引　言

光学透镜在我们的世界中起到十分重要的作用，不仅存在于日常生活中，其发展还直接影响许多行业的进步。从生活中常见的眼镜、车灯、照相机、显微镜，到医学成像、航空航天领域、纳米芯片等等，光学成像透镜元件随处可见。然而，这些传统的光学透镜元件的成像依赖于传播累积的相位，由改变厚度和折射率调控相位差实现成像效果，受限于传统光学透镜用到的天然树脂材料的折射率，传统光学透镜往往十分厚重。为了满足成像要求，一般会通过光学设计将多个光学透镜元件组成光学系统，这进一步加大了系统的体积和复杂程度，无法满足在微纳尺寸光学系统中集成的需求。因此，寻找新的光学透镜材料具有十分重要的意义。

随着二维材料的发展，石墨烯材料受到了极大的关注^[1]。石墨烯是一种以蜂窝状排列的二维晶格材料，具有高折射率、强光学非线性响应以及良好的光学透过率和导电性等优异光电性质^[2-6]。用石墨烯制成的其衍生材料氧化石墨烯的表面具有丰富的含氧官能团^[7]，使得氧化石墨烯具有与石墨烯完全不同的特性^[8-9]，比如变为绝缘体，获得二维表面活性等。再通过各种方法从氧化石墨烯表面去除含氧官能团后获得的还原氧化石墨烯，具有类似石墨烯材料的结构和性质^[10]，比如具有良好的导电性^[11]、力学性能和光电性能。虽然相较于石墨烯，还原氧化石墨烯特性效果稍差，但是利用激光加工氧化石墨烯材料能够轻松得到还原氧化石墨烯材料^[12]，使得通过氧化石墨烯与还原氧化石墨烯的组合能够实现各种应用^[13]，比如Chen等^[14]利用石墨烯材料的强光学非线性响应实现了用于储存计算数字识别的超低功耗光学忆阻器,利用激光直写激光加工技术，提出了一种以还原氧化石墨烯和铂为电极、氧化石墨烯为功能材料的横向忆阻器。

因此，本文设计了一种基于氧化石墨烯薄膜的菲涅耳透镜。利用激光加工^[15-17]能够轻松将氧化石墨烯还原得到还原氧化石墨烯的性质^[18-20]，在氧化石墨烯薄膜上使用激光加工菲涅耳透镜的环带，利用石墨烯材料具有高折射率的性质，以及氧化石墨烯材料与还原氧化石墨烯材料之间折射率差导致的相位差，能够通过纳米级厚度的薄膜实现聚焦的功能。为了证明设计透镜的聚焦效果，使用瑞利–索末菲衍射理论和时域有限差分法（FDTD）进行计算 ^[21]，并且实验制备氧化石墨烯薄膜及菲涅耳透镜结构，进行光学表征。

1 菲涅耳透镜的设计

对氧化石墨烯薄膜进行激光加工会使氧化石墨烯转变为还原氧化石墨烯，两种材料之间存在一定的折射率差和消光系数差。因此，与传统的光学透镜不同，基于氧化石墨烯薄膜的菲涅耳透镜是通过氧化石墨烯与还原氧化石墨烯之间干涉产生的相位差而实现聚焦功能。

图1所示为二维平面的氧化石墨烯薄膜上菲涅耳透镜的原理图，浅色部分为氧化石墨烯薄膜区域，深色部分为通过激光加工，由氧化石墨烯转变的还原氧化石墨烯区域。考虑最中心的氧化石墨烯区域以及第一级还原氧化石墨烯区域，两个区域之间产生的相位调制可以由公式表达为

$ \begin{array}{c}\Delta \varnothing =\dfrac{2\text{π} }{\lambda }\left({R}_{1}-{R}_{0}\right)+\Delta \varphi \end{array} $

(1)

式中：$ {{R}}_{1} $为第一级还原氧化石墨烯环区域的中心与焦点的距离；$ {{R}}_{0} $为第一级氧化石墨烯环区域的中心与焦点的距离，即$ {{R}}_{0}={f} $。由于第一级还原氧化石墨烯区域离中间较近，区域内的相位调制相对外几环较弱，因此引入了一个相位调制的常数$\Delta \mathrm{\varphi }$。为了保证菲涅耳透镜能够实现聚焦的功能，即为了保证每级还原氧化石墨烯环区域与相邻氧化石墨烯区域产生干涉，每两个还原氧化石墨烯区域之间产生的相位调制差必须设定为$ \Delta \varnothing =2\text{π} $，则可以得到

$ \begin{array}{c}{R}_{m}-f=m\lambda -\lambda \dfrac{\Delta \varphi }{2\text{π} } \end{array} $

(2)

式中：$ {f} $为设定的菲涅耳透镜的焦距。式(2)也可以理解为第m个还原氧化石墨烯区域相对焦距需要完成的相位调制。由图1可以很明显地发现$ {{R}}_{{m}} $、第m级还原氧化石墨烯区域中心与透镜中心距离$ {{a}}_{{m}} $、$ {f} $之间存在关系$ {R}_{m}^{2}={a}_{m}^{2}+{f}^{2} $，则由式(2)可以得到

$ \begin{array}{c}{a}_{m}=\sqrt{\lambda f\left(2m-\dfrac{\Delta \varphi }{\text{π} }\right)} \end{array} $

(3)

设定补充相位调制$ \Delta \varphi =0.6 $，焦距$ f=170\;{\text{μ}}\mathrm{m} $，环数$ N=6 $，则可以得到菲涅耳透镜的基本结构参数，每级还原氧化石墨烯中心点与透镜中心点距离如表1所示。

基于瑞利–索末菲衍射理论^[22-23]设计菲涅耳透镜在焦点平面处的光场分布。首先，利用激光加工氧化石墨烯薄膜，刻制出的还原氧化石墨烯凹槽呈高斯状分布，因此在仿真中设定还原氧化石墨烯区凹槽为高斯分布为

$ \begin{array}{c}M\left({r}_{1}\right)=C\displaystyle\sum _{m=1}^{N}{{\rm{e}}}^{\frac{{\left({r}_{1}-{a}_{m}\right)}^{2}}{2{w}^{2}}} \end{array} $

(4)

式中：$ {r}_{1} $为菲涅耳透镜平面上某点与中心点的距离；$ w=0.08 $是控制半峰全宽的常数；$ C= 1.047\;6 $是一个取决于飞秒激光功率的常数。设定：氧化石墨烯区域折射率$ {n}_{{\rm{GO}}}=2.2 $，消光系数$ {K}_{{\rm{GO}}}=0.07 $，区域厚度$ {t}_{{\rm{GO}}}=500\;{\rm{nm}} $；还原氧化石墨烯区域折射率${n}_{\mathrm{r}\mathrm{G}\mathrm{O}}=3$，消光系数$ {K}_{\rm{{rGO}}}= 0.57 $，区域厚度$ {t}_{{\rm{rGO}}}=100\;{\rm{nm}} $，环宽${w}_{\mathrm{r}\mathrm{G}\mathrm{O}}= 820\;{\rm{nm}}$，还原氧化石墨烯的环数$ N=6 $。在这里设定的环宽、氧化石墨烯区域和还原氧化石墨烯区域厚度是根据实际实验确定的，在第2节实验部分会详细介绍。则菲涅耳透镜上的折射率分布、消光系数分布、厚度分布表示为

$ \begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}n\left({r}_{1}\right)={n}_{{\rm{GO}}}+\Delta n\cdot M\left({r}_{1}\right)\\ t\left({r}_{1}\right)={t}_{{\rm{GO}}}+\Delta t\cdot M\left({r}_{1}\right)\\ K\left({r}_{1}\right)={K}_{{\rm{GO}}}+\Delta K\cdot M\left({r}_{1}\right)\end{array}\right. \end{array} $

(5)

由消光系数分布可以得到菲涅耳透镜上的吸收系数分布为

$ \begin{array}{c}\alpha \left({r}_{1}\right)=4\text{π} \dfrac{K\left({r}_{1}\right)}{\lambda } \end{array} $

(6)

通过比尔–朗伯方程（Beer-Lambert equation），可将传输分布表达为

$ \begin{array}{c}T\left({r}_{1}\right)={{\rm{e}}}^{-\alpha \left({r}_{1}\right)t\left({r}_{1}\right)} \end{array} $

(7)

考虑入射光为均匀平面光，即$ {E}_{1}\left({r}_{1}\right)=1 $，则菲涅耳透镜后的光场分布可以表示为

$ \begin{array}{c}{E{'}_{1}}\left({r}_{1}\right)={E}_{1}\left({r}_{1}\right)\sqrt{T\left({r}_{1}\right)}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}k\left({\varnothing }_{{\rm{film}}}+{\varnothing }_{{\rm{air}}}\right)} \end{array} $

(8)

式中$ {\mathrm{\varnothing }}_{{\rm{film}}}=n\left({r}_{1}\right)t\left({r}_{1}\right) $和$ {\mathrm{\varnothing }}_{{\rm{air}}}={n}_{{\rm{air}}}[{t}_{{\rm{GO}}}-t({r}_{1}\left)\right] $分别为薄膜和空气提供的相位调制。最后基于圆对称菲涅耳近似，利用瑞利–索末菲衍射理论可以得到焦平面的电场强度为

$ \begin{split} \left|E_2\left(r_2, {\textit{z}}\right)\right|= & \dfrac{{\rm{i}} 2 \text{π}}{\lambda {\textit{z}}} \exp (-{\rm{i}}|k| {\textit{z}}) \exp \left(-\dfrac{{\rm{i}}|k| \cdot r_2^2}{2 {\textit{z}}}\right) \times \\ & \int_0^{+\infty}\left|E_1^{\prime}\left(r_1\right)\right| \exp \left(-\dfrac{{\rm{i}}|k| \cdot r_1^2}{2 {\textit{z}}}\right) \times \\ &J_0\left(\dfrac{|k| \cdot\left|r_1\right| \cdot\left|r_2\right|}{{\textit{z}}}\right)\left|r_1\right| {\rm{d}} r_1 \end{split} $

(9)

式中：$ {r}_{2} $为聚焦平面上某点与中心点的距离；z为与透镜的距离，在这里只考虑在聚焦平面的电场分布，因此设定$ {\textit{z}}=f $。由式(9)可以通过理论计算得出聚焦平面处的电场分布如图2所示，聚焦光斑的半峰全宽为1.5578 μm。

使用时域有限差分法（FDTD）对设计的菲涅耳透镜进行电磁场数值仿真，可以得到传播平面上以及聚焦位置处的电场分布，如图3所示。

图3（a）、（b）所示为传播平面上的电场分布，可以发现聚焦位置在$ f=167\;{\text{μ}}\mathrm{m} $，与设计的$ f=170\;{\text{μ}}\mathrm{m} $出入不大。图3（c）、（d）所示为聚焦平面上的电场分布，即在$ f=167\;{\text{μ}}\mathrm{m} $处的电场分布，焦点的半峰全宽为1.54 $ {\text{μ}}\mathrm{m} $，聚焦效率为45.6%。聚焦效率是通过测量聚焦光斑半峰全宽三倍区域内的光功率与入射光的光功率之比得到的。如图4所示，将通过FDTD得到的电场分布与通过瑞利–索末菲衍射理论得到的电场分布做对比，结果匹配，可以证明设计的菲涅耳透镜能够实现设计的聚焦功能。

2 实验及表征

在氧化石墨烯薄膜的制备中，使用22 mm$ \times $22 mm$ \times $0.17 mm方形盖玻片，4$ \mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{m}\mathrm{L} $氧化石墨烯溶液（Sigma-Aldrich，产品编号777676），通过滴铸法制备氧化石墨烯薄膜。

由于购置的4$ \mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{m}\mathrm{L} $氧化石墨烯溶液浓度太大，使用滴铸法时溶液不能铺满整块玻片，因此需要将溶液配制为1 $ \mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{m}\mathrm{L} $浓度。使用移液枪取10 mL的4$ \mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{m}\mathrm{L} $氧化石墨烯溶液置于烧杯内，取30 mL去离子水置于同一烧杯内。将烧杯置于超声波清洗机内超声处理20 min，确保氧化石墨烯溶液充分稀释。后将烧杯移于通风橱内静置，这一步需要提前几天完成。

为了使玻片表面干净无杂质，取玻片置于烧杯内，倒入丙酮，将烧杯置于超声波清洗机内超声处理15 min。后续依次用乙醇、去离子水、异丙醇超声处理各15 min。为了使玻片具有亲水性，取出玻片，待玻片上异丙醇完全挥发后，将玻片置于紫外光清洗机内光照处理30 min。

使用移液枪取400 μL提前配制的1 $ \mathrm{m}\mathrm{g}/\mathrm{m}\mathrm{L} $氧化石墨烯溶液，滴于玻片上。由于对玻片做了亲水处理，氧化石墨烯溶液会平铺满整个玻片。于通风橱内静置一天，待溶剂全部挥发，得到氧化石墨烯薄膜如图5（a）所示。对氧化石墨烯薄膜做拉曼光谱测试，得到结果如图5（b）所示，证明制成的氧化石墨烯薄膜化学性质并未发生改变。通过滴铸法得到的氧化石墨烯薄膜整体平整度很差，但由于菲涅耳透镜尺寸很小，对应需要激光加工的区域很小，因此制备的薄膜平整度不会对实验结果产生明显影响。

由于对氧化石墨烯薄膜进行激光加工时，会发生热扩散效应，最终实现的还原氧化石墨烯区域宽度会受到加工时的激光功率与加工线速度的影响。为了提高设计的菲涅耳透镜的聚焦效率，要求在对氧化石墨烯薄膜进行激光加工时实现还原氧化石墨烯区域最小线宽。通过激光还原氧化石墨烯，在薄膜上制备平行线图案，由于还原氧化石墨烯具有更高的吸收，在CCD上看起来比氧化石墨烯更暗。如图6所示，通过调整激光加工时的条件，可以发现还原氧化石墨烯区域的线宽与加工线速呈线性关系，最终能实现的最小线宽约为820 nm，在前期设计中将使用这一数据。

最后，氧化石墨烯薄膜上制备得到的菲涅耳透镜如图7（a）所示，浅色区域为氧化石墨烯薄膜，深色区域为加工后得到的还原氧化石墨烯区域。通过原子力显微镜（AFM）测量，氧化石墨烯薄膜厚度为500 nm左右，还原氧化石墨烯区域厚度约为100 nm左右，激光加工凹槽为高斯状分布。加工得到的菲涅耳透镜结构与设计的结构参数匹配。使用波长为532 nm的激光光源照射菲涅耳透镜，能够得到聚焦光斑，如图7（b）所示。实验得到的光斑尺寸与通过FDTD得到的光斑尺寸以及通过瑞利–索末菲衍射理论得到的光斑尺寸匹配，尺寸直径为2.14 $ {\text{μ}}\mathrm{m} $，聚焦效率为41.2%。

3 结 论

本文设计了一种基于氧化石墨烯薄膜的菲涅耳透镜结构。先通过理论公式设计了菲涅耳透镜的结构参数，通过瑞利–索末菲衍射理论计算和时域有限差分算法仿真证明了菲涅耳透镜的聚焦效果。后续通过滴铸法实验制备了厚度约为500 nm的氧化石墨烯薄膜，通过激光加工制备了菲涅耳透镜，光路表征实验验证了聚焦效果与仿真结果一致。在提升加工系统精度的前提下，减小还原氧化石墨烯区域的最小线宽，可以进一步提升透镜聚焦效果。相较于传统的光学透镜系统，石墨烯高材料折射率的性质，能够通过纳米级厚度的薄膜实现聚焦的功能，易于与其他光学器件集成，为多功能化的平面光学器件提供了更多可能。