引　言

涡旋光束具有螺旋波前相位，其重要特征是会出现相位奇点，这是由于光子携带的轨道角动量（orbital angular momentum, OAM）会使光束相位结构发生改变^[1-2]。拓扑荷数是涡旋光束的重要参量，光束的OAM与拓扑荷数的大小成正比关系。携带OAM的涡旋光束在量子信息编码^[3]、微粒的旋转与操控^[4]、光学超分辨成像^[5]等领域有着很大的潜在应用价值，是当前光学领域的研究热点之一。

将携带OAM的光束应用于光镊系统中，可以使悬浮微粒发生旋转，最近研究者实现了真空捕获微粒的超高速旋转^[6]。除了光波以外，自由空间传播的声波也可以携带相应的OAM，当声波携带有足够大的OAM时，会使悬挂的宏观物体发生旋转^[7]。通过OAM与纳米结构材料发生相互作用，可以诱导长度超过10 μm的银纳米线在电介质表面产生正弦光学力矩^[8]，从而使其在运动过程中获得角加速度。基于OAM的通信系统可以实现高密度数据通信，在自由空间中的数据速率已达到200 Tbit/s^[9]，已有的研究表明其可以用于自由空间和光纤，其工作波长从光波段延伸至毫米波。将携带OAM的光束与光束复制、相位矫正技术相结合，提高其衍射后的条纹清晰度，从而降低了基于OAM通信系统的成本^[10]。将OAM与显微技术相结合，使用螺旋谱分析识别梯度和位错，同时利用傅里叶方法进行图像重建^[11]。

而一般可携带涡旋相位的拉盖尔−高斯光或贝塞尔−高斯光，其拓扑荷数的改变会引起光束亮环半径以及环宽度的变化^[12]，因此削弱了其在图像处理以及光纤传输等方面的应用效率^[13-15]。为了改善这一状况，2013年，Ostrovsky等^[16]首先提出了一种亮环半径与环宽度不依赖于拓扑荷数的完美涡旋光（perfect vortex beam，PVB）概念，并利用空间光调制器产生了PVB，但最初生成的这种PVB由于受到周围次级亮环的影响，导致其光束质量较低。PVB的提出引起了研究者的兴趣，大量的研究工作集中于理想PVB的产生方法。Chen等^[17]借助锥透镜生成了PVB，这种方法大幅降低了外圈次级亮环影响，并实现了对微粒子的操作。Vaity等^[18]基于贝塞尔−高斯函数的傅里叶变换，使用相位掩膜板代替了文献[17]的锥透镜，提升了实验生成光束的质量，并且实现了PVB参数的实时可控。Chen等^[19]用数字微镜设备生成了具有大拓扑电荷的PVB，该方法扩大了PVB在高维量子纠缠、光传输与跨越以及材料处理等的应用范围。赵建林等^[20]巧妙采用Sagnac干涉光路，产生了矢量PVB，其横向光强分布不依赖于偏振度和拓扑荷值，并且该光束在纵向传播空间具有良好的稳定性。2021年，Zhou等^[21]利用电介质TiO₂纳米柱超表面，在可见光范围内，在不同波段产生了参数不同的PVB，并可以灵活操控光束的光强分布形状，打破了光强分布一般为圆对称的限制。2019年，Forbes等^[22]通过理论分析证明了理想PVB是不存在的，拓扑荷数对光强分布的影响不可消除，并指出光环的半径与光环宽度之比越大，其越接近理想PVB。

如上所述，目前针对PVB的研究主要集中于产生方法的优化和改进，对其空间传播特性的研究鲜有报道，而对涡旋光束而言，自由空间的传播特性也是影响其应用价值的重要判断标准^[23-25]。基于此，本文首先研究了实际PVB与理想PVB的吻合程度的影响因素；然后研究了实际PVB的自由空间传播特性，利用衍射理论仿真计算并详细分析了光束初始面的拓扑荷数、光环半径以及光环宽度对其衍射特性的影响，以期研究成果能对PVB的进一步应用提供有益的理论参考。

1 理　论

Ostrovsky等^[17]提出了一种光强分布不依赖于拓扑荷数的理想PVB，其可以表示为

$ PV\left( {r,\theta}\right) \propto {\text{δ}}\left( {r - R} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\theta } \right) $

(1)

式中： $\left( {r,\theta } \right)$ 为初始面极坐标；R为光环半径；l为拓扑荷数。通过傅里叶变换，可以获得其空间频谱为

$ F\left( {\rho ,\phi } \right) \propto {J_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\phi } \right) $

(2)

式中： $\left( {\rho ,\phi } \right)$ 为频谱面极坐标； ${J_l}\left( \cdot \right)$ 为第一类l阶贝塞尔函数； ${k_r}$ 为径向波数。从式（2）可以看到，理想PVB的振幅为理想贝塞尔函数，其函数形式向径向方向无限延展，因此需要无穷大的能量，实际无法实现。为了获得近似PVB，需要在式（2）的基础上增加额外的能量衰减项，通常使用贝塞尔−高斯函数来近似，其可表示为

$ {F_G}\left( {\rho ,\phi } \right) \propto {J_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( { - \frac{{{\rho ^2}}}{{w_g^2}}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\phi } \right) $

(3)

式中， $w_g $ 表示高斯光束的束腰半径，该高斯光束主要是用于制约贝塞尔光束。这样，只要在傅里叶透镜的前焦面利用锥透镜相位分布构造出如式（3）的贝塞尔−高斯光束^[18]，在透镜的后焦面就能获得近似理想的PVB，实验光路图如图1所示。

对式（3）做傅里叶变换，可以获得实际PVB的复振幅分布^[19]

$ u\left( {r,\theta ,z = 0} \right) \propto \exp \left( { - \frac{{{r^2} + {R^2}}}{{{T^2}}}} \right){I_l}\left( {\frac{{2Rr}}{{{T^2}}}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\theta } \right) $

(4)

式中： ${I_l}\left( \cdot \right)$ 为第一类l阶修正贝塞尔函数； $T = 2f/(k{w_g})$ ，f为傅里叶透镜的焦距，k为波数。图2给出了 $R = 3\;{\rm mm}$ ， $T = 0.04\;{\rm{mm}}$ 相同，但拓扑荷数l不同的PVB的光强和相位分布，从图中可以看到，与拉盖尔高斯涡旋光束相比，虽然l从1增大到15，但光环的形状基本保持不变，受l的影响很小。图2（c）、（d）给出了相应的实验光强分布，从图可以看到，与理论计算值相吻合。比较理论计算和实验测量的光强分布可以发现，理论PVB的光强分布完全不受拓扑荷数的影响，但实际光强分布会受到拓扑荷数的影响，拓扑荷数较大时会出现轻微的明暗结构，如图2（d）所示。

一般情况，傍轴光束的自由空间衍射可以使用菲涅尔衍射计算，但由于式（3）、（4）可分离变量，因此本文将利用l阶的汉克变换来计算，以达到简化计算的目的，其可表示为

$\begin{split} & u\left( {r,\theta ,z} \right) = 2 {\text{π}} \exp \left( {{\rm{i}}l\theta } \right)\int {g\left( \rho \right){J_l}\left( {2 {\text{π}}\rho r} \right)}\cdot \\ & \exp \left( {2{\rm{i}} {\text{π}} z\sqrt {{\lambda ^{ - 2}} - {\rho ^2}} } \right)\rho {\rm{d}}\rho \end{split}$

(5)

式中 $ g\left( \rho \right) $ 为式（3）中只与变量 $\rho $ 相关的项，即 $g\left( \rho \right) \propto {J_l}\left( {{k_r}\rho } \right)\exp \left( { - \dfrac{{{\rho ^2}}}{{w_g^2}}} \right)$ 。

2 模拟分析

PVB的复振幅分布可由式（4）表示，但其中含有第一类l阶修正贝塞尔函数 ${I_l}\left( \cdot \right)$ ，因此不易于计算和理论分析。文献[18]通过理论分析指出，当式（4）中 $R/T \gg 1$ 时，式（4）可以近似简化为

$ u\left( {r,\theta ,z = 0} \right) \sim \exp \left( { - \frac{{{{\left( {r - R} \right)}^2}}}{{{T^2}}}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}l\theta } \right) $

(6)

此时PVB的光场振幅分布呈现为高斯函数的形式，T可以视作光环宽度。由于 $R/T$ 越大，近似PVB越接近于理想PVB^[19]，且相比于式（4），式（6）去除了修正贝塞尔函数 ${I_l}\left( \cdot \right)$ ，更易于计算和理论分析，因此被研究者广泛使用。但 $R/T \gg 1$ 这一判断依据较为模糊，因此本文首先对这一问题进行了研究。

图3分别给出了利用式（4）和式（6）计算的PVB光强分布，为了便于比较，这里对最大光强做了归一化处理。从图中可以看到，当 $R/T = $ 5时，相比于式（4）的计算结果，式（6）计算结果的光环中心位置向中心移动，光环宽度较宽。当 $R/T = 15$ 时，两者的计算结果几乎完全重合。

为了讨论这一问题，本文计算了PVB初始面的实际环宽度 ${W_0}$ ，并认为 $ {W_0}/T \to 1 $ 时式（6）有效，可替代式（4）使用。图4给出了 $R = 3\;{\rm mm}$ 不变时，不同PVB的实际环宽度 ${W_0}$ 与T的比值。从图中可以看到，当 $R/T$ 较小时，环的实际宽度 ${W_0}$ 小于T，使用式（6）会高估光环宽度，拓扑荷数l越大，两者之间的差距越明显。随着 $R/T$ 增大， $ {W_0}/T $ 逐渐趋近于1，趋近速度与l成反比。这说明，式（6）的近似条件与拓扑荷数l相关，l值越大，近似条件越苛刻，需要 $R/T$ 的值越大。例如 $l = 7$ 时， $R/T \geqslant 8$ 即可满足近似条件，但当l增大到 $l = 31$ 时，需要满足 $R/T \geqslant 17$ 。

利用式（5）计算参数 $R{\text{ = }}2\;{\rm{mm}}$ ， $T = 0.056\;{\rm{mm}}$ ， $l = 15$ 时，PVB在不同传播距离截面上的径向光强分布，实验结果如图（5）所示。图5（d）由于光斑尺寸太大，超出CCD测量范围，因此只有图5（a）～（c）为实验测量结果，图5（d）为理论计算结果。从图中可以看到，实验结果与理论计算结果基本吻合，当传播距离在菲涅尔衍射区内，随着传播距离的增大，环宽度在逐渐变宽，表现出明显的衍射特征，环中心位置基本保持不变，如图5（a）～（c）所示，因此PVB不具备如贝塞尔光束类似的无衍射特性。随着传播距离进一步增加，光束传播到夫琅禾费衍射区时，光环宽度进一步展宽的同时，峰值位置开始向光轴方向移动，其分布失去高斯函数的形状，逐渐向其频谱的形状，即贝塞尔函数转变，如图5（d）所示。

为了探讨不同参数对PVB光环宽度展宽的影响，图6给出了不同参数的PVB在自由空间传播 $z = 200\;{\rm mm}$ 后环宽度 ${W_z}$ 与初始面环宽度 ${W_0}$ 的比值 ${W_z}/{W_0}$ 。图6（a）给出了 $R = 3\;{\rm mm}$ 保持不变的结果，从图中可以看到，随着T的减小，衍射效应逐渐增强， ${W_z}/{W_0}$ 的比值增大且变化速度越来越快，此时环宽度的增宽几乎不受拓扑荷数l的影响。图6（b）给出了 $T = 0.15\;{\rm mm}$ 保持不变的结果，从图中可以看到，随着R的增大，衍射效应逐渐增强， ${W_z}/{W_0}$ 的比值增大，但变化速度变慢，最后趋于恒定，当R大于一定数值后， ${W_z}/{W_0}$ 几乎不再变化，即环宽度不再随着R的增大而增大。此时光环的展宽速度受到拓扑荷数l的影响，随着R的增大，不同l的光束其环宽度的增宽会逐渐趋同，但变化趋势不同，l越小，其越快趋向于稳定。

图7给出了 $R = 2\;{\rm mm}$ ， $T = 0.056\;{\rm mm}$ 时，不同拓扑荷数l的PVB在自由空间传播不同距离后，相应的 ${W_z}/{W_0}$ 比值，由于传播距离太远光环变形无法很好地定义 ${W_z}$ ，因此z的取值限制在300 mm。从图中可以看到，光环的增宽速度与传播距离几乎呈线性关系，不同拓扑荷数l的曲线几乎重合，说明l对光环宽度随距离的增宽影响很小，只有当l较大时，增宽速度才略微减缓。

3 结　论

本文主要研究了实际PVB的自由空间传播特性，发现近似PVB与理想PVB的接近程度不仅取决于 $R/T$ 值，还受到拓扑荷数的影响，拓扑荷数越大，近似条件越苛刻。通过衍射积分的数值计算发现，PVB不具备如贝塞尔光束类似的无衍射特性，光环宽度会随着衍射距离展宽，并随着衍射距离进一步增大，光环分布形状会逐渐向其空间频谱形式，即贝塞尔函数转变。在菲涅尔衍射区内，当初始面光环半径增大或环宽度减小时，衍射效应都会增强，但其中光环宽度的影响要显著强于光环半径。当初始面光环半径和光环宽度不变时，光环的增宽速度与传播距离几乎呈线性关系，此时拓扑荷数增大会略微减小光环宽度随距离的增宽速度，但影响非常小。