引　言

涡旋光束是一种具有螺旋波前相位的特殊光束，其光子携带轨道角动量（orbital angular momentum, OAM），与光束的拓扑荷数成正比^[1]。由于涡旋光束在光通信^[2-5]、微粒操控^[6-9]、光学成像^[10-13]等领域有着巨大的潜在应用价值，因此近十年来一直是光学以及相关领域的研究热点。

早期的研究主要集中于拉盖尔–高斯涡旋光束和贝塞尔–高斯涡旋光束，但研究者发现，当这些涡旋光束的拓扑荷数发生改变时，会引起光束环半径以及环宽的变化，而这会大幅削弱光束在微粒操控以及光纤传输等方面的应用效率^[14-15]。为了克服这一困难，Ostrovsky等^[16]在2013年提出了一种振幅为 $\delta $ 函数的完美涡旋光（perfect vortex beam，PVB）概念，PVB的环宽趋于零，且环半径恒定，不随拓扑荷数的改变而改变。最近，Forbes等^[17]通过理论分析证明，拓扑荷数对实际光束的光强分布的影响不可消除。

PVB的提出引起了研究者的兴趣，实际无法产生振幅为 $\delta $ 函数的理想PVB，如何产生类 $\delta $ 函数的环形光场分布成为研究重点之一，目前有两种产生方法。一种是由Ostrovsky等^{[16, 18]}提出的使用贝塞尔函数的线性组合来拟合 $\delta $ 函数，并利用空间光调制器（spatial light modulator，SLM）来近似产生这些贝塞尔函数的线性组合，但这一方法会产生额外的冗余光环，降低了光束质量。2016年，Porfirev等^[19]利用最优化设计方法改进了Ostrovsky等的最初方案，大幅提升了入射光源的使用效率。另一种是由Chen等^[15]在2013年提出，他们使用了锥透镜结合傅里叶变换的方法来产生PVB，但改变光束环半径时需更换不同顶角的锥透镜，并重新准直光路。2015年，Vaity等^[20]改进了锥透镜方法，提出利用相位型SLM模拟锥透镜的相位分布，并使用高斯光束作为入射光源，这样既可以通过改变SLM的相位分布来模拟不同顶角的锥透镜，又利用高斯光束对贝塞尔函数做了软边界切趾处理，避免了使用光阑硬边界带来的边缘衍射，大幅提升了光束质量。

随后研究者提出了各种矢量PVB和变形PVB，并使用了多种技术手段和工具用于PVB的产生。2015年，中国科技大学的卢荣德小组^[21]利用数字微镜代替SLM，产生了大拓扑荷数的PVB；2016年，西北工业大学的赵建林课题组^[22]提出了矢量PVB的产生和偏振调控方法；2017年，Karahroudi等^[23]提出可用弧形叉状光栅一次性产生多种拓扑荷数的PVB，但实际所得光束质量较差；2018年，Li等^[24]实验产生了矢量椭圆形PVB并研究了光束性质；2019年，中国科学院西安光学精密机械研究所的姚保利课题组^[25]实验产生了双环型PVB并研究了光束性质；2020年，Guo等^[26]提出可以使用聚合物相位板代替SLM产生PVB，其相位板的像素可达亚微米级；2021年，Dai等^[27]利用声光调制的方法产生拓扑荷数为分数阶的PVB。最近，研究者们^[28-30]使用Pancharatnam-Berry相位超表面进一步产生了矢量PVB以及PVB阵列。虽然PVB的产生研究呈现多样性发展，但PVB特有的类 $\delta $ 函数的环形光场产生方法仍然沿用了上述介绍的贝塞尔函数的线性组合法和锥透镜相位模拟法，目前研究者对于环形光场的获得这一问题并没有提出更新的方法。

由于锥透镜相位法实验光路简单，且产生光束质量高，因此是目前最为广泛使用的方法。虽然Vaity等提出的改进锥透镜法可以通过SLM方便调控PVB的环半径以及拓扑荷数，但当调整环宽时仍需改变入射高斯光源的光斑大小或更换不同焦距的傅里叶透镜。虽然可以通过额外加载不同焦距的菲涅尔全息透镜相位来代替物理更换透镜，但这样会使得产生光束的质量下降^[31]，且每次改变全息透镜的焦距后仍然需要调整后续测量或应用光路的位置，使得调控不能实时完成，且增加了实验的操作难度，这对于微粒操控等需要实时调整光束参数的应用来说是十分不利的。为了克服这一困难，本文提出可使用傅里叶空间相位计算全息法^[32]产生PVB，改进了相位编码方法，进一步简化了实验光路，使得光束的环半径、环宽以及拓扑荷数都可方便的通过加载于SLM的编码相位进行调控，且在光束调控过程中可固定光路进行实验，降低了实验操作难度。同时，该方法还具有通用性强的优点，不仅可用于产生常规PVB，也可用于产生椭圆形PVB^[33]以及双环形PVB^{[25, 34]}等变形PVB。最后，本文对理论分析和数值仿真结果进行了实验验证，实验结果与理论结果相吻合。

1 理论分析

理想PVB可表示为^[16]

$ {E_{\rm{PVB}}}\left( {r,\theta } \right) \propto \delta \left( {r - R} \right)\exp \left( {\rm{i}}l\theta \right) $

(1)

式中： $\left( {r,\theta } \right)$ 为初始面极坐标； $\delta \left( r \right)$ 为狄拉克函数； $R$ 为PVB亮环半径； $l$ 为拓扑荷数。其频谱可以通过傅里叶变换获得

$ F\left( {\rho ,\phi } \right) \propto {{\rm{J}}_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\phi } \right) $

(2)

式中： $\left( {\rho ,\phi } \right)$ 为频谱极坐标； ${{\rm{J}}_l}\left( * \right)$ 为第一类l阶贝塞尔函数； ${k_r}$ 为径向波数。由于贝塞尔函数无限延展，所需能量无穷大，通常使用高斯函数做切趾处理，此时式（2）可改写为

$ {F_G}\left( {\rho ,\phi } \right) \propto {{\rm{J}}_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( { - \frac{{{\rho ^2}}}{{w_{\rm{g}}^2}}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\phi } \right) $

(3)

式中 ${w_\rm{g}}$ 为高斯半径。对式（3）做傅里叶变换，可得实际PVB的复振幅^[20]

$ E\left( {r,\theta } \right) \propto \exp \left( { - \frac{{{r^2} + {R^2}}}{{{T^2}}}} \right){I_l}\left( {\frac{{2Rr}}{{{T^2}}}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\theta } \right) $

(4)

其中

$ R = {k_r}f/k $

(5)

$ T = 2f/k{w_{\rm{g}}} $

(6)

式中： $f$ 表示傅里叶透镜的焦距； $k$ 为波数。 ${{\rm{I}}_l}\left( * \right)$ 表示第一类l阶修正贝塞尔函数，正是由于此项的存在，使得实际PVB的光强分布总会受到拓扑荷数 $l$ 的影响而无法消除。当 $R \gg T$ 时，可将 $R$ 和 $T$ 近似为PVB的环半径和环宽^[20]，因此实际PVB的3个主要参数为拓扑荷数 $l$ 、环半径 $R$ 和环宽 $T$ 。

为了获得式（3）所示的贝塞尔–高斯光束，可使用半径为 ${w_{\rm{g}}}$ 的高斯光束照射锥透镜，当利用SLM代替锥透镜时，SLM的相位分布可表示为^[20]

$ \psi {\text{ = }}\exp ({\rm{i}}ar + {\rm{i}}l\theta ) $

(7)

式中 $a$ 为棱锥参数，与 ${k_r}$ 相关。从式（5）和式（6）可知，通过改变式（7）中的参数 $a$ 和 $l$ 便可调控PVB的半径 $R$ 和拓扑荷数 $l$ ，但无法调控环宽 $T$ 。

由式（6）可知，如果想要改变 $T$ ，则必须改变入射高斯光束的半径 ${w_{\rm{g}}}$ 或傅里叶透镜的焦距 $f$ 。改变傅里叶透镜的焦距可以通过在SLM上额外加载不同焦距的菲涅尔全息透镜来实现。但使用这种方法不仅会使得产生光束的质量下降^[31]，而且通过相位分布改变全息透镜的焦距后仍然需要将后续的测量光路或应用光路再次调整到改变后的焦面位置，无法做到固定实验光路进行光束调控，这对于微粒操控等需要实时调整光束参数的应用来说是十分不利的。因此更佳的调控方法应该是通过SLM的相位分布改变式（6）中的高斯函数半径 ${w_{\rm{g}}}$ 。

为了实现这一目标，本文引入了相位计算全息法^[32]，并选择针对频谱函数编码，即选择式（3）作为编码对象，这样可将文献中的 $4f$ 系统简化为 $2f$ 系统，降低实验操作难度和缩减实验空间。此时式（3）中的参数 ${k_r}$ 、 $l$ 和 ${w_{\rm{g}}}$ 全部可调。需要特别强调的是，这里 ${w_{\rm{g}}}$ 不再是实际入射高斯光束的半径，而是一个可随时调整的编码参数。将式（3）改写为

$ {F_G}\left( {\rho ,\phi } \right) = c\left( \rho \right)\exp \left[ {{\rm{i}}\varphi \left( \phi \right)} \right] $

(8)

$ c\left( \rho \right) = A{{\rm{J}}_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( { - \frac{{{\rho ^2}}}{{w_{\rm{g}}^2}}} \right) $

(9)

$ \varphi \left( \phi \right) = {\rm{i}}l\phi $

(10)

式中 $A$ 为振幅比例系数，使得 $ c \in [0,1] $ ， $\varphi \in [0,2\text{π} ]$ 。设加载于SLM的编码相位函数为 $ \psi \left( {c,\varphi } \right) $ ，根据已有的理论分析，其必须关于 $ \varphi $ 呈奇对称关系^[32]。通过比较，本文选择了如下关系构造编码相位函数

$ \psi \left( {c,\varphi } \right) = \varphi + M\left( c \right)\sin \varphi $

(11)

$ {{\rm{J}}_0}\left[ {M\left( c \right)} \right] = c $

(12)

式中 ${\rm{J}_0}\left( * \right)$ 为第一类零阶贝塞尔函数。

为了将各级衍射光在傅里叶透镜的后焦面分离，可在编码相位中添加一载波相位调制，此时式（11）改写为

$ \begin{split} \psi \left( {{x_0},{y_0}} \right) = & \left[ {\varphi + 2 {\text{π}}\left( {p{x_0} + q{y_0}} \right)} \right] +\\ & M\left( c \right)\sin \left[ {\varphi + 2 {\text{π}} \left( {p{x_0} + q{y_0}} \right)} \right] \end{split}$

(13)

式中 $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 为编码平面坐标。这样选取合适的p、q参数，就可以在傅里叶透镜的后焦面获得完全分离的正、负1级衍射光束，其拓扑荷数分别为 $l$ 和 $ - l$ 。

2 仿真与实验结果

实验光路示意图如图1所示，本文使用了型号为DH-HN250P，功率约为2.4 mv，波长为632.8 nm的氦氖激光器作为光源，光束经过半波片将偏振方向调整到与SLM（Holoeye GAEA-2）的工作方向平行，SLM的分辨率为3840×2160，像素尺寸为3.74 µm，相面尺寸15.32 mm×9.22 mm。然后经透镜组与针孔整形、扩束后入射到SLM上。SLM位于傅里叶透镜的前焦面上，图像传感器（charge-coupled，CCD）位于傅里叶透镜的后焦面上，测量所需的正1级衍射光束。实验使用了焦距f = 300 mm的傅里叶透镜，并保持不变，这样光路经一次调整准直后就无需变更，在整个实验过程中可固定光路进行实验。

编码时改变式（10）中的 $l$ ，便可方便地调控产生光束的拓扑荷数。为了实验验证产生光束的拓扑荷数，本文使用了原位测量法^[35]，其优点在于无需变更光路且实现简单，只需在编码时改用式（11），即去除式（13）中添加的载波相位调制项。此时正、负1级衍射光束会在傅里叶透镜的后焦面完全重合并发生干涉，干涉条纹数应为拓扑荷数 $l$ 的两倍^[35]。图2给出了实验干涉结果，这里对光束中心位置的零级衍射光斑做了遮挡，从图中可以看到，实验结果完全符合理论预期，证明了拓扑荷数的可控性。

由式（5）可知，编码时改变式（9）中的 ${k_r}$ 便可方便的调控产生光束的亮环半径。表1给出了光束参数 $T = 0.05\;{\rm{mm}}$ ， $l = 10$ 不变时，不同半径PVB的理论光强分布和实验结果，表中同时给出了相应的编码相位分布。从表中可以清楚地看到实验光束半径随编码相位的变化，且实验测量结果与理论预期相吻合，证明了光束半径的可控性。

由式（6）可知，改变式（9）中的 ${w_{\rm{g}}}$ 便可调控产生光束的亮环宽度。由于此时 ${w_{\rm{g}}}$ 不再是实际入射高斯光束的半径，而是一个可随时调整的编码参数，因此可方便地通过编码相位函数来调控PVB的环宽。表2给出了光束参数R = 0.8 mm， $l = 10$ 不变时，不同环宽PVB的理论光强分布和实验结果，表中同时给出了相应的编码相位分布。与理论预期一致，实验光束的环宽随编码相位的变化而变化，且实验测量结果与理论结果相吻合，证明了光束环宽的可控性。

上述实验结果证明，使用傅里叶空间相位编码法可以方便地通过编码相位函数来调控包括环宽 $T$ 在内的3个主要光束参数，实验过程中光路固定，操作简单、易实现，且实验产生的光束质量高，几乎不受光束参数的影响。

该方法还具有适用性广的优点，只要在编码时将式（3）替换为变形PVB的频谱，就可用此方法产生变形PVB，且无需变更光路。图3给出了不同参数的椭圆形PVB的理论光强分布和实验测量结果。光束参数选取 $T = 0.05\;{\rm{mm}}$ ， $l = 5$ 以及y轴半轴长 ${R_y} = 1\;{\rm{mm}}$ 保持不变， $m = {R_y}/{R_x}$ 表示y轴半轴长与x轴半轴长的比值。从图中可以看到，实验结果与理论结果都吻合得很好，由此证明傅里叶空间相位计算全息法不仅可以用于产生常规PVB，也可用于产生、调控基于PVB的各类变形光束，且光束质量高。

3 结　论

本文提出了使用傅里叶空间相位计算全息法产生、调控PVB。通过理论分析可知，使用该方法可以方便的通过改变相位编码函数实时调控PVB的3个主要光束参数，且光路简单，经一次调整准直后就无需变更，在整个实验过程中可固定光路进行实验，操作简便。实验测量结果与理论预期相吻合，实验产生的光束质量高，且光束质量几乎不受光束参数的影响。另一方面，计算相位全息法的通用性强，此方法还可用于产生高质量的变形PVB。本文实验产生了不同参数的椭圆形PVB，实验测量结果与理论结果相吻合。综上所述，傅里叶空间相位计算全息法是一种简便、通用、实用性更强的完美涡旋光产生、调控方法。