引　言

1992年，Allen等^[1]发现具有特殊螺旋波前$ \mathrm{exp}\left(\mathrm{i}l\phi \right) $的涡旋光束，其中$ l $表示拓扑荷（topological charge，TC），$ \phi $表示圆柱坐标系中的方位角，其携带的每个光子的轨道角动量（orbital angular momentum，OAM）为$ l\mathrm{\hslash } $，$\mathrm{\hslash } $表示普朗克常数。由于光束截面的相位奇异性，OAM呈现出“暗中空”的强度分布，并且在空间上具有无限的维度正交^[2]。这些空间变化的场分布赋予了OAM许多独特的光学功能，使其可以被广泛应用于光通信^[3]、量子信息处理^[4]、全息^[5-8]等方面。

拉盖尔–高斯（LG）光束是一种特殊的OAM模式，它不仅具有角量子数$ l $，还具有径向量子数$ p $，这意味着LG光束可以在提高通信容量和调制能力方面提供额外的物理自由度^[9]。但是，对于LG光束中径向量子数$ p $的高效精准检测一直是亟待解决的难题。目前，已经出现许多探测LG光束模式的方法，例如，参考光场与物光干涉^[10-12]、各种衍射技术^[13-15]、倾斜双凸透镜^[16]等。必须指出的是，上述方法存在模式检测范围小和衍射效率有限的问题。另外，由于光学系统的不对准以及环境扰动引起的相位失真，更容易导致探测LG光束模式性能的严重下降。如在涉及自由空间光通信的实际混合复杂空间模式中，普遍存在的大气湍流（atmospheric turbulence，AT）就成为了一个棘手的问题^[17]。

神经网络（neural network，NN）由于其强大的数据处理能力，已经被广泛应用于计算机视觉^[18]、语言处理^[19]和光学信息处理^[20-21]等领域。2019年以来，相关研究团队通过卷积神经网络（convolutional neural network，CNN）实现了对30阶OAM模式的LG光束的高精度识别。在AT的影响下，这些LG光速传播50 m，系统对其仍然保持着高于89%的识别准确率^[22]。2021年，本研究团队使用衍射神经网络（diffractive neural network，DNN）实现了对768阶LG光束的模式识别，且准确率高达95%^[23]。最近，基于衍射实现三维空间神经元链接的光学DNN得到广大研究者的青睐^[24]。DNN可以以光速、近乎无能耗地实现深度学习，已被广泛应用于全光学图像分析、特征检测和对象分类中。其中，互补金属氧化物（complementary metal oxide semiconductor，CMOS）集成D2NN芯片被证明可以用于处理相位信息，获取Zernike系数^[25]。因此，复振幅波前调控能力为LG光束模式的探测提供了新的思路。

采用DNN的架构，通过观测输出光强的空间位置，实现了对LG光束模式的识别。概念图如图1所示。设计了一个3层的DNN模型，当输入间隔$ \Delta l=1，\Delta p=1 $的LG光束模式时，发现网络能够对其进行很好地识别，计算准确率高达99%。进一步模拟、分析实际光路中存在的环境因素、系统误差以及各方面影响因素对该模型的影响，优化DNN模型，提升其鲁棒性。具体操作为，在光束的传播路径中插入随机相位来模拟AT，并且在不同的AT强度下传输5 m。结果显示，在AT强度${C}_{n}^{2}={3\times {10}^{-13}\;\mathrm{m}}^{-2/3}$情况下，识别准确率超过95%，说明DNN模型具有较强的抗干扰能力。

1 基于LG光束识别的DNN网络 1.1 拉盖尔–高斯光束

LG 光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，可以表示为

$\begin{split} L{G}_{pl}\left(r,\phi , {\textit{z}}\right)= & \dfrac{{C}_{pl}}{{w}_{0}}{\left(\dfrac{\sqrt{2}r}{w\left( {\textit{z}}\right)}\right)}^{l}{L}_{p}^{\left|l\right|}\left(\dfrac{2{r}^{2}}{w{\left( {\textit{z}}\right)}^{2}}\right)\mathrm{exp}\left(-\dfrac{{r}^{2}}{w\left( {\textit{z}}\right)}\right)\\ & \mathrm{exp}\left(\mathrm{i}l\varphi \right)\mathrm{exp}\left(\mathrm{i}\phi \right) \end{split} $

(1)

式中：C_pl为常数；$ {w}_{0} $为基模束腰半径；$ l $为角量子数；$ p $为径向量子数，可取任意非负整数；r为光斑半径；$ \varphi $为圆柱坐标系中的方位角；$ \phi $为古伊相位。$ w\left( {\textit{z}}\right) $和$ \phi $分别为

$ \begin{array}{c}w\left( {\textit{z}}\right)={w}_{0}\sqrt{1+{\left(\dfrac{ {\textit{z}}}{f}\right)}^{2}} \end{array} $

(2)

$ \begin{array}{c}\phi =\left(l+2p+1\right)\mathrm{arctan}\dfrac{ {\textit{z}}}{f}-k\left( {\textit{z}}+\dfrac{{r}^{2}}{2R}\right) \end{array} $

(3)

式中：$ R= {\textit{z}}+\dfrac{{f}^{2}}{ {\textit{z}}}；k $为波数；$ f $为共焦参数，也称为瑞丽长度，$f=\dfrac{\mathrm{\text{π}}{w}_{0}^{2}}{\lambda }$

$ {L}_{p}^{\left|l\right|}\left(\vartheta \right) $为缔合拉盖尔多项式

$ \begin{array}{c}{L}_{p}^{\left|l\right|}\left(\vartheta \right)=\displaystyle\sum _{m=0}^{p}\dfrac{\left(p+\left|l\right|\right)!{\left(-\vartheta \right)}^{m}}{\left(\left|l\right|+m\right)!m!\left(p-m\right)!} \end{array} $

(4)

采用Python编写程序，将式（1）的模型展示出来，给出了拓扑荷数l 为1～3，径向指数p 为1～2的LG光束模拟光强和相位分布，结果如图2所示。

1.2 大气湍流模型及其影响

当光束在大气中传播时，它将在空间和时间上受到大气压强、温度的影响，从而导致信道产生起伏。并且存在于大气中的气体分子和杂质会对光束的传输产生散射和吸收等作用，从而导致光束发生质心漂移、波前扰动和强度变化。这些因素会对自由空间光通信系统会造成不利的影响。因此，为了确保光通信系统的效率，需要深入研究大气湍流的物理原理，并了解不同的湍流程度对光束的影响。

Davis^[26]根据大气折射率结构常数$ {C}_{n}^{2} $数值的大小，将大气湍流划分成3种：强湍流，${C}_{n}^{2} > 2.5\times {10}^{-13}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}}$；中湍流，$ {6.4\times {10}^{-17}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}} <} C_{n}^{2} < 2.5\times {10}^{-13}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}} $；弱湍流，$ {C}_{n}^{2} < 6.4\times {10}^{-17}\; {{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}} $。

为了模拟更加真实的大气湍流影响，采用了Ochs等^[27]提出的大气湍流功率谱密度函数模型

$\begin{split} {\phi }_{n}\left(k\right)=& 0.033{C}_{n}^{2}\mathrm{exp}\left(\dfrac{{k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}}{{k}_{l}^{2}}\right){\left({k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}+\dfrac{1}{{L}_{0}}\right)}^{\frac{11}{6}} \times \\ & \left(1+1.802\sqrt{\dfrac{{k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}}{{k}_{l}^{2}}}-0.254\dfrac{{k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}}{{k}_{l}^{2}}\right) \end{split} $

(5)

式中：${k}_{l}=\dfrac{3.3}{{l}_{0}}；{l}_{0}，{L}_{0}$分别表示湍流的内、外尺度；${k}_{x}，{k}_{y}$分别表示不同位置处（x，y）的波数分量。

将LG光束在大气湍流中传输的过程模拟成LG光束经过一个厚度忽略不计的大气湍流相位屏，进行相位调制。相位调制是将一个随机矩阵${{\boldsymbol{C}}}$与大气相位功率谱密度函数模型相乘后，再进行傅里叶逆变换得到的，以实现随机和滤波处理的效果，其表达式为

$ \begin{array}{c}{\varphi }_{n}\left(x,y\right)={\mathcal{F}}^{-1}\left\{{{\boldsymbol{C}}}\times \dfrac{2{\text{π}}}{N\Delta x}\sqrt{\varphi \left({k}_{x},{k}_{y}\right)}\right\} \end{array} $

(6)

式中：N是设置的总采样点数；$ \Delta x $是它的采样间隔；$\varphi \left({k}_{x},{k}_{y}\right) $是相位功率谱密度函数。

如图3所示，不同AT参数对LG光束影响不同，在实际传播中不可以忽略不计。

1.3 用于LG光束识别的DNN网络

根据文献[24]，本文给出如图4（a）所示的DNN网络模型制备流程图。DNN模型主要分为3部分：分别为输入层、输出层和隐藏层。其中输入层和输出层对应相应的输入光场和输出光场，隐藏层则是变量优化层，可以是振幅型、相位型或者复振幅型。每层神经元之间通过角谱理论衍射传播连接。具体衍射表达式为

$ \begin{array}{c}U\left(x,y,z\right)={\mathcal{F}}^{-1}\left\{{A}_{0}\left({f}_{x},{f}_{y},0\right)H\left({f}_{x},{f}_{y}\right)\right\}\end{array} $

(7)

式中：$H\left(f_x, f_y\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{e}^{j k z \sqrt{1-\left(\lambda f_x\right)^2-\left(\lambda f_y\right)^2}, \sqrt{f_x^2+f_y^2}<\frac{1}{\lambda}} \\0, \text { other }\end{array}\right.$，是自由空间的传递函数；$ {A}_{0} $是输入平面，即LG光束的频谱，由输入平面的光场$ {U}_{0}\left(x,y,0\right) $作傅里叶变换获得。

接着，对通过DNN训练后网络识别LG光束的整体过程做详细描述。首先，选取分辨率为$ 256\times 256 $，单个像素大小12.5 µm，光波波长$633\;\mathrm{n}\mathrm{m}$作为网络的基本参数。其次，利用LG模型生成l 为 1～3和p 为 1～3的9阶不同模式作为网络的输入光场。网络的输出光场如图4（b）所示，规定目标区域外环代表l的识别，内环代表p的识别。通过搭建3层相位变量层作为网络对光场的调制层，并且每层之间的传播距离为150 mm。接着，使用均方误差MSE作为损失函数来衡量DNN输出层光强$ {s}_{K}^{M+1} $与标签真值$ {g}_{K}^{M+1} $之间的差异，其表达式为

$ \begin{array}{c}E\left({\varphi }_{i}^{q}\right)=\dfrac{1}{K}{{\displaystyle\sum }_{K}\left({s}_{K}^{M+1}-{g}_{K}^{M+1}\right)}^{2} \end{array} $

(8)

式中，K表示输出平面的测量点数。

本文设置目标函数为$\underset{a}{{\rm{min}}}E\left({\varphi }_{i}^{q}\right)$来优化DNN设计。应用误差反向传播和下降梯度法来训练DNN，损失函数对DNN网络的误差梯度表达式为

$ \begin{split} \dfrac{\partial E\left({\varphi }_{i}^{q}\right)}{\partial {\varphi }_{i}^{q}}=& \dfrac{4}{k}{\displaystyle\sum }_{k} \left ({s}_{k}^{M+1}-{g}_{k}^{M+1}\right)\cdot \Biggr.\\ & {\rm{Real}}\left\{({m}_{k}^{M+1}{)}^{\mathrm{*}}\dfrac{\partial {m}_{k}^{M+1}}{\partial {\varphi }_{i}^{q}}\right\} \end{split} $

(9)

式中：${m}_{k}^{M+1}={\sum }_{{k}_{1}}{n}_{{k}_{1}}^{M}$，k为前一层衍射网络神经元的相位因子；$\dfrac{\partial {m}_{k}^{M+1}}{\partial {\varphi }_{i}^{q}}$表示输出层复数光场对前面网络层的神经元相位值的梯度；Real表示对复数光场取实部运算。网络在设置学习率为0.01的条件下，经过2 000次的迭代优化后，相应相位变量层参数已被更新完毕，同时损失函数得到收敛，最终得到预期光场。如图4所示，当网络输入LG（l 为 1～3，p 为 1～3）经过图4（d）中的3层相位后得到如图4（e）所示的光强分布。

1.4 用于AT影响下LG光束识别的DNN网络

由于大气湍流在实际中的影响无法忽略，因此本文选取3种不同强度的$ {C}_{n}^{2} $（弱湍流${C}_{n}^{2}= 2\times {10}^{-19}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}}$，中湍流${C}_{n}^{2}=5\times {10}^{-15}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}}$，强湍流${C}_{n}^{2}=3\times {10}^{-13}\;{{\rm{m}}}^{-\frac{2}{3}}$）来进行衍射LG光束DNN识别的模拟，见图5（a），（d）和（g）。

由于LG光束在衍射过程中光的波前会扩散，也就是说，原来平行的光线会变成在不同方向上发散的光线，从而导致在屏幕上形成一个光斑，并且这个光斑会随着距离的增加而变大。过大的光斑对计算机的训练会造成巨大的挑战，因此，为了能对AT影响下的衍射LG光束进行DNN识别，需要对LG光束做预处理操作。

步骤一，选取像素个数$ 1\;280\times 1\;280 $，像素大小12.5 µm，光波波长$ 633\;\mathrm{n}\mathrm{m} $作为LG光束预处理的基本参数。

步骤二，在选取的参数下，依据LG模型生成所需的9阶LG光束（ l 为 1～3和 p 为 1～3）的光场分布。

步骤三，在每种不同强度参数下，随机生成40个大气湍流相位屏，作为每一阶LG光束在自由空间传播5 m中的AT影响。如此操作，生成的1 080张LG光束图像作预处理后的输入光场。

步骤四，不同LG光束通过角谱理论自由传输5 m后得到对应的输出光场。

步骤五，由于所得输出光场尺寸较大，为了满足之后的DNN搭建的输入要求，将衍射后光场经过$ 4f $缩束系统后，得到最终的光强和相位分布，并截取以中心为准的$ 256\times 256 $像素的区域作为DNN搭建的输入光场，见图5（a），（d）和（g）。

将预处理后的每类360张光场分布作为DNN模型输入光场，具体每类选取288张图片作为训练集，剩下的72张作为测试集。经过2 000次反复迭代，最终得到预期光场，如图5（c），（f）和（i）所示。

分析了每类AT影响下的识别准确率，如图6所示，训练过程随着迭代次数的增加，模式识别测试机的准确度稳步上升。可以看到在250次左右，3种湍流下的识别准确率分别达到了100%，100%和95%。由于强湍流影响下的LG模式光场（振幅及相位）发生较大畸变，DNN对其的识别准确率相比其他强度的影响存在明显下降。

2 讨　论 2.1 相位层个数影响

当网络参数固定后，为了验证DNN深度信息，即层数对结果预测能力的影响，分别使用1层、2层、3层和4层的4种深度信息对网络进行训练。经过2 000次的训练后，最终得到不同层数下的识别准确率（如表1所示）。从1层增加到3层时候，识别准确率从88.9%升到97.2%，可见在所选取参数下，衍射器件层数增加对神经网络信息处理能力是有正向影响的。但当层数增加到4层的时，准确率不再升高，这说明深度信息已经饱和，再多的层数也不会使网络性能进一步提高，甚至还会使得网络性能下降。因此认为，网络在完成某项任务的时候所需要的神经元个数是存在最优值的，少了不能实现好的约束结果，多了在神经网络训练过程中会引入了冗余不可控自由度，可能造成神经网络性能下降。

2.2 相位层对准误差

由于光路的不准直等因素很有可能导致系统无法取得理想的效果，为了探究对准误差对DNN模型识别LG光束的影响，将光束偏移12.5～62.5 µm，以此来模拟实际光路中对不准的情况。结果如表2所示，识别准确率由最初的100%骤减至38.4%。

为了避免偏移对网络的影响，将光束的偏移引入DNN中一同训练。在光束预处理步骤五中，选取偏离中心90个像素点（1.125 mm）的4个方向，如图7（a）所示，将其作为训练集代入训练。经过2 000次的反复迭代，得到了新的相位信息，见图7（b），对应的输出光场如图7（c）所示。模拟结果表明，LG₁₂、LG₂₃和LG₃₁经过迭代后的相位层后，最终输出光场的识别准确率提升至92%。由此可见，DNN具有良好的适配性。

3 结　论

提出了一种DNN辅助的LG光束模式识别。用LG光束模式强度图来训练DNN，成功快速地识别了l 为 1～3和 p 为 1～3的LG光束模式，训练后的DNN模型在不同AT环境下均具有良好的识别能力。为了探究神经网络深度信息对DNN的影响，测试了1～4层衍射层DNN对LG 模式识别的准确率，发现在所选取参数下，3层能达到最佳识别准确率。因为DNN在LG模式探测时具有鲁棒性，在构建DNN时将光束的偏移考虑到训练参数中，以此来对抗外界因素所带来的影响。未来，本研究可能在光通信、量子通信等领域显示出巨大潜力，同时也为人工智能光学芯片的研究做好铺垫。