引　言

太赫兹（terahertz, THz）波有着许多独特优势，比如非电离性、透过性强、分辨率高等特点^[1]，在生物检测、安全检查、重金属探测、信息传输^[2-5]等领域都有着巨大的应用潜力，所以研究开发更高强度的可调控的 THz发射源就显得十分重要，于是研究人员对 THz技术进行了广泛而深入的研究。目前产生 THz辐射的方法主要有光整流效应法^[6-7]、光电导天线法^[8-9]、空气等离子体法^[11-13]、电子加速器法^[10]等。相比于其他方法，飞秒激光激发空气等离子体法产生的 THz脉冲强度更高，频谱更宽，并且不会因介质损伤阈值而受限，同时还可以有效降低在 THz辐射长距离传播时的强介质吸收^[14-20]。目前，空气等离子体产生 THz波的研究在泵浦激光强度、激光相对相位、双色激光波长等方面取得了显著的进展。

本文基于双色激光在空气中拉丝产生 THz波的数值模型，在隧穿电离范围内，详细分析了双色激光场产生 THz波的最佳参数组合以及其产生变化的物理机理，以用于得到最强的 THz辐射能量。研究的物理机理是双色激光场组合的电场具有不对称性，其引起的快速振荡有利于电子的加速过程，进而产生更强电子数密度以及在沿拉丝距离上形成了更强的累积净电流。当电子密度和净电流增加时，使得单点 THz辐射更强，拉丝各点辐射的 THz波相干叠加，于是在远场得到了更强的 THz能量。

1 物理模型

随着激光强度的不断加强，激光电场效应逐渐增强，大大超过电子所受原子核的库仑作用，因此当高强度激光与原子或分子相互作用时，会有一系列光学现象产生，比如多光子电离（MPI）、阈上电离（ATI）、隧穿电离（TI）、越垒电离（OBTI）以及高次谐波的产生（HHG）等。首先，介绍一个很重要的绝热参数，它用来确定电离的具体类型，在20世纪 60 年代 Keldysh 在分析强激光场中原子的隧穿电离理论时引入了该参数，所以称为 Keldysh 参数^[21]。它的具体数值表现为隧穿时间与外电场周期之比，或电场频率与电子隧穿频率之比，用 γ 表示。

当电子的隧穿时间大于激光周期时，电子发生隧穿势垒的概率很小，这时 Keldysh 参数 γ＞1，主要的电离类型是多光子电离（MPI）；当激光周期大于电子的隧穿时间时，激光场强度很高但频率很低，此时库仑势会扭曲，势垒被压低，电子会通过隧穿的方式越过势垒并发生电离，即隧穿电离（TI），此时，Keldysh 参数 γ＜1；当激光光强进一步增大，势垒会进一步被压低，并且变窄，激光周期远远大于电子的隧穿时间，电子可以直接越过势垒而成为自由电子，即越垒电离（OTBI），此时 Keldysh 参数 γ $ \ll $ 1^[21]。

探求不同激光脉冲能量激发空气等离子体产生 THz波的变化，通过理论计算，对于脉冲半高全宽FWHM = 30 fs的激光，多光子电离和隧穿电离的临界值大约在10 μJ左右，此时γ ≈ 1。当继续增大激光脉冲能量，发现γ值越来越小，当激光脉冲能量为30 μJ时，γ =0.61，可视作隧穿电离。用 ADK理论^[22-24]处理原子的隧穿电离问题，该模型可表示为

$ {W_{{\text{ADK}}}}(t) = \frac{{{\alpha _{{\text{ADK}}}}}}{{{{[\widehat {{E_l}}(t)]}^{2n - 1}}}}\exp \left[ { - \frac{{{\beta _{{\text{ADK}}}}}}{{\widehat {{E_l}}(t)}}} \right] $

(1)

式中： $ \widehat {{E_l}}(t) = \left| {{E_l}(t)/{E_{\text{a}}}} \right| $ 代表原子单位的电场， ${E_{\text{a}}} = {\kappa ^3}{m^2}{e^5}/{\hbar ^4} \approx 5.14 \cdot {10^{11}}\;{\text{V}}\cdot{{\text{m}}^{ - 1}}$ ； ${\alpha _{{\text{ADK}}}} = {\omega _{{\text{ ion }}}}{\left| {{C_n}} \right|^2}\cdot {\left( {4\sqrt 2 r_{\text{a}}^{3/2}} \right)^{2n - 1}}$ ， $ {\omega _{{\text{ion}}}} = {U_{{\text{ion}}}}/\hbar $ ， $ {r_a} = {U_{{\text{ion}}}}/{U_{\text{a}}} $ 为电离势能， ${U_{\text{a}}} = {\kappa ^2}m{e^4}/{\hbar ^2} \approx 27.2114\;\text{eV}$ ， ${\left| {{C_n}} \right|^2} = {2^{2n}}{\{ n\Gamma (n)\Gamma (n + 1)\} ^{ - 1}}$ ； ${\;\beta _{{\text{ADK}}}} = (4\sqrt 2 /3)r_{\text{a}}^{3/2}$ 。

将激光激发空气产生的拉丝描述为轴对称的几何形状，并基于二维模型来简化结果。首先引入了一个圆柱坐标系，其中z轴是激光光束的传播轴，r轴是径向坐标，坐标原点对应于拉丝的几何中点。

假设双色激光是线偏振的且相互平行，模拟两个激光场，对应于基波场以及倍频激光场。假设激光场为高斯短脉冲，相干叠加的双色激光电场表示为

$ \begin{split} {E}_{l}({t})=&{E}_{1}\mathrm{exp}\left(-\frac{{t}^{2}}{{T}_{1}{}^{2}}\right)\mathrm{cos}(\omega t)+\\& {E}_{2}\mathrm{exp}\left(-\frac{{t}^{2}}{{T}_{2}{}^{2}}\right)\mathrm{cos}(2\omega t{'}+{\theta }_{2}) \end{split} $

(2)

式中：E₁和E₂分别为基频电场和倍频电场的振幅；T₁和T₂分别为基频电场和倍频电场的脉宽；ω和2ω分别为基频脉冲和倍频脉冲的中心波长所对应的角频率；θ₂为基频电场与倍频电场的相对相位。激光空气等离子体的产生过程可用ADK模型描述，时刻t产生的电子密度N_e（t）的数值可表述为

$ {\rm{d}}{N_{\text{e}}}(t) = {W_{{\text{ADK}}}}(t)\left[ {{N_{\text{g}}} - {N_{\text{e}}}(t)} \right]{\rm{d}}t $

(3)

式中N_g为气体介质密度，气体分子被电离后，电子的整体运动在外部激光场的驱动下形成瞬态电流J（t），同时引起THz辐射，J（t）可表述为

$ \frac{{{\rm{d}}J(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{e}{{{m_{\rm{e}}}}}{N_{\text{e}}}(t){E_l}(t) - {\nu _{\rm{e}}}J(t) $

(4)

式中：ν_e为电子碰撞频率；e为元电荷；m_e为电子质量；瞬态电流J（t）与THz辐射的关系为 ${E_{{\rm{THz}}}} \propto {{{\rm{d}}J} \mathord{\left/ {\vphantom {{dJ} {dt}}} \right. } {{\rm{d}}t}}$ ，对dJ/ dt进行傅里叶变换及滤波以获得THz辐射的频域谱，再次进行逆傅里叶变换可获得THz辐射的时域波形。

在远场得到的THz辐射信号可视为光丝各点处产生的瞬态电流辐射出THz信号的相干叠加，忽略光丝各点产生的瞬态电流之间的相互影响。实际上，沿光丝各点产生的THz辐射并不相同，主要原因是激光沿光丝向前传输时，双色激光场之间的相对相位会改变，可描述为

$ {\theta _2}(z) = {\theta _2}\left( {{z_0}} \right) + {k_\omega }\int_{{z_0}}^z {\left[ {{n_\omega }\left( {{z^\prime }} \right) - {n_{2\omega }}\left( {{z^\prime }} \right)} \right]} {\rm{d}}{z^\prime } $

(5)

式中：k_ω为ω的波数；n_ω、n_2ω分别为ω、2ω的折射率。因此，计算远场中的总THz辐射能量，还要考虑光丝各点产生THz波的差异，另外，还要考虑各点辐射THz波的相对相位及其在光丝内传输的衰减效应。假设THz波在光丝内部从P₀（z₀, r₀）传播至P₁（z₁, r₁），其相位的变化可表述为

$ \begin{split} \varphi ({\omega _{{\rm{THz}}}},{p_1}) =& \varphi ({\omega _{{\rm{THz}}}},{p_0}) + \\& \int_{{z_0}}^{{z_1}} {\frac{{{k_{{\rm{THz}}}}{n_{{\rm{THz}}}}({\omega _{{\rm{THz}}}},z,r)}}{{\cos \phi }}} {\rm{d}}z \end{split}$

(6)

式中：k_THz为THz波的波数； ${n_{{\rm{THz}}}}({\omega _{{\rm{THz}}}},z,r) = \sqrt {1 - {{\omega _{\rm{p}}^2(z,r)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega _p^2(z,r)} {\omega _{THz}^2}}} \right. } {\omega _{{\rm{THz}}}^2}}}$ 为THz波在光丝中的折射率； ${\omega _p} = \sqrt {{e^2}{N_{\rm{e}}}/{m_{\rm{e}}}{\varepsilon _0}}$ 为等离子体频率，此处假设光丝中电子密度分布为 ${N_{\rm{e}}}(r)\sim {\cos ^2}\left( {{\text{π}} r/2{r_p}} \right)$ ，r_p为光丝半径。式（6）中 $\cos \phi $ 的产生是因为THz波的波矢不平行于z轴，而是以一个角度 $\phi $ 传播。

通过计算损耗因子来考虑THz信号的衰减，它适用于等离子体频率以上的所有频率, ω_THz＞ω_p^[15]。等离子体中高于等离子体频率的波的特征衰减距离为 ${L_{\text{a}}}\left( {{\omega _{{\text{THz}}}},z,r} \right) \approx 2c\left( {\omega _{{\rm{THz}}}^2 + v_{\rm{e}}^2} \right)/ \left( {\omega _{\text{p}}^2{v_{\rm{e}}}} \right)$ 。 $ D'(z) = D(z)\cos \phi $ 为近轴传播距离 $ D(z) $ 在光轴上的投影，因等离子的屏蔽效应，THz波无法传播振荡频率高于自身频率的等离子体。THz波^[15]在光丝内部的衰减可描述为

$ K({\omega _{{\text{THz}}}},z) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\exp \left[ { \displaystyle \int_0^{D'(z)} { - \dfrac{{D'(z) - z}}{{{L_{\rm{a}}}({\omega _{{\text{THz}}}},z,r)\cos \phi }}} {\rm{d}}z} \right]},\\ \qquad\; {{\omega _{{\text{THz}}}}{\text{≥}} {\omega _{\rm{p}}}} \\ 0,\qquad{{\omega _{{\text{THz}}}} {\text{＜}} {\omega _{\rm{p}}}} \end{array}} \right. $

(7)

综上所述，远场THz $ E_{{\text{THz}}}^{{\text{Far}}} $ 可描述为

$\begin{split} E_{{\text{THz}}}^{{\text{Far}}}({\omega _{{\text{THz}}}}) = & \displaystyle \int_{}^{filament} {E_{{\text{THz}}}}({\omega _{{\text{THz}}}},z)K({\omega _{{\text{THz}}}},z) \times \\ & \exp [{\rm{j}}\varphi ({\omega _{{\text{THz}}}},z)]{\rm{d}}z \\ \end{split} $

(8)

2 仿真结果与讨论

首先，研究了双色场下不同激光光源波长对THz波产生过程的调控作用，其中分别改变两束泵浦光的波长及激光脉冲能量。在隧穿电离机制占主导的范围内，以双色激光拉丝（ω+2ω）为例，不同双色激光脉冲能量比、拉丝长度及半径等因素对仿真结果有影响，在此设初始双色激光脉冲能量为10 μJ，其中基频脉冲λ₁与倍频脉冲λ₂的能量比固定为0.4，拉丝长度为12 mm，拉丝半径为100 µm，环境初始气体密度N_g=1×10¹⁶ cm⁻³，对基频光波长进行调制。当激光脉冲能量为14 μJ时，THz辐射总能量随泵浦光波长变化的模拟计算结果如图1所示，双色激光场下，基频泵浦光波长从800 nm逐渐增加到3000 nm，倍频光从400 nm逐步增加，并小于基频泵浦光，保持泵浦光能量比不变，当两束光比值接近2∶1时，可以得到较强的THz辐射能量。该结果直接证明了双色激光场中更长波长可以增强THz辐射能量。

激光电场快速振荡时，被电离的气体介质会释放电子，电子在后续激光场的驱动下会加速运动，在这个过程中电子整体运动形成瞬态电流，辐射出THz波。当激光脉冲宽度不变时，随着激光波长的增加，气体介质完全电离所需要的激光周期数变少，尤其是当激光波长相当长时，气体介质能够在激光场半个周期内完全发生电离。电子在激光场中整体的加速时间也会增加，电子在相同时间内获得的动能也随之增加，从而形成了强净电流并辐射出强THz波。

接着，分析了单色激光场、不同波长多色光场的电场及光电流情况。当激光波长增加时，电离产生的电子密度随之增加。此时，在拉丝中传播的双色激光之间的相对相位会变化地更快，进而影响初始拉丝中瞬态电流分布情况。初始时瞬态电流峰值位于拉丝中部。随着波长增加，该峰值逐步向拉丝前端移动，整体的THz辐射强度增加。图2分别展示了单色场ω为2000 nm、1000 nm时，双色激光场800 nm、400 nm和2000 nm、1000 nm时的激光电场E，电子密度Ne，瞬态光电流J及THz空间分布。

从图2（a）可以看到，单色场2000 nm和1000 nm电场呈现明显对称性，而双色场2000 nm、1000 nm电场呈现一定的非对称性，并且比双色场800 nm、400 nm时的不对称性更强。在电子密度方面，单色场电离产生电子的密度小于双色场，其中双色场2000 nm、1000 nm得到最强的电子密度。如图2（b）、（c），分析了沿拉丝距离累积光电流及拉丝瞬态最强光电流情况，发现其中双色场2000 nm、1000 nm与800 nm、400 nm相比，2000 nm、1000 nm的波长组合产生了更强的瞬态电流及累积光电流。在这种更强的不规则振荡电场作用下，自由电子的整体漂移速度更大。同时，在激光脉冲峰值处产生了更大的电子密度，激增的自由电子定向累积增加，最终形成非零电子电流浪涌，电流激增越大，THz辐射就越强。另外，本文的理论模型及结论在隧穿电离范围内对于其他双色场波长同样适用。

此外，如图2（d），在THz能量空间分布方面，双色场的能量分布明显强于单色场，并且随着波长的增加，THz辐射所分布的区域在不断增大，并且相同位置处产生的THz辐射的能量更强，整体的THz辐射强度更大。另外，由于等离子体衰减和沿灯丝各点辐射的THz波的远场相干叠加，导致THz波在传播一定距离后（20～35 mm），整体THz辐射呈现正向锥形空间分布。这是因为介质色散的存在，不同频率的光波在色散介质中传播时，这些光波的相对相位会随着传播距离的增加而不断变化，所以必须考虑光源之间相对相位差对THz波产生的影响。在多色激光场形成的激光等离子体中，由于光波各自的折射率不同, 传播速度的差异使它们之间的相对相位不断增大。

这导致瞬态电流的分布发生变化，并且当相对相位增大到一定程度时，拉丝各个位置产生的THz波相位会发生变化，影响THz波之间的相干叠加，从而影响远场THz总的辐射能量。

以泵浦光波长组合为2000 nm、1000 nm，能量比值取0.4为例，分析THz脉冲能量随多色光场之间相位差变化情况。如图3所示，双色场情况下，当θ₂从0到2π变化时，THz波能量呈现周期性变化，同一相对相位，两束光不同能量比变化规律与上文相同，并出现了两个峰值。在θ₂=0.6π及θ₂=1.6π时得到最大值，θ₂=0.7π及θ₂=1.2π时得到次大值，在θ₂=0.1π时得到最小值。

接下来，分析了双色场不同相位差时的激光电场E，电子密度Ne，瞬态光电流J及THz能量远场空间分布，选取THz能量最强时相对相位θ₂=0.6π及最弱时相对相位θ₂=1.1π分析。图4（a）为双色场不同相位差时的激光电场及电子密度变化，可见，相对相位θ₂=0.6π与θ₂=1.1π相比，激光电场非对称性更强，电场振荡更加剧烈，并且所产生的电子密度更大。图4（b）、（c）为不同相位时累积光电流随光丝的变化及最强瞬态光电流，可见，在累积净电流和点源的瞬时最强光电流方面，θ₂= 0.6π时的明显强于θ₂= 1.1π，相对相位θ₂会改变激光电场的对称性，引起的快速振荡有利于电子的加速过程，进而产生更强电子数密度以及在沿拉丝距离形成了更强的累积净电流。当电子密度和净电流增加时，使得单点THz辐射更强，拉丝各点辐射的THz波相干叠加，于是在远场得到了更强的THz波能量。因此，多色激光拉丝的初始相对相位对拉丝的THz辐射能量与THz强度空间分布有重要影响。图4（d）为双色场不同相位差时的THz能量远场空间分布。可见，θ₂= 0.6π与θ₂= 1.1π时相比，THz的分布区域在不断增大，同时相同位置处产生的THz辐射的能量也在增加，整体THz辐射强度增强。

如图4（b）所示，当θ₂=1.1π时，双色激光沿拉丝产生的累积净电流数值由正值向负值变化，拉丝中部的光电流为零，拉丝两端的电流幅值较为接近，但符号相反，光电流的正负关系着THz波的相位，符号相反代表着相位相反，因此，拉丝各点源所辐射的THz波在远场会出现一定程度的相干相消，导致远场THz辐射能量下降。而当θ₂=0.6π时，双色激光拉丝的净电流先增强后减弱，拉丝中部最强，且拉丝各点源的瞬时电流符号为正，而且相较于其他相对相位而言，此时拉丝整体净电流强度较高，导致拉丝各点源的THz辐射在远场叠加时相干性较好，并且整体强度最高，因此可获得最高的THz辐射能量。

3 结　论

本文基于双色激光在空气中拉丝产生THz波的数值模型，详细分析了不同参数双色激光场产生THz波的变化以及其产生变化的物理机理，双色激光场组合的电场具有不对称性，其引起的快速振荡有利于电子的加速过程，进而产生更强电子数密度以及在沿拉丝距离形成了更强的累积净电流。当电子密度和净电流增加时，使得单点THz辐射更强，拉丝各点辐射的THz波相干叠加，于是在远场得到了更强的THz波能量。这些研究结果为不同激光产生条件下增强THz波辐射能量提供了详尽的参数分析及理论依据，重点研究了不同寻常波长组合及不同相对相位对激光拉丝产生太赫兹波的影响，对后续大幅增强THz辐射效率具有重要意义。