引　言

光纤中的轨道角动量（orbital angular momentum ，OAM）光束，也称为涡旋光束，可以由同一高阶模式的奇模和偶模经过 $\pm \pi /2$ 相位差叠加产生^[1-4]，在微粒操控^[5]、光学度量^[6]和全光通信等^[7]诸多领域都有着广阔的应用前景。基于单模光纤和少模光纤的光纤模式选择耦合器的涡旋光束产生器件，具有结构简单、产生模式纯度高、插入损耗小、制作工艺难度低等优势^[8-10]。目前，实验上实现的OAM模式选择耦合器往往通过熔融拉锥的方式制得^[11-13]，但是对于广泛应用于OAM光纤通信和传感领域的环芯光纤^[14-16]，熔融拉锥技术会破坏耦合区的光纤折射率分布结构，使得OAM模式无法在锥区稳定传输与保持，并在耦合的过程中容易产生模间串扰。在轨道角动量光纤应用系统中，模间串扰值越低，越有利于降低系统的复杂度。因此，目前迫切需要一种高纯度、稳定的光纤OAM模式产生器件，以推动全光纤化轨道角动量光纤应用系统的产业化发展。本文基于复功率匹配的模式匹配法^[17-18]，提出了一种基于双芯光纤耦合器的高纯度涡旋光产生结构。

1 结构设计和仿真原理

本文设计的耦合器结构由标准的单模光纤与一根环芯光纤组成，该结构是先通过研磨法去除光纤包层，再利用折射率匹配胶水将单模光纤与环芯光纤进行拼接来实现。该结构存在两个波导不连续处，分别位于耦合区域的输入端 $z = 0$ 以及输出端 $z = L$ ，耦合区域的光波导的横向结构沿着传播方向不变，如图1所示。将同输入波导（单模光纤）同侧的输出端称为共线输出端，将另一侧（环芯光纤）的输出端称为交叉输出端，波导间距为 ${d_{{\text{sep}}}}$ 。

采用模式匹配法对双芯光纤耦合器的中光场的变化进行仿真模拟。首先，对耦合区入口，即 $ z = 0 $ 位置两侧的光场进行分析。由于光纤中的模式场可以看作其本征模式的线性叠加，则波导结构的横向电场 $ {{E}_{\text{t}}} $ 和波导结构的横向磁场 $ {{H}_{\rm{t}}} $ 可表示如下：

当 $z{\text{＜}} 0$ 时（A区域），

$ {{E}_{\text{t}}} = {{\hat e}_{{{\rm{A}}1}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{\beta _{{\text{A1}}}}z}} + \sum\limits_j {{A_j}{{{\hat e}}_{{{\rm{A}}}j}}{{\rm{e}}^{{\text{i}}{\beta _{{\text{A}}j}}z}}} $

(1)

$\begin{aligned} \;\\{{H}_{\rm{t}}} = {{\hat h}_{{\rm{A}}1}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{\beta _{{\rm{A}}1}}z}} - \sum\limits_j {{A_j}{{{\hat h}}_{{\text{A}}j}}{{\rm{e}}^{{\text{i}}{\beta _{{\rm{A}}j}}z}}} \end{aligned}$

(2)

当 $z {\text{＞}} 0$ 时（B区域），

$ \begin{aligned} \;\\ {{E}_{\text{t}}} = \sum\limits_k {{B_k}{{{\hat e}}_{{\text{B}}k}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{\beta _{{\rm{B}}k}}z}}} \end{aligned}$

(3)

$ {{H}_{\text{t}}} = \sum\limits_k {{B_k}{{{\hat h}}_{{\text{B}}k}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{\beta _{{\rm{B}}k}}z}}} $

(4)

式中： $ {{\hat e}_{{{\rm{A}}}j}} $ 、 $ {{\hat h}_{{\text{A}}j}} $ 、 ${\beta _{{\rm{A}}j}}$ 和 $ {{\hat e}_{{\text{B}}k}} $ 、 $ {{\hat h}_{{\text{B}}k}} $ 、 ${\beta _{{\rm{B}}k}}$ 分别为A区域和B区域的横向电场模式分量、横向磁场模式分量、传播常数； $ {A_j} $ 和 $ {B_k} $ 分别为透射系数和反射系数。根据在输入端和耦合区交界面的电磁场连续性条件，可得

$ {{\hat e}_{{\text{A1}}}}{ + }\sum\limits_{j} {{{A}_{j}}{{{\hat e}}_{{\text{A}}j}}{ = }\sum\limits_{k} {{{B}_{k}}{{{\hat e}}_{{\text{B}}k}}} } $

(5)

$ {{\hat h}_{{\text{A1}}}} - \sum\limits_{j} {{{A}_{j}}{{{\hat h}}_{{\text{A}}j}}{ = }\sum\limits_{k} {{{B}_{k}}{{{\hat h}}_{{\text{B}}k}}} } $

(6)

根据光纤中各模式间的正交关系，可得

$ \begin{split} \left\langle {{{{\hat e}}_j}{,\hat h}_k^*} \right\rangle =&\frac{{{\beta _j}}}{{2\omega \mu }}\int_{\text{0}}^\infty {\int_{\text{0}}^{2{\text{π}}} {r\left( {{{{\hat e}}_j} \cdot {\hat e}_k^*} \right){\text{d}}\varphi {\rm{d}}r} } + \\ &\frac{{\text{i}}}{{2\omega \mu }}\int_{\text{0}}^\infty {\int_{\text{0}}^{2{\text{π}}} {r\left( {{{{\hat e}}_j} \cdot \nabla } \right)\hat e_{k}^*{\text{d}}\varphi {\rm{d}}r} } \end{split}$

(7)

式中： $ {{\hat e}_j} $ 为光纤 $j$ 阶本征电场模式； $ {\hat h}_k^* $ 为光纤 $k$ 阶本征共轭磁场模式； $ {{\beta _j}} $ 为传播常数； $ \omega $ 为角频率； $ \mu $ 为介质磁导率； $ r $ 和 $ \varphi $ 分别为柱坐标系下的角向和径向坐标； ${\hat e}_{{k}}^{\text{*}}$ 为输入的电场模式的共轭横向分量。

当 $j = k$ 时，式（7）代表光纤中 $j$ 阶模式的复功率，在弱导近似条件下，后一项的大小可以忽略。但是，对于OAM光纤，往往具有较大的纤芯包层折射率比，采用电场匹配模式的匹配法会导致得到的结果不精确，因此本文采用复功率的匹配法。将式（5）和式（6）的左右分别与A区域光纤 $i$ 阶磁场模式的共轭横向分量 ${\hat h}_{{\text{A}}i}^*$ 和A区域光纤 $i$ 阶电场模式的共轭横向分量 ${\hat e}_{{\text{A}}i}^*$ 作外积，并利用正交关系可得：

$ \sum\limits_k {{B_k}{X_{ik}}} {\text{ = }}2{\delta _{i{\text{1}}}}\left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A1}}}}{,\hat h}_{{\text{A1}}}^*} \right\rangle $

(8)

$ \sum\limits_k {{B_k}{Y_{ik}}} {\text{ = }}2{A_i}\left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A}}i}}{,\hat h}_{{\text{A}}i}^*} \right\rangle $

(9)

式（8）中的 ${\delta }_{i\text{1}}\text{=1}{\text{或}}\text{0} {\text{（}}i=\text{1}{\text{或}}i\ne \text{1}{\text{）}}$ ，且有：

$ {X_{ik}} = \left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{B}}k}}{,\hat h}_{{\text{A}}i}^*} \right\rangle + \left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A}}i}}{,\hat h}_{{\text{B}}k}^*} \right\rangle $

(10)

$ {Y_{ik}} = \left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{B}}k}}{,\hat h}_{{\text{A}}i}^*} \right\rangle - \left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A}}i}}{,\hat h}_{{\text{B}}k}^*} \right\rangle $

(11)

因此，可以根据式（8）和式（9）分别求得 $ {A_j} $ 和 $ {B_k} $ 。一般情况下，OAM光束的稳定传输需要高折射率对比的光纤，而泄漏模能量主要存在于低折射率层（包层或者空气中），且强度呈指数级衰减。为了便于研究，假设构成耦合器的两根波导都是无损的，且反向耦合效应很弱，即反射系数 $ {A_j} $ 为0。依次对光纤耦合器输入端 $z = 0$ 以及输出端 $z = L$ 进行模式匹配法分析，以求得光场在耦合器中的耦合变化规律。此外，定义输出端各模式的耦合效率如下：

$ \eta = \frac{{{P_k}}}{{{P_{\text{1}}}}}{\text{ = }}\frac{{\left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A}}k}}{,\hat h}_{{\text{A}}k}^*} \right\rangle }}{{\left\langle {{{{\hat e}}_{{\text{A1}}}}{,\hat h}_{{\text{A1}}}^{\text{*}}} \right\rangle }} $

(12)

式中： ${P_{\text{1}}}$ 为输入光功率； ${P_k}$ 为 $k$ 阶输出模式光功率。

采用模式匹配法分析波导回路时，不需要将波导结构划分成大量的计算网格。对于具有相同横向结构的波导结构，透射光场可以用矩阵表示，而不考虑其纵向长度。可以从整体上了解器件，得到输入与输出的关系，避免了不必要的运算。通过离散切向场分量的归一化条件，结合模式匹配法匹配不连续处的切向模场分量，可以连续求解整个器件传播过程中任意位置光束模场的变化。在整个计算过程中，主要研究波导不连续处的模式场变化，不涉及与偏振和耦合强度相关的假设，完全适用于OAM光纤耦合器的设计。

2 结果和分析

假设输入光波长为1.55 µm，设计目标为：当左旋/右旋圆偏振的基模光束（ ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}/{\text{OAM}}_{0,1}^{ - 1}$ ）输入单模光纤时，分别能够在输出端得到 ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}/ $ $ {\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式，其中上标代表OAM模式的自旋量子数，±1分别对应光束的左旋和右旋偏振态，下标分别代表携带的拓扑电荷数和径向阶数。为了减少光纤系统的复杂度，一般仅使用径向阶数为一的模式，即在设计的过程中保证高阶径向模式截止。

光纤中各模式的有效折射率代表光纤结构对光场的束缚能力，当两根光纤的纤芯间距较小时，具有相同或相近有效折射率的光束的能量会在单模光纤和环芯光纤中发生周期性转移。根据相位匹配原理，是否满足相位匹配条件决定了两根光纤中不同模式间是否能够发生耦合以及耦合过程中最大的能量耦合比。定义光束能量首次从单模光纤完全耦合至环芯光纤所需的最短距离为最佳耦合长度。当传输距离为0时，单模光纤输入端注入圆偏振态基模；当传输距离等于最佳耦合长度的1/2时，光能量逐渐从单模光纤中的基模转移到环芯光纤中满足相位匹配条件的模式；当传输长度等于最佳耦合长度时，光能量完全从单模光纤中的基模转换为环芯光纤中的某一高阶模式，以达到OAM模式产生的目的。由于光纤中的OAM模式和高阶矢量模式具有相同的传播常数，为了在交叉端获得高纯度的OAM模式输出，只需保证环芯光纤中的特定高阶矢量模式和单模光纤中的基模的有效折射率相同，即控制特定模式在耦合区发生耦合作用，同时抑制其他模式的产生。

为了实现上述过程，先固定单模光纤的结构参数，然后通过匹配环芯光纤的归一化频率，利用COMSOL软件对其进行仿真，得到单模光纤中基模转换为环芯光纤中的 ${\text{H}}{{\text{E}}_{2.1}}$ 模式的相位匹配条件，如图2所示。

仿真中采用的单模光纤的纤芯和包层折射率分别为1.448和1.444，纤芯和包层直径分别为8.2 µm和125 µm，经过有限元法仿真可得基模的有效折射率为1.4453。为了保证耦合器的稳定性，选择实心的环芯光纤结构，其光纤参数如下：纤芯和包层的折射率分别为 ${n_1} = 1.453$ 和 ${n_2} = 1.444$ ， ${r_1}$ 和 ${r_2}$ 分别为环芯内外半径，内外径比为 $\;\rho = {r_1}/{r_2} = 0.55$ ，归一化频率 ${v_0} = {k_0}{r_2}\sqrt {n_1^2 - n_2^2}$ ，其中 ${k_0} = 2\pi / \lambda$ 为波数， $\lambda $ 代表真空中的波长。进一步，可以通过叠加式 $ {\text{OAM}}_{ \pm 1,1}^{ \pm 1} = {\text{HE}}_{2,1}^{\text{e}} \pm {\text{iHE}}_{2,1}^{\text{o}} $ 获得环芯光纤中的一阶OAM模式^[3]，上标 ${\text{o}}$ 和 ${\text{e}}$ 分别代表光纤奇偶本征模式，模场和相位的叠加过程如图3所示，图中白色箭头代表偏振方向。

假设输入为左旋圆偏振态的基模，即 ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}$ 模式，波导间距 ${d_{{\text{sep}}}} = $ 16 µm，交叉端各模式的耦合效率如图4所示。从图4可以看出，单模光纤中的基模和环芯光纤中的 ${\text{H}}{{\text{E}}_{2,1}}$ 模式满足相位匹配条件，因此单模光纤中的基模能量主要会向环芯光纤中的一阶OAM模式耦合。但是，由于二阶模式组内各矢量模式的传播常数相差很小，因而在耦合的过程中会同时激发出 ${\text{T}}{{\text{E}}_{0,1}}$ 和 ${\text{T}}{{\text{M}}_{0,1}}$ 模式，从而导致产生的OAM模式纯度下降。此外，在理想状态下，光纤中携带相反拓扑电荷数的同阶OAM模式的传播常数相同，但是，由于耦合区存在两个纤芯会导致双折射效应，因此交叉端的大部分输出能量会在 ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}$ 和 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 之间震荡。例如，在耦合长度等于30 cm的位置处，交叉端输出的 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式的耦合效率可达90%，大部分注入的左旋光转换成右旋光输出。

轨道角动量光束最重要的参数之一是模式纯度^[19]，即表示具有拓扑电荷数 $l$ 的OAM模式的归一化功率权重（ ${P_l}$ ）。为了阐明光场分布 $u\left( {r,\varphi ,z} \right)$ 的OAM含量或螺旋谱，必须将其投影到螺旋谐波 $\exp \left( {{\text{i}}l\varphi } \right)$ 中。因此，可以将光场分布表示为

$ u\left( {r,\varphi ,z} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}}} }}\sum\limits_{l = - \infty }^{ \infty } {{a_l}\left( {r,z} \right)\exp \left( {{\text{i}}l\varphi } \right)} $

(13)

式中：

$ {a_l} = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}}} }}\int_0^{2{\text{π}}} {u\left( {r,\varphi ,z} \right)\exp \left( { - {\text{i}}l\varphi } \right){\text{d}}\varphi } $

(14)

相应光束携带的能量可以写成

$ U = 2{\varepsilon _0}\sum\limits_{l = - \infty }^\infty {{C_l}} $

(15)

式中：

$ {C_l} = \int_0^\infty {\left| {{a_l}\left( {r,z} \right)} \right|r{\rm{d}}r} $

(16)

在傍轴近似条件下，光束任意场分布中某一拓扑电荷数的螺旋谐波的模式纯度 $ {P_l} $ 和模间耦合串扰 $ {C_T} $ 的关系可表示为

$ {P_l} = \frac{{{C_l}}}{{\displaystyle\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{C_n}} }}{\text{ = }}1 - {C_T} $

(17)

式中n为任意整数。为了能够在耦合器的输出端获得较高纯度的OAM模式，同时能保证模态可控，通过改变波导间距 ${d_{{\text{sep}}}}$ 来控制耦合效应强弱。当注入光为 ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}$ 模式时，经仿真计算可得： ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}$ 模式在不同纤芯间距下的交叉端的耦合情况，如图5（a）所示；不同纤芯间距的情况下，交叉输出端的最大耦合效率及模间串扰如图5（b）所示。

事实上，当波导间距逐渐减小时，交叉输出端的模式 ${\text{OAM}}_{{\text{ + }}1,1}^{{\text{ + }}1}$ 和 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 间的能量震荡周期会逐渐减小，且震荡的规律性逐渐消失，寄生的 ${\text{T}}{{\text{E}}_{0,1}}$ 和 ${\text{T}}{{\text{M}}_{0,1}}$ 模式能量会逐渐增大。这是由于随着波导间距减小，单模光纤和环芯光纤中的模式能量相互影响，导致两根光纤中的模式完整性被破坏。这表明，为了在输出端得到较高模式纯度的OAM模式，必须合理设置两根纤芯波导之间的间距，调控双芯的耦合强度，降低模间串扰。此外，由于在合成公式上仅相差一个±号，当仅输入右旋偏振态的基模时，其耦合变化规律和左旋偏振光输入类似。

由图5可以看出，增大波导间距可以优化输出的模式纯度，降低模间串扰，但同时也会增大耦合器纵向尺寸。在综合考虑耦合器尺寸以及耦合器性能后，设置波导间距为 ${d_{{\text{sep}}}} = 21$ µm。当耦合长度为30.8 cm时， ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}$ 模式在交叉输出端有最大耦合效率，为99.1%，相应的串扰值为−20.8 dB。最后，计算了耦合过程中 $x - z$ 截面中光场的变化及不同耦合长度的条件下输出光场和相位分布图，如图6所示。从相位分布图中也可以看出，在不同耦合长度输出时，该耦合器都能保证较高的耦合模式纯度。

为了更好地模拟耦合器输出的光场进入自由空间后的变化，分别计算了单模光纤中输入 ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}/{\text{OAM}}_{0,1}^{ - 1}$ 模式时的光场分布情况。当耦合长度为30.8 cm时，交叉输出端输出的光束和沿 $x$ 轴偏振的光纤基模的远场干涉图像，如图7所示。光纤出射的远场分布 $ {\phi _{{\text{FFP}}}} $ 计算公式如下^[20]：

$\begin{split} {\phi _{{\text{FFP}}}}\left( {x,y,z} \right) \approx & \frac{{{\text{i}}{k_0}n}}{{2{\text{π}}z}}\exp \left( { - {\text{i}}{k_0}nz} \right)\iint {{\phi _{{\text{NEP}}}}\left( {{x_0},{y_0},0} \right){\text{•}}}\\ & {\left( {1 - \frac{{{R^2}}}{{2{z^2}}}} \right)\exp \left( { - {\text{i}}{k_0}\frac{R}{{2z}}} \right){\text{d}}{x_0}{\text{d}}{y_0}} \end{split}$

(18)

式中： $n$ 为自由空间的有效折射率； $ {\phi _{{\text{NEP}}}} $ 为光纤输出端近场光场分布； $R = \sqrt {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_0}} \right)}^2}} $ 为欧氏距离。假设沿 $x$ 轴偏振的光纤基模在自由空间中传播的距离为1000 µm，耦合器输出的光场在自由空间中的传播距离为2000 µm，此时耦合器交叉端输出光场的远场干涉图如图7所示。

根据图7可以发现，当 ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}/ $ $ {\text{OAM}}_{0,1}^{ - 1}$ 基模输入时，交叉输出端得到的光场分别为高纯度的 ${\text{OAM}}_{{\text{ + }}1,1}^{{\text{ + }}1}$ 和 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式，图中单螺旋条纹对应一阶拓扑电荷数，其顺/逆时针旋向分别对应左旋和右旋。由于模式叠加的对称性，在耦合区中 ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}$ 与 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式拥有完全一致的耦合曲线。由此说明，当输入光为右旋圆偏振基模光束时，在输出端会获得高纯度的 ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式。

3 结　论

本文基于模式匹配法提出了一种基于双芯光纤耦合器的高纯度涡旋光束产生结构，在单模光纤输入端输入 ${\text{OAM}}_{0,1}^{ + 1}/{\text{OAM}}_{0,1}^{ - 1}$ 基模光束时，能在环芯光纤输出端得到高纯度的 ${\text{OAM}}_{ + 1,1}^{ + 1}$ / ${\text{OAM}}_{ - 1,1}^{ - 1}$ 模式。当采用能够承载更高阶模式的光纤时，这种方法还可以被推广至更高阶的OAM模式的产生。由于双芯光纤耦合器结构保证了耦合区中OAM模式的完整性，因此这种全光纤式的OAM模式产生方案在轨道角动量模分复用系统和传感系统中具有广阔的应用前景。