引　言

20世纪，随着整数量子霍尔效应^[1-2]被发现，拓扑作为近代数学分支，被引入凝聚态物理领域，并逐渐发展成为一门独立的学科——拓扑电子学。随后，人们将拓扑电子学类比到光学领域，将其发展成为拓扑光子学，为揭示物质拓扑相开辟了新的方向^[3-4]。依据拓扑相的不同，人们将绝缘物质划分为非平庸拓扑绝缘体和平庸拓扑绝缘体。一种拓扑相连续转变至另一种拓扑相必将经历能带间隙打开—关闭—再打开的过程，即拓扑相变^[5]。根据体边对应，两种拓扑相不同的光子晶体堆叠在一起时，其交界面会产生一种沿着体系边缘单向传输的边缘态。该边缘态受拓扑保护，无背向散射，被称为拓扑边缘态^[6]。拓扑边缘态出现在体系公共带隙区域，以导模的形式存在。研究表明：在时间反演对称性被打破的体系中，体系能带中会出现一条横跨整个带隙的导模，即边缘态^[7-8]；在受时间反演对称性保护的体系中，体系能带中会出现成对的拓扑边缘态，如螺旋边缘态^[9-10]、手性边缘态^[11]等。研究发现，在体系带隙中，成对的拓扑边缘态是否会产生无间隙的狄拉克点，通常与边缘态所在界面的几何结构有关^[12]。

相较于厄米系统，非厄米系统下的光子晶体具有复数形式的本征值及本征向量，这极大丰富了拓扑绝缘体的可研究内容。奇异点是一对本征值实数部分重合的兼并点，它的存在是非厄米系统的显著特征之一^[13-14]。奇异点的出现引发了诸多奇特的物理现象，如奇异环^[15]、体费米弧^[16]、半整数拓扑电荷^[17]。此外，结合多样的光子晶体结构，非厄米系统下的拓扑绝缘体引起了人们的广泛关注。本文将结合Kekulé晶格，研究非厄米系统的拓扑边缘态。相较于传统的蜂窝晶格，Kekulé晶格最近邻原子间的耦合作用可区分为胞内耦合和胞间耦合作用^[18-19]。当胞间耦合强度大于胞内耦合强度时，系统为拓扑非平庸态；而当胞间耦合强度小于胞内耦合强度时，系统为拓扑平庸态。根据交界面的几何形状，两态交界面处产生的拓扑边缘态可分为Zigzag边缘态和Armchair边缘态。其中Zigzag边缘态受系统镜面对称保护，呈现出无间隙的狄拉克点，而Armchair边缘态不具有对称性，在其边缘态能谱中呈现出有间隙的两条边缘态谱线。以往针对Kekulé晶格拓扑边缘态的研究通常聚焦于厄米系统^[20]，或单一胞间耦合相互作用下的非厄米系统^[21]。本文基于Kekulé晶格，在保持胞内耦合作用相同的基础上，将胞间耦合作用分化为垂直方向和水平方向的量，研究了非厄米系统下几何边界对拓扑边缘态的影响，丰富了该晶格的研究内容。

1 模　型

蜂窝晶格由6个相同的原子构成，且原子均匀地分布在正六边形的6个顶角。而原子间的相互作用可以通过调控其相对位置来实现，即两个相互耦合的最近邻原子间距离越大，其相互作用越小；反之，则其相互作用越大。在蜂窝晶格的基础上，通过区分胞内耦合和胞间耦合的相互作用，可构建Kekulé晶格。传统厄米系统下的Kekulé晶格的胞内耦合和胞间耦合存在竞争关系：当胞内耦合和胞间耦合相等时，整个晶格具有 ${{\rm{C}}}_{6}$ 对称性，其体态能带图中出现一个狄拉克点，此时体系为狄拉克半金属的状态；当胞内耦合小于胞间耦合时，狄拉克点被打开，体态能带图中出现能带间隙，此时体系拓扑相为非平庸拓扑绝缘体；当胞内耦合大于胞间耦合时，体态能带图中出现能带间隙，此时体系拓扑相为平庸拓扑绝缘体，即普通绝缘体。

首先，基于Kekulé晶格讨论厄米系统中的拓扑相。Kekulé晶格结构如图1所示：蓝色实心圆代表Kekulé晶格格点上的原子；蓝色实线代表最近邻原子间的胞内耦合相互作用；绿色和红色实线均代表最近邻原子间的胞间耦合相互作用。通过改变原子间的相对距离来调控对应的耦合作用的强度。相较于传统蜂窝晶格的正六边形单胞，因为胞间耦合的作用，Kekulé晶格的单胞可形成7个正六边形亚晶格，从而具有更大的单胞形式。将Kekulé晶格中亚晶格的正六边形的边长设为晶格常数 $ a $ ，晶格矢量 ${{\boldsymbol{a}}}_{1}=a(3/2,\;-\sqrt{3}/2)$ ， ${{{\boldsymbol{a}}}}_{2}= a(0,\;-\sqrt{3})$ 。假定胞内耦合相互作用为 $ t $ ，垂直方向上的胞间耦合相互作用为 $ {t}_{1} $ ，水平方向上的胞间耦合相互作用为 $ {t}_{2} $ 。基于紧束缚模型^[22]，采用厄米系统下哈密顿量 $ H $ 来描述Kekulé晶格单胞内最近邻原子间的相互作用

$ H=-\sum _{ < i,j > }{t}_{ij}{{c}_{i}}^\text{†}{c}_{j} $

式中： $ < i,j > $ 为晶体中最近邻的两格点； ${t}_{ij}$ 为原子 $ {c}_{i} $ 和 $ {c}_{j} $ 之间的相互耦合作用； ${{c}_{i}}^\text{†}$ 为格点 $ i $ 产生的算符。

当原子 $ {c}_{i} $ , $ {c}_{j} $ 之间的相互作用为胞内耦合时， ${t}_{ij}={t}$ ；当原子 $ {c}_{i} $ , $ {c}_{j} $ 之间的相互作用为垂直方向上的胞间耦合时， $ {t}_{ij}={t}_{1} $ ；当原子 $ {c}_{i} $ , $ {c}_{j} $ 之间的相互作用为水平方向上的胞间耦合时， $ {t}_{ij}={t}_{2} $ 。由此可得到非厄米系统相互耦合作用的哈密顿量核心矩阵

$ \left( \begin{array}{cccccc}0& 0& 0& {t}_{2}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{2}}& 0& t \\ t& 0& 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{1}}& 0\\ 0& t& 0& 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}({{\boldsymbol {a}}}_{1}+{{\boldsymbol {a}}}_{2})}\\ {t}_{2}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{2}}& 0& t& 0& 0& 0\\ 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{1}}& 0& t& 0& 0\\ 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}({{\boldsymbol {a}}}_{1}+{{\boldsymbol {a}}}_{2})}& 0& t& 0\end{array} \right) $

矩阵中k表示倒格子空间矢量。

设定矩阵元素的具体参数值后，求解其本征值，即可得到系统的体态能谱，如图2所示。在此默认 $ t=1 $ ，图2（a）中，取 $ {t}_{1}=0.2，{t}_{2}= 0.9 $ ；图2（b）中，取 ${t}_{1}=2.0，{t}_{2}=2.0$ ；图2（c）中，取 ${t}_{1}=2.2，{t}_{2}=2.9$ ；图2（d）中，取 $ {t}_{1}=2.9，{t}_{2}= 2.2 $ 。由图2可知：当 $ {t}_{1}\ne {t}_{2} $ 时，单胞能带图关于零能级水平线上下对称，并处于半填充状态；当 $ {t}_{1}={t}_{2} $ 时，能带在布里渊区高对称点Γ和K处两两兼并，形成一对能带兼并点。

与非互易耦合的二聚化晶格（Su-Schrieffer-Heeger，SSH）类似，Kekulé晶格的拓扑相与胞内耦合和胞间耦合作用有着密切的关系，且胞内耦合作用和胞间耦合作用之间存在竞争关系，即：当胞内耦合强度大于胞间耦合强度时，系统呈拓扑平庸态；当胞内耦合强度小于胞间耦合强度时，系统呈拓扑非平庸态。为了验证这一猜想，采用图2中的各耦合作用参数，构建图1所示纳米带结构，进行拓扑边缘态的仿真，根据能谱间隙中边缘态的有无来判断体系是否为拓扑绝缘体。根据边缘态几何位置的不同，可将拓扑边缘态划分为Armchair和Zigzag两种。分别绘制其边缘态能谱，如图2（a）和（b）中第2行（Armchair）和第3行（Zigzag）所示。可以看到：图2（a）中 $ {t}_{1} < t $ ， $ {t}_{2} < t $ ，体系为拓扑平庸绝缘体，无法产生拓扑边缘态；图2（b）中， $ t < {t}_{1}= {t}_{2} $ ，体系受镜像对称和几何结构手性对称性保护，其Zigzag拓扑边缘态在中心点处发生兼并，产生无带隙的狄拉克点；图2（c）~（d）中， $t < {t}_{1}，t < {t}_{2}，{t}_{1}\ne {t}_{2}$ ，由于水平方向和垂直方向的胞间耦合作用不同，体系镜像对称被打破，原有的狄拉克点不再受几何对称性保护，故产生带隙，两条Zigzag边缘态不再兼并。由于Armchair拓扑边缘态所处的几何结构本身不具有对称性，故在 $ {t}_{1}={t}_{2} $ ， $ {t}_{1}\ne {t}_{2} $ 的两种情况下均无法形成狄拉克点，边缘态能谱中均存在带隙，耦合作用的调控无法使能带间隙关闭以形成狄拉克点，具体边缘态能谱如图2所示。

2 非厄米效应

通过在原子中添加增益损耗来实现非厄米效应，增益损耗分布方式如图1（b）所示。将亚晶格内6个格点按照逆时针方向依次编号，在两种不同类型中，均对黑色实心圆圈所示格点上的原子施加增益，取 $+{\rm{i}}\gamma （\gamma > 0)$ ；对红色空心圆圈所示格点上的原子施加损耗，取 $-{\rm{i}}\gamma （\gamma > 0）$ 。对于非厄米系统，用哈密顿量的核心矩阵来重新描述系统原子间的相互作用

$ \left(\begin{array}{cccccc} -{\rm{i}}\mathrm{\gamma }& 0& 0& {t}_{2}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{2}}& 0& t\\ t& -{\rm{i}}\mathrm{\gamma }& 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{1}}& 0\\ 0& t& -{\rm{i}}\mathrm{\gamma }& 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}({{\boldsymbol {a}}}_{1}+{{\boldsymbol {a}}}_{2})}\\ {t}_{2}{{\rm {e}}}^{-{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{2}}& 0& t& +{\rm{i}}\mathrm{\gamma }& 0& 0\\ 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}{{\boldsymbol {a}}}_{1}}& 0& t& +{\rm{i}}\mathrm{\gamma }& 0\\ 0& 0& {t}_{1}{{\rm {e}}}^{{\rm{i}}{\boldsymbol {k}}({{\boldsymbol {a}}}_{1}+{{\boldsymbol {a}}}_{2})}& 0& t& +{\rm{i}}\mathrm{\gamma }\end{array}\right) $

为了验证非厄米效应对体态能谱的影响，根据哈密顿量的核心矩阵求解能量本征值，如图3所示，蓝色实线代表本征值的实数部分，绿色虚线代表虚数部分。图3（a）中， $ {t}_{1}=1.2，{t}_{2}= 2.7，\gamma $ 的取值从上至下依次为 $ 0.1，0.2，0.3 $ ；图3（b）中， $ {t}_{1}=2.7，{t}_{2}=1.2 $ ， $ \gamma $ 的取值从上至下依次为 $0.100，0.358，0.500$ ；图3（c）中， ${t}_{1}=1.2，{t}_{2}= 2.7，\gamma$ 的取值从上至下依次为 $ 0.1，0.2，0.3 $ ；图3（d）中， ${t}_{1}=2.7，{t}_{2}=1.2，\gamma$ 的取值从上至下依次为 $0.100，0.563，0.800$ 。其中，图3（a）和（b）对应增益损耗Type Ⅰ，图3（c）和（d）对应增益损耗Type Ⅱ。从图中可以看出： $ \gamma $ 的取值相对较小时，其对能谱整体影响不大；随着 $ \gamma $ 取值逐渐增大，其对能谱的调节作用逐渐明显，能谱带隙逐渐减小。当 $ \gamma $ 在体系中选取适当的特定值时，由于结构的几何对称性以及非厄米效应的影响，Type Ⅰ对应的图3（a）在高对称点 $ \mathrm{\varGamma } $ 处出现狄拉克点，图3（b）在高对称点 $ {M} $ 处出现狄拉克点，且关于零能级水平线上下对称；Type Ⅱ对应的图3（c）和（d）均在高对称点 $ {\varGamma } $ 处出现狄拉克点，但他们所对应的 $ \gamma $ 取值不同。当 $ \gamma $ 取值持续增大时，图3（a）中对应的狄拉克点随即劈裂为一对奇异点，图3（b）中的一对狄拉克点劈裂为两对奇异点，并且，此时能量本征值出现虚部，且虚部的能谱图为一个环形。

通过在图1（a）所示的Kekulé晶格中分别添加图1（b）所示的增益损耗Type Ⅰ和Type Ⅱ来构建非厄米系统。取 $ {t}_{1}=2.7，{t}_{2}=2.2 $ ，此时 $t < {t}_{1}, t < {t}_{2}，\mathrm{且}{t}_{1}\ne {t}_{2}$ 。由前文可知，该系统为拓扑绝缘体，其Zigzag拓扑边缘态之间存在带隙，为非厄米系统。图4（a）中， $ \gamma $ 取值分别为 $0.100，0.305，0.500$ ；图4（b）中， $ \gamma $ 取值分别为 $0.050，0.059，0.070$ 。以Zigzag拓扑边缘态为例，分析非厄米效应对拓扑边缘态的影响。如图4所示，由于非厄米效应，体系边缘态能谱出现虚部。随着 $ \gamma $ 取值的增大，能带间隙逐渐减小，直至 $\gamma =0.305$ （Type Ⅰ）或 $ \gamma =0.059 $ （Type Ⅱ）的临界值时，实部能谱带间隙消失，两条Zigzag边缘态能带在中心处兼并为狄拉克点，虚部能谱也逐渐丰富。当 $ \gamma $ 取值继续增大，实部能谱中原有的狄拉克点劈裂为一对奇异点，虚部能谱由于奇异点的出现，呈现出独特环状能谱。

为方便起见，取 $ {t}_{1}={t}_{2}=1.6 > t $ ，即胞间耦合作用大于胞内耦合作用时的场分布情况，来分析非厄米系统对拓扑边缘态场分布的影响，如图5所示。在未施加增益损耗，即 $ \gamma =0 $ 时，体系为厄米系统，选取Armchair边缘态频点，场分布如图5（a）所示。当 $\gamma =1时，$ 体系为非厄米系统，选取同一频点，场分布如图5（b）所示。

通过厄米系统、非厄米系统的拓扑边缘态场分布对比可知，非厄米系统的引入会直接影响拓扑边缘态的场分布，厄米系统下仅有Armchair模式，在非厄米系统下会引入Zigzag模式，场分布呈现两种模式的混合态。

3 结　论

基于Kekulé晶格，在保持胞内耦合 $ t $ 不变的基础上，将胞间耦合分化为垂直方向 $ {t}_{1} $ 和水平方向 $ {t}_{2} $ 两个量，验证了当 $ {t}_{1} < t $ ， $ {t}_{2} < t $ 时，系统为拓扑平庸绝缘体，即普通绝缘体，不存在拓扑边缘态；当 $ {t}_{1} > t $ ， $ {t}_{2} > t $ 时，系统为拓扑非平庸绝缘体，根据交界面的几何形状，其边缘态可划分为Zigzag和Armchair两种模式；当 $ {t}_{1}={t}_{2} > t $ 时，Zigzag边缘态受镜面对称保护，呈现无间隙的狄拉克点，而Armchair拓扑边缘态由于本身所在边界几何不对称，故体系胞间耦合相互作用的调控不会使能带间隙关闭形成狄拉克点。在Kekulé晶格的基础上，利用不同增益损耗（ $\pm {\rm{i}}\gamma$ ）的分布，引入非厄米效应。结果显示：随着 $ \gamma $ 取值的持续增大，系统边缘态能谱会经历能带间隙减小，能带虚部能谱逐渐丰富的过程；当 $ \gamma $ 取值处于某个临界值时，两条拓扑边缘态能带兼并形成狄拉克点；随着 $ \gamma $ 取值进一步增大，狄拉克点劈裂成为一对奇异点。相较于传统的Kekulé晶格拓扑绝缘体的研究，本文增加了胞间耦合调控维度，丰富了非厄米系统下拓扑边缘态的研究内容，为非厄米系统下的拓扑绝缘体研究提供了一些研究思路。