此ASM也称为磁模式。多模共振的产生为研究不同模式间的耦合，进而实现FW-BIC提供了可能。

超表面中的周期性结构可以产生沿表面传播的晶格模式，其共振频率可以由晶格周期P_x和P_y调控。在正入射情况下，晶格模式的共振频率表示为^[14]

$ {f_{{\text{LM}}}} = \frac{c}{{{n_{{\text{eff}}}}}}\sqrt {{i^2}{{\left( {\frac{1}{{{P_x}}}} \right)}^2} + {j^2}{{\left( {\frac{1}{{{P_y}}}} \right)}^2}} $

(1)

式中：c是真空中的光速；n_eff是晶格模式所在的传播介质的有效折射率；（i，j）是定义晶格模式阶数的一对非负整数。

调节晶格周期，当晶格模式的共振频率接近超表面本征模式的共振频率时，两个模式之间将发生耦合，耦合程度由二者间的频率失谐决定，这意味着晶格模式可以选择性地增强或抑制其中的本征模式。下面将讨论不同阶的晶格模式与本征模式间的耦合特性。

2 超表面中晶格诱导的强耦合和FW-BIC

众所周知，FW-BIC源于两个不同性质的共振的相消干涉，在所设计的超表面结构中，两个相互耦合的共振模式是晶格模式和超表面结构的本征模式，包括ASM和SM。为了系统地阐述两共振模式之间的相互作用及其受晶格周期的影响，给出了当晶格周期P_x = P_y = P，以步长10 μm，从110 μm增加到300 μm时超表面的透射谱，见图2。可以看出，随着晶格周期的增加，两个晶格模式 LM 1和LM 2逐渐接近本征模式并与之耦合。

在研究模式耦合之前，先判断LM 1和LM 2的阶数。图3（a）为晶格周期P = 110 μm时LM 1和LM 2在xOy平面上的电场分布，显然，它们的电场不仅分布在谐振器的非金属区域，还延伸到相邻谐振器。在LM 1中，表面波仅沿x轴方向传播，LM 1为（±1，0）阶晶格模式；在LM 2中，表面波在整个介面上延伸，并且产生对称、周期性的场分布，LM 2为（±1，±1）阶晶格模式。根据式（1），在相同的晶格周期下，LM 2的谐振频率高于LM 1。图3（b）表明，两个晶格模式在空竹对上均具有平行的表面电流分布。

图2中的透射谱表明，一个晶格模式和一个本征模的耦合会导致杂化分裂，产生两个杂化模式：高频杂化模式（high frequency hybrid mode, HFHM）和低频杂化模式（low frequency hybrid mode, LFHM）。值得注意的是，当晶格周期分别为159 μm和220 μm时，两个低频杂化模式完全消失，形成两个具有无限寿命和零线宽的暗模式，在透射谱上表现为平滑的谱线，这表明了FW-BIC的形成，分别用BIC 1和BIC 2来表示。

为了观察FW-BIC的形成过程，图4（a）给出透射谱随晶格周期P的变化图像。其中，未发生耦合时，本征模式（SM和ASM）和晶格模式（LM 1和LM 2）的共振频率曲线分别用虚线和实线表示。当本征模式和晶格模式耦合时，会观察到3个共振反交叉区域，分别来自于LM 1与ASM，LM 2与ASM，LM 1与SM之间的耦合，共振反交叉的出现说明每两个模式之间发生了强耦合。同时，在两个特定的晶格周期159 μm和220 μm处，3个低频杂化模式中的两个消失，这是FW-BIC形成的典型特征。因为在调节晶格周期时，结构的对称性始终保持不变，所以BIC 1和BIC 2形成的原因是在相位匹配条件下，LM 1和LM 2分别与ASM发生相消干涉。图1（c）和图3（b）也显示，ASM与LM 1，ASM与LM 2分别具有反相电流分布。在这两个特定周期处，每两个模式之间的耦合使电流不仅反相而且强度相同，因此发生相消干涉。偏离这两个特定周期值，两个模式之间的耦合程度发生变化，从而低频杂化模式的辐射阻尼和线形变化，导致不同泄漏度的准BIC产生。另一方面，SM与LM 1具有同相的表面电流分布，是相长干涉，因此SM与LM 1耦合时没有BIC产生。

实际上，共振线宽消失会导致无显著的光谱特征显现，理想的BIC是不可观测的。评估BIC性能的一般策略是追踪准BIC的品质Q因子的发散轨迹^[16]。Q因子的值定义为$ Q{\text{ = }}{{{\omega _0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega _0}} {2\gamma }}} \right. } {2\gamma }} $，其中$ {\omega _0} $是谐振频率，$\gamma $是谐振的辐射和非辐射阻尼率^[17]。在发生BIC的晶格周期附近的两条低频杂化模式谱线的Q因子随晶格周期的变化如图4（b）和（c）中的蓝色菱形虚线所示。结果表明，当晶格周期调整到特定值（对于BIC 1，P = 159 μm；对于BIC 2，P = 220 μm）时，线宽完全消失，导致Q因子发散；当晶格周期偏离这两个特定值时，Q因子逐渐减小，且BIC变为准BIC。对于理想的BIC，理论上的Q因子应接近于无穷大，然而，由于金属的固有欧姆损耗和金属超表面的辐射损耗，导致实际Q因子是有限的。因此，图4（b）和（c）中的红线给出了当使用完美电导体（perfect electric conductor，PEC）替换双层空竹超表面中的有损金属金，以忽略欧姆损耗时的Q因子。显然，忽略金属超表面的固有损耗可以显著提高准BIC的共振Q 因子。然而，在PEC超表面中，BIC出现在两个新的晶格周期处，分别为P = 153 μm和217 μm，这些周期值与有损金属超表面相比略有偏移，但所涉及的耦合机制是相同的。

由于高Q共振通常伴随着低的共振强度I，因此通常引入另一品质因数FOM来权衡Q因子和共振强度，其值F_m= Q × I ^[18]。图4（d）显示了金属超表面中各准BIC的FOM值。结果表明，BIC 1和BIC 2附近的最大FOM值分别出现在晶格周期P = 180 μm和240 μm处，其值分别为13.19和15.46。

3 基于耦合模理论的FW-BIC

晶格模式和ASM之间强耦合产生BIC也可以从时域的耦合模理论（coupled-modle theory，CMT）分析，为了分析方便，针对PEC超表面进行讨论。

对于无损CMT模型，两模式耦合两端口系统的响应可以表示为^[13]

$ \begin{split} \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}}t}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} \\ {{a_2}} \end{array}} \right] =& {\text{j}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1} + {\text{j}}{\gamma _1}}&{\kappa + {\text{j}}{\gamma _{12}}} \\ {\kappa + {\text{j}}{\gamma _{21}}}&{{\omega _2} + {\text{j}}{\gamma _2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} \\ {{a_2}} \end{array}} \right] + \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\kappa _{11}}}&{{\kappa _{12}}} \\ {{\kappa _{21}}}&{{\kappa _{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_{1 + }}} \\ {{s_{2 + }}} \end{array}} \right] \end{split}$

(2)

式中：$ {\left[ {{a_1},{a_2}} \right]^{\text{T}}} $为两模式（晶格模式和ASM）的共振幅度；$ {\omega _1}({\gamma _1}) $和$ {\omega _2}({\gamma _2}) $分别是两模式的共振频率（辐射损耗）；j是复数且满足$ {{\text{j}}^2} = - 1 $；$ \kappa $表示两模式间的耦合强度；$ {\gamma _{12}}( = {\gamma _{21}}) $是阻尼产生的耦合系数，由于系统的对称性，$ {\gamma _{12}} = {\gamma _{21}} = \sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} $；$ {\kappa _{ij}} $是模式i和端口j $ \left( {i,j \in \left\{ {1,2} \right\}} \right) $之间的耦合系数；$ {s_{1 + }} $和$ {s_{2 + }} $分别是端口1和端口2的入射波幅度。激发的共振模式的出射波为

$ \begin{split} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_{1 - }}} \\ {{s_{2 - }}} \end{array}} \right] =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{\text{d}}}}&{{t_{\text{d}}}} \\ {{t_{\text{d}}}}&{{r_{\text{d}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_{1 + }}} \\ {{s_{2 + }}} \end{array}} \right] + \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{11}}}&{{d_{12}}} \\ {{d_{21}}}&{{d_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} \\ {{a_2}} \end{array}} \right] \end{split}$

(3)

式中：$ {s_{1 - }} $和$ {s_{2 - }} $分别是端口1和端口2的出射波幅度；$ {r_{\text{d}}} $和$ {t_{\text{d}}} $是在没有谐振模式情况下端口之间的直接反射和透射系数，对于一般的超表面$ {r_{\text{d}}} = 0 $, $ {t_{\text{d}}} = 1 $，而对于互补型超表面$ {r_{\text{d}}} = 1 $, $ {t_{\text{d}}} = 0 $；d_ij是端口j和模式i之间的耦合系数$ \left( {i,j \in \left\{ {1,2} \right\}} \right) $。根据能量守恒可以得到$ {\kappa _{11}} = {\kappa _{21}} = {d_{11}} = {d_{21}} = \sqrt {{\gamma _1}} $和$ {\kappa _{22}} = {\kappa _{12}} = {d_{22}} = {d_{12}} = \sqrt {{\gamma _2}} $。如果入射波从端口1入射，求解式（2）和式（3），得

$ {a_2} = \frac{{\left( {{\text{j}}k - {\gamma _{12}}} \right)\sqrt {{\gamma _1}} + \left[ {{\text{j}}\left( {\omega - {\omega _1}} \right) + {\gamma _1}} \right]\sqrt {{\gamma _2}} }}{{\left[ {{\text{j}}\left( {\omega - {\omega _1}} \right) + {\gamma _1}} \right]\left[ {{\text{j}}\left( {\omega - {\omega _2}} \right) + {\gamma _2}} \right] - {{\left( {{\text{j}}k - {\gamma _{12}}} \right)}^2}}}{s_{1 + }}$

(4)

$ {a_1} = \frac{{\left( {{\text{j}}k - {\gamma _{12}}} \right)}}{{\left[ {{\text{j}}\left( {\omega - {\omega _1}} \right) + {\gamma _1}} \right]}}{a_2} + \frac{{\sqrt {{\gamma _1}} }}{{\left[ {{\text{j}}\left( {\omega - {\omega _1}} \right) + {\gamma _1}} \right]}}{s_{1 + }} $

(5)

及端口2的出射波幅度

$ {s_{2 - }} = {t_{\text{d}}}{s_{1 + }} - \left( {\sqrt {{\gamma _1}} {a_1} + \sqrt {{\gamma _2}} {a_2}} \right) $

(6)

最终得到PEC太赫兹超表面的透射谱为

$ {t_{21}} = A\left( {{{{s_{2 - }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{s_{2 - }}} {{s_{1 + }}}}} \right. } {{s_{1 + }}}}} \right) $

(7)

式中，A是用于调整透射强度的比例参数。

更重要的是，当Friedrich-Wintgen条件

$ \kappa ({\gamma _1} - {\gamma _2}) = \sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} ({\omega _1} - {\omega _2}) $

(8)

被满足时，系统哈密顿矩阵的其中一个本征值变为纯虚数，这意味着该特征模将成为辐射损耗为零的FW-BIC。

在CMT的框架内，首先固定ω₂ = 0.69 THz，阻尼率$\gamma _1 $，$\gamma _2 $和耦合系数κ，然后针对不同的晶格周期来调整ω₁的值，透射谱如图5所示，其中蓝色曲线是CST模拟的结果，红色曲线是CMT拟合的结果。从图中可以看到，之前“钝”的准BIC曲线由于非辐射损耗的减少而变得“尖锐”了，并且每个周期处两条曲线都完美吻合。

拟合参数的详细数据如表1和表2所示。通过拟合数据分析，可以发现两种耦合模式的辐射阻尼率不相等，若ω₁ = ω₂，为使式（8）成立，其中的耦合系数κ应为0，这与第2节讨论的两种模式间存在强耦合相矛盾。共振反交叉点是两个模式共振频率刚好相同的点，这也解释了为什么FW-BIC出现在共振反交叉点附近，而非正好落在其上的原因。另外，表2中的$\gamma _1 $要比表1中的小，这是由于高阶晶格模式LM 2比一阶晶格模式LM 1具有更强的电磁约束能力而导致辐射阻尼率更低，如图3（a）所示。同时，由于ASM在BIC 2出现之前已经与一阶晶格模式发生了强耦合，受其共振线窄化的影响，导致拟合数据表2中的$\gamma _2 $值要小于表1中的值。最后，BIC 1对应的耦合系数κ最大，意味着在ASM和LM 1的透射谱中反交叉时拉比劈裂是最大的，这也与图4（a）显示的结果一致。

4 利用强耦合和FW-BIC实现太赫兹波段的局域磁场增强

对于单层空竹超表面，两个三角形的连接桥处由于电流聚集，电流密度比其他位置大，因此在桥周围会有局域磁场增强；而对于双层空竹超表面结构，如果上下空竹的表面电流反向，或者电流同向但强度不同，则可以在中间介质层中局域磁场。定义磁场强度增强倍数α =（H / H_in）²，其中H和H_in分别代表介质中最大的磁场和入射THz波的磁场分量。关于H_in的值需要说明的是：模拟仿真时激励源设置为波导端口，即波导端口为受激端口，其大小要与超材料的晶格周期相匹配，所以晶格周期会影响端口的E，H值，即影响H_in值。表3给出了本节所涉及的晶格周期及对应的H_in值。

图6给出了在晶格周期P = 110 μm时单层空竹超表面中本征模式，双层空竹超表面中本征模式与晶格模式无耦合时两个杂化模式的磁场强度增强倍数。由图可见，在各自的谐振频率处，单层空竹超表面的磁场增强倍数最小，是入射太赫兹波磁场强度的1 616倍；而双层空竹超表面中ASM的磁场强度大约是SM的3倍，分别是入射太赫兹波磁场强度的10 404倍和3 721倍，且远大于单层空竹超表面的磁场增强。ASM增强效果强的原因很容易理解，因为在ASM中上下空竹有反向电流分布，在介质中的磁场互相增强；而在SM中上下空竹的表面电流同向，在介质层中产生的磁场部分抵消。由于双层空竹超表面表现出更优越的局域磁场增强效果，下面将讨论利用ASM（SM）和晶格模式之间的强耦合实现磁场的进一步增强。

众所周知，对于无损材料，场增强与Q因子的平方根成正比。而对于有损材料，由于材料耗散，这个关系并不严格成立，场增强还与共振强度I的平方根成正比^[19]。因此，有损材料的场增强应与FOM值有关。下面，将讨论准FW-BIC中具有最大FOM的晶格周期处的磁场增强。

图7给出了超表面一个单元中上下空竹的表面电流分布以及最大FOM所在晶格周期处的磁场强度增强倍数。当P = 180 μm（接近准BIC 1），即ASM和一阶晶格模式耦合时，磁场强度增强倍数是25 921；而当P = 240 μm，即ASM和（±1，±1）阶晶格模式耦合时，在准BIC 2附近的最大磁场强度是入射磁场强度的41 209倍，此值是准BIC 1附近磁场增强的1.6倍。这是因为在P = 240 μm的晶格周期处，耦合发生在ASM和高阶晶格模式之间，而高阶晶格模式比一阶晶格模式具有更强的电磁能量限制能力，如图3（a）所示，最终导致更强的辐射抑制和局部磁场增强。另外，对比图6和图7可知，在准BIC 2附近的最大磁场强度是无强耦合，即只考虑超表面本征共振情况下的磁场增强的4倍，由此说明利用强耦合和FW-BIC可以有效增强太赫兹磁场。

由于SM与LM 1之间的强耦合没有产生FW-BIC，选择反交叉点处的晶格周期来研究磁场增强。图7最后显示了在P = 240 μm时反交叉点处的最大磁场增强，为27 556。该值小于同一周期处ASM与LM 2耦合的结果，这也进一步说明高阶晶格模式诱导的强耦合以及FW-BIC的出现可以有效增强磁场。

5 结　论

本文设计了一个包含堆叠的双层空竹的太赫兹超表面，通过该结构实现了晶格诱导的强耦合和FW-BIC，并利用强耦合和FW-BIC实现了太赫兹波段局域的磁场增强，获得的最大磁场强度是入射太赫兹波磁场强度的41 209倍，且发生强耦合和BIC效应时的磁场强度是单纯的超表面电磁共振磁场强度的4倍。本文设计的超表面器件可以用于强场太赫兹的研究中。