引　言

粉末定量称重技术^[1]在食品、医药、贵金属等行业有着迫切的需求。在食品行业，水稻、小麦、大豆等食品都需研磨成粉，称重分样，加液定容后进行大量的检测项目如胶稠度、直链淀粉、污染指数等，才可认定是否为可食用产品。在医药行业，如胶囊、泡罩型粉雾剂的生产，需要对大量药物粉末进行称重分样混合^[2]，确保每份药品的剂量均一。粉状药品的质量检测、成分鉴定等方面也需要此定量称重技术。在贵金属行业，如金属粉末注射成形（MIM）技术，是传统的粉末冶金技术与热塑性塑料注射成形技术相结合而产生的一种近净成形技术，配比合适的金属粉末是此技术的第一步。MIM技术的金属粉末一般通过羟基法和雾化法制备^[3]，颗粒度不均匀难以直接使用，需要经过称重分样筛选才可应用于注射器中。人工定量称重费时费力，不能满足大批量分样需求，因此，需开发定量称重系统。

粉末定量称重技术现存的3个关键问题是：1）称重的精度；2）称重的速度^[4]；3）粉末间的污染。在动态称重的过程中存在粉末密度、粉末流动性、颗粒大小、湿度等因素的影响，导致加快称重速度时，存在粉末冲击与空中飞料等因素影响称重精度，而提高称重精度时，整体的称重速度又将受到影响。为解决这些问题，国内外学者已做了不少研究。常波等^[5]针对定量包装中的问题提出模糊控制理论的控制方案，并对系统进行了仿真研究。任少伟等^[6]针对包装时的非线性与时不变特性，提出基于可编程逻辑控制器（PLC）的模糊PID控制策略，以提高系统的鲁棒性与控制精度。耿涛等^[7]提出了基于模糊推理的专家自整定PID控制器，但对工程人员存在一定的依赖性。

本文研究对象为上海科源电子科技有限公司所研制的高精度抖粉装置，该装置中的抖出结构能有效解决粉末污染问题。该装置与恒宇FA2000万分之一天平相结合，组成米粉粉末定量称重系统。系统工作时，分为两个阶段：第一阶段被控电机短间隔全速抖粉直至目标值的80%；第二阶段被控电机长间隔慢速抖粉渐渐逼近目标值。因存在粉末密度、粉末流动性、颗粒大小、湿度等客观因素的影响，第二阶段完全相同的两次抖动出粉量也存在偏差。基于此问题，本文先对抖粉装置出粉量建模，结合天平显示示数滞后的特性，分析影响其出粉量的主要因素，并将这些因素作为被控对象，采用基于Smith预估的模糊PID控制方法，实现对PID 控制参数的在线调整，提高非线性、时滞定量称重系统的称重精度，完成第二阶段抖粉算法设计。

1 被控对象系统模型建立

如图1所示为高精度抖粉装置。该装置工作时，由上位机通过串口向电机发送控制指令，指令包括电机旋转的行程距离、最大速度、旋转加速度等信息。电机接收到指令后做出相应动作并带动推杆向下运动，运动过程中装置末端向下探出使粉末由装置下料口自然抖出。电机完成动作后归于原位，整体装置在弹簧作用下也归于原位，装置下料口收回，停止抖粉。

被控对象系统由两部分组成：1）高精度抖粉装置；2）万分之一天平。高精度抖粉装置负责控制抖出的米粉粉末量，万分之一天平负责抖出粉末称重和显示，并反馈给控制端。先对抖粉装置运动出粉量模型进行数学推导，再在此模型基础上结合称重系统滞后修正，最后通过影响因素分析与系统辨识得出影响出粉质量的主要因素与被控对象的传递函数。

1.1 抖粉装置运动数学模型

在$0 \sim t$时间间隔内粉末下落总质量$W(t)$ 与运动时粉末下落流量率$Q(t)$ 的数学模型为

$ W(t) = \int_0^t {Q(t){\rm{d}}t} $

(1)

式中$Q(t)$为粉末下落流量率，${\rm{g}}/{\rm{s}}$。

对式（1）进行拉氏变换可得

$ sW(s) = \rho Q(s) $

(2)

式中$\rho $ 为粉末密度

假设动态抖粉模型为一阶线性，则粉末抖出的运动方程为

$ a\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}Q(t) + bQ(t) = ku(t) $

(3)

则由式（3）可得系统的传递函数为

$ G(s) = Q(t)/U(s) = k/(as + b) $

(4)

式中$a,b,k$ 均为对象参数。

在抖粉的过程中必然存在机械振动等噪声因素的干扰，假设$Q(s)$ 为存在噪声条件下的粉末流量，$\varphi (s)$为噪声，则初始值为零的拉氏变换为

$ Q(s) = (k/as + b)u(s) + \varphi (s) $

(5)

1.2 称重系统模型

抖粉装置抖出粉末后，万分之一天平负责对粉末进行称量并在系统中记录反馈。万分之一天平本身具有高精度、高准确性等性质，其内部的质量判断、质量校准较为复杂，并具有非线性、惯性、滞后等特点。面对这些特点，单纯采用机理建模法构建的数学模型不仅拟合度有限，而且面临数学模型可能无解或者多解的问题。考虑到系统中高精度天平仅作用于抖粉装置的质量显示，且在实验过程中，不同的砝码在秤上稳定时间大致相同，可认为是一个大滞后模块，所以在上文传递函数中加纯滞后环节来近似替代，则抖粉装置与天平组成的称重系统的传递函数为

$ {Q'}(s) = (k{{\rm{e}}^{ - \tau {s}}}/as + b)u(s) + \varphi (s) $

(6)

式中$\varphi (s)$为所有噪声的总和。

1.3 影响因素分析与系统辨识

通过上文模型分析，将抖粉装置抖出粉末的质量转化为与粉末下落流量率相关的系统模型，客观上与粉末密度、粉末流动性、颗粒大小、湿度等因素有关。本文研究米粉粉末定量称重，暂时忽略粉末性质影响。粉末下降流量率可分解为一定时间间隔内抖出粉末质量。由单次抖粉时间间隔决定此时间内可抖粉的次数；由单次抖粉电机运动决定抖出粉末质量。为方便控制，将单次抖粉时间间隔设为定值，这样在一定时间内抖粉运动次数为定值，粉末下降流量率仅与在此间隔内单次抖粉运动有关。单次抖粉运动控制端与旋转电机最大速度、加速度、旋转电机运动的行程距离等因素有关，对这些因素采用控制变量的研究方法寻找其主要影响因素。

控制同种米粉粉末且最大电机旋转速度为60 r/min、加速度为定值，改变电机单次抖粉时旋转电机运动的行程距离，使系统单次抖粉，记录抖出粉末质量，实验数据如表1所示。

由表可知，行程距离为1.2 cm时，单次抖粉运动下落粉末质量均值为0.0013 g；行程距离为1.6 cm时，单次抖粉运动下落粉末质量均值为0.0155 g；行程距离为2 cm时，单次抖粉运动下落粉末质量均值为0.0215 g。无论行程距离为多少，重复抖粉质量都存在较大的随机误差。

控制同种米粉粉末且抖动时旋转电机运动的加速度固定，行程距离为定值2 cm，改变旋转电机最大速度，使系统单次抖粉，记录抖出粉末质量，均值数据如表2所示。

由表2可知，即使采用不同的旋转电机最大速度，相同行程下得到的质量结果虽上下波动但均趋于0.02 g左右，说明其并非影响抖出粉末质量的主要因素。

由两次实验可知，虽相同行程下单次抖粉运动抖出粉末质量存在随机误差，但抖粉电机运动行程为影响多次运动下落粉末质量的主要因素，即相同单次抖粉时间间隔下，影响粉末下落流量率的主要因素。所以本文将以抖粉电机运动不同的行程距离作为主要研究对象，研究抖粉粉末质量。将表1实验数据导入MATLAB辨识系统，利用递推最小二乘法进行系统辨识^[8]。最小二乘法表达式为

$ {{\boldsymbol{X}}_m} = {{\boldsymbol{X}}_{m - 1}} + {{\boldsymbol{H}}_m}({{\boldsymbol{Y}}_m} - {\boldsymbol{\alpha}}_m {{\boldsymbol{X}}_{m - 1}}) $

(7)

$ {{\boldsymbol{H}}_m} = \frac{{{{\boldsymbol{P}}_m}{\alpha _m}}}{{1 + \alpha _m^{\rm{T}}{{\boldsymbol{P}}_m}{{\boldsymbol{\alpha}} _m}}} $

(8)

$ {{\boldsymbol{P}}_m} = {{\boldsymbol{P}}_{m - 1}} - {{\boldsymbol{H}}_m}{{\boldsymbol{P}}_{m - 1}}{{\boldsymbol{\alpha}} _m} $

(9)

式中：${{\boldsymbol{X}}_m}$ 为第m次参数辨识矢量；${{\boldsymbol{H}}_m}$ 、${{\boldsymbol{P}}_m}$为辅助递推矩阵。通过系统辨识可知为一阶滞后模型，从而得到修正后传递函数为

$ {Q'}(s) = \frac{{0.2754{{\rm{e}}^{ - s}}}}{{s + 2.408}} + \varphi (s) $

(10)

式中$\varphi (s)$ 为所有噪声的总和。

2 基于Smith预估补偿的模糊PID控制系统

在本设计中，由“Smith预估补偿器”+“模糊PID控制器”构成控制系统。Smith预估补偿器可以根据输出量偏离控制量的程度实现对系统滞后部分的补偿，克服纯滞后环节带来的不利影响，从而改善系统的控制品质。模糊控制通过推理不同实时状态下PID参数变化量以调整输入参数，使系统更具有实时性，从而达到改善系统动态性能的目的^[9]。

2.1 Smith预估补偿

史密斯（O. J. M. Smith）在1957年提出一种针对纯滞后系统的预估补偿方案。他在PID反馈控制的基础上，引入了一个预估补偿环节使闭环特征方程不含纯滞后项。其特点是预先估计出系统在扰动下的动态特性，然后由预估器进行补偿，力图使被延迟了的控制作用超前反应到调节器，使调节器提前动作，从而抵消滞后特性对系统的影响^[10]。

带纯滞后的单回路控制系统的闭环传递函数为

$ \phi (s) = \frac{{Y(s)}}{{R(s)}} = \frac{{{G_{\rm{c}}}(s){G_0}(s){{\rm{e}}^{ - \tau {\rm{s}}}}}}{{1 + {G_{\rm{c}}}(s){G_0}(s){{\rm{e}}^{ - \tau {s}}}}} $

(11)

为了消除控制系统中的滞后部分，需要消除分母中${{\rm{e}}^{ - { \tau } {\rm{s}}}}$ 部分，相当于将${G_0}(s)$作为对象，使控制信号提前，从而减少滞后影响。Smith预估补偿系统的控制框图如图2所示。

如图2所示，在控制系统中引入预估补偿器${G_{\rm{H}}}(s)$，令${G_{\rm{H}}}(s) = {G_{\rm{m}}}(s)(1 - {{\rm{e}}^{ - {{\tau } _{\rm{m}}}{s}}})$，此时系统的传递函数为

$\begin{split} \phi (s) = & \frac{{Y(s)}}{{R(s)}}\\ = & \frac{{{G_{\rm{c}}}(s){G_0}(s)}}{{1 + {G_{\rm{c}}}( s){G_{\rm{m}}}( s) + {G_{\rm{c}}}( s)[{G_0}( s){{\rm{e}}^{ - {\tau } {s}}} - {G_{\rm{m}}}( s){{\rm{e}}^{ - {{\tau } _{\rm{m}}}{s}}}]}}{{\rm{e}}^{ - {\tau } {\rm{s}}}} \end{split}$

(12)

由式（12）可以看出，在模型精确的情况下${G_0}(s) = {G_{\rm{m}}}(s)$，${\tau } = {{\tau } _{\rm{m}}}$，分母中的滞后环节可与预估部分相抵消，此时的闭环传递函数为

$ \phi (s) = \frac{{Y(s)}}{{R(s)}} = \frac{{{G_{\rm{c}}}(s){G_0}(s)}}{{1 + {G_{\rm{c}}}(s){G_0}(s)}}{{\rm{e}}^{ - {\tau } {\rm{s}}}} $

(13)

传递函数中滞后环节的不良影响得以消除。但当系统数学模型因各种因素发生变化时，补偿器与被控对象模型不能完全匹配，将影响控制精度。

2.2 模糊PID控制系统

模糊PID控制系统在一定程度上降低了对数学模型的精度要求^[11]，通过将系统的控制量离散化，并与有着良好静态效果的PID控制结合，能很好地弥补各自在控制中的不足。模糊控制系统利用模糊控制器代替传统系统中的模拟式控制器^[12]，根据模糊规则在线对PID参数进行修正^[13]，保证在不同情况下，即使数学模型存在偏差，也能快速准确地进行控制。整体控制器结构如图3所示。

系统采用二输入三输出的控制结构，以称重误差$e$ 与误差的变化率${e_{\rm{c}}}$ 为输入，以3个PID参数的变化量$\Delta {k_{\rm{p}}}$ 、$\Delta {k_{\rm{i}}}$ 、$\Delta {k_{\rm{d}}}$ 为输出，设定输入与输出的模糊子集均为{NB, NM, NS, ZO,PS, PM, PB}，表示{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}，根据实验中的PID调节经验，设计模糊控制规则^[14]，将所有的49条控制规则整理为模糊控制表，如表3所示。

根据模糊控制表，可对PID控制中的${K_{\rm{P}}}$ 、${K_{\rm{I}}}$ 、${K_{\rm{D}}}$ 进行动态整定，设${K'}_{\rm{P}}$ 、${K'}_{\rm{I}}$ 、${K'}_{\rm{D}}$ 为常规整定方法得到的整定参数，则在模糊PID控制器中，三者为

$\begin{split} & \;\\[-8pt] &\left\{ \begin{gathered} {K_{\rm{P}}} = {K'}_{\rm{P}} + \Delta {k_{\rm{p}}} \\ {K_{\rm{I}}} = {K'}_{\rm{I}} + \Delta {k_{\rm{i}}} \\ {K_{\rm{D}}} = {K'}_{\rm{D}} + \Delta {k_{\rm{d}}} \\ \end{gathered} \right. \end{split} $

(14)

3 系统仿真 3.1 仿真模型构建

根据上述理论分析，在 MATLAB/Simulink 仿真环境中构建仿真模型。仿真的目的是构建出传统 PID 控制算法、模糊 PID 控制算法、Smith 预估模糊 PID 控制算法的控制模型，并对其控制效果进行比较分析^[15]。

传统PID控制器中，${K'}_{\rm{P}} = 3，{K'}_{\rm{I}} = 4，{K'}_{\rm{D }}= 0.5$，部分仿真模型如图4所示。

3.2 给定输入下仿真结果对比

根据上文建立的传统 PID、模糊 PID、Smith 预估模糊 PID 3种控制策略下的仿真模型，在1T时刻输入幅值为2的阶跃信号，观察3种控制方法的仿真结果，如图5所示。

图5中红色部分为Smith 预估模糊 PID 控制，绿色部分为模糊PID控制，蓝色部分为传统PID控制，黑色部分为原始的输入信号。本次输入信号终值为2、响应时间为1T的阶跃信号。不难看出Smith 预估模糊 PID 控制算法稳定时间为4.5T，超调量为4.2%；模糊PID控制算法稳定时间为6.5T，超调量为12.6%；传统PID控制算法稳定时间为7T，超调量16.2%。对比3种控制算法可得，Smith 预估模糊 PID 控制算法达到稳态时间短，超调量小，具有更好的静态特性。

3.3 添加扰动后仿真结果对比

粉末称重在实际过程中存在粉末密度、流动性、颗粒大小、湿度等因素的影响，故整个系统需要有较好的抗干扰能力。本次实验在前文初始输入相同的情况下，在10T时加入1个幅值为1的输入信号与噪声功率为10⁻⁴的高斯白噪声，仿真结果如图6所示。

不难看出Smith 预估模糊 PID 控制算法在13.4T后重新回到稳态，超调量几乎为0；模糊PID控制算法在14T后重新回到稳态；传统PID控制算法在16T后重新回到稳态。面对干扰，Smith 预估模糊 PID 控制算法较其他算法有着更短的恢复时间、更小的超调量和更好的抗干扰能力。

4 实　验

完成系统仿真与算法对比后，基于粉末定量称重系统搭建实验平台。抖粉装置部分由上位机发送Gcode控制电机的最大旋转速度、加速度与行程，天平示数由恒宇FA2000万分之一天平通过232总线回传示数。软件部分由LabVIEW搭建与仿真算法类似的Smith预估模糊PID控制器，部分模糊PID参数设置框图如图7所示。

在此平台基础上，分别用传统PID控制器与Smith预估模糊PID控制器进行100次1 g定量称重实验，传统PID定量称重数据如图8所示。数据统计如表4所示。

Smith预估模糊PID定量称重数据如图9所示。数据统计如表5所示。

由上述数据可知，传统PID的1 g定量称重质量平均值为1.0012 g，最大质量为1.0115 g，最小质量为0.9910 g，标准差为0.0042；Smith预估模糊PID的1 g定量称重质量平均值为1.0013 g，最大值为1.0059 g，最小值为0.9973 g，标准差为0.0020。虽然两种算法定量称重平均值与中间值相近，但因抖粉装置单次抖粉存在随机误差，传统PID称重无法在线调整PID参数，易产生超差或粉末不足的情况，而Smith预估模糊PID控制算法在实际环境中均一性更好。

5 结 论

本文主要工作是基于高精度抖粉装置与万分之一天平组成的米粉粉末定量称重系统，推导验证其传递函数，研究了 Smith 预估模糊PID控制算法并对其进行了仿真，最后搭建实验平台进行1 g定量称重测试。先分别在给定输入值和添加扰动值两种工况下，仿真研究了传统PID、模糊 PID 和 Smith 预估模糊 PID 3种控制策略。较其他两种算法，Smith预估模糊 PID 控制策略在静态特性与面对干扰时的性能方面优于传统PID 和模糊 PID。最后进行各100次的1 g定量称重实验，Smith预估模糊PID控制算法单次抖粉平均值为1.0013 g，标准差为0.0020，传统PID算法单次抖粉平均值为1.0013 g，标准差为0.0042，这表明Smith预估模糊PID控制算法在实际环境中均一性更好，能有效减小系统的称重误差。