引　言

Pound-Drever-Hall（PDH）技术是一项用于改善现有激光器频率稳定性的技术，它利用反射光束的相位信息产生误差信号，通常用于激光稳频。它可以通过将光腔锁定在频率稳定的激光器上来测量腔长的微小的变化^[1-2]，这对引力波探测很重要。引力波探测器光学参考腔的精度一般都很高，其精度要达到10⁻²¹ m。在实际实验室中（如LIGO）存在地震噪声、电子噪声等环境扰动，入射至光学参考腔的激光频率会使腔长发生微小的变化^[3]，进而光腔的共振频率会发生抖动，使得PDH稳频系统锁定之后激光的频率不稳定。因此，PDH技术不但可以来测量光腔的长度微小变化，也可以用来稳定激光器的频率^[1-2]。

PDH技术由于其动态范围较小，控制回路只有在偏离工作点很小的范围内才能稳定，当受环境震动影响过大时，误差信号会变得非线性，PDH稳频系统将失去锁定。针对上述缺点，有不少团队进行了研究^[4-5]，如Hassen等演示了使用线性二次高斯控制（LQG）法来锁定光腔^[6-7]；Schütte等对此进行实验证明，证明了LQG方法的稳健性，这在一定程度上拓宽了PDH技术的动态范围，有利于PDH稳频系统的锁定捕获，但算法较为繁琐^[8]；Miyoki等提出了执行近Q相位解调的解决方案，但降低了PDH误差信号的灵敏度^[9]。

本文以PDH技术为基础，建立了一个简单直观、抗干扰强的反馈控制系统，新定义了PDH误差信号方程，并结合卡尔曼滤波器估计了反射镜的状态。相比于以往的工作，该方法的模型更为简单直观。通过仿真可知，本文的方法可以使PDH稳频系统在更宽的动态范围内更快实现锁定，这会对改进引力波探测器中锁相反馈控制提供新的启发。

1 传统PDH稳频系统的基本原理

传统的PDH技术的装置图如图1所示。该装置是通过将光腔锁定到一个超稳的激光器上实现稳长。工作原理是：以光腔的共振频率为基准频率，对激光频率进行相位调制后，可以在激光频率两侧产生对称分布在激光载波两侧、幅度相等但相位相反的两个边带^[10]；将这三个不同频率的光入射到光腔，用光电探测器（PD）可以分别检测光腔的反射功率 $ {P}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}} $ 和透射功率 $ {P}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}} $ ；将反射功率与信号发生器发出的正弦信号经混频器混频，提取低频分量，得到一个低频信号，一般称其为误差信号；该误差信号在一定范围内与反射镜的位移成正比，能用该信号去负反馈，从而补偿反射镜的位移。

2 新PDH稳频系统的建模 2.1 新PDH稳频系统

对于传统的PDH技术，一般检测在光腔出射端进行。本文中，我们还考虑了在光腔入射端处对透射功率 $ {P}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}} $ 的检测，并增加了一个状态估计器，以估计出射端反射镜的状态，将其反馈到光腔腔体。图2显示了新PDH稳频系统的基本框架，主要由机械和探测子系统、状态估计器和伺服反馈组成。

此外结合实际物理意义，本文所涉及的各项通用的参数设计如表1所示。

2.2 机械和探测子系统的设计

我们主要需要控制的是反射镜的位移。为了对整个光腔进行建模，根据分离原理^[11]，我们将所提出的新PDH稳频系统分为两个子系统：机械子系统和探测子系统。机械子系统包括反射镜及控制其位移的压电陶瓷（PZT）。探测子系统包括光腔腔体和适当的探测器。机械和探测子系统装置如图3所示。其中，噪声 ${n}_{\mathrm{g}}$ 表示地面运动引起的反射镜位移噪声， $ {n}_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}} $ 和 ${n}_{{P}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}}$ 分别为误差信号和透射端的电路噪声。

2.2.1 机械子系统

对于PDH稳频系统来说，反射镜的位移通常使用压电陶瓷来控制。这里我们用一个四阶谐振系统模型来模拟用于驱动反射镜之一的压电陶瓷。其传递函数为

$ G\left(s\right)=\frac{7.5\times {10}^{7}}{{s}^{2}+600s+9 \times {10}^{9}}+ \frac{3\times {10}^{8}}{{s}^{2}+600s+3.5 \times {10}^{10}} $

(1)

式中：G(s)为四阶谐振系统的输出量与输入量经拉普拉斯变换后的函数；s为复参数。该模型中包含了两个约为15 kHz和30 kHz的高阶谐振频率。

2.2.2 探测子系统

如图1所示，来自激光器的光束由电光调制器（EOM）调制。电光调制器调制产生两个频率为 $({\omega }_{0}\pm \mathrm{\varOmega} )/2\pi$ 的一阶边带，其中 ${\omega }_{0}/2\pi$ 是载波频率， $\mathrm{\varOmega} /2\pi$ 是调制频率。当相位调制边带通过谐振腔时，误差信号与载波谐振产生的信号具有相反的符号。此时，可以从载波和边带之间的拍频信号中提取（与反射镜位移成正比的）出相位信息。反射功率 $ P{D}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}} $ 的同相解调导致以下（ $ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} $ 正交）误差信号，即

$\begin{split} {\varepsilon }_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}=& 2\sqrt{\left\{{P}_{0}{P}_{s}\right\}}\mathrm{I}\mathrm{m}\left[{r}_{\rm c}\left({\omega }_{0}\right){r}_{\rm c}^{*}\left({\omega }_{0}+\varOmega \right)-\right.\\ &\left. {r}_{\rm c}^{*}\left({\omega }_{0}\right){r}_{\rm c}\left({\omega }_{0}+\varOmega \right)\right] \end{split}$

(2)

式中： $ {P}_{0} $ 为载波功率； ${P}_{s}$ 为边带功率；Im为虚部； $ {\omega }_{0} $ 为载波角频率； $\mathrm{\varOmega }$ 为调制角频率； ${r}_{\rm c}$ 为腔反射率。 ${r}_{\rm c}$ 可表示为

$ {r}_{\rm c}\left(\omega \right)\equiv -{r}_{1}+\frac{{t}_{1}^{2}{r}_{2}{\rm e}^{2{\rm i}\omega \left(L+x\right)/c}}{1-{r}_{1}{r}_{2}{\rm e}^{2{\rm i}\omega \left(L+x\right)/c}} $

(3)

式中： $ {r}_{1} $ 、 $ {r}_{2} $ 、 $ {t}_{1} $ 分别为入射端反射镜和出射端反射镜的振幅反射率以及出射端反射镜的透射率； $ L $ 为腔体长度（等于波长的整数）； $ \omega $ 为激光角频率； $ x $ 为用微观偏移量表示的镜面位移；c为光速 $3\times10^8\;{\rm m m}/{\rm s}$ 。

光腔透射端处测量的透射功率为

$ \begin{split} {P}_{\rm trans}=&{P}_{0}{\left|{t}_{\rm c}\left({\omega }_{0}\right)\right|}^{2}+{P}_{s}{\left|{t}_{\rm c}\left({\omega }_{0}+\mathrm{\varOmega }\right)\right|}^{2}+\\ &{P}_{s}{\left|{t}_{\rm c}\left({\omega }_{0}-\mathrm{\varOmega }\right)\right|}^{2} \end{split}$

(4)

式中： ${n}_{\rm trans}$ 是噪声项； ${t}_{\rm c}$ 为腔透射率。 ${t}_{\rm c}$ 可表示为

$ {t}_{\rm c}\left(\omega \right)=\frac{{t}_{1}{t}_{2}{\rm e}^{2{\rm i}\omega \left(L+x\right)/c}}{1-{r}_{1}{r}_{2}{\rm e}^{2{\rm i}\omega \left(L+x\right)/c}} $

(5)

式中： $ {t}_{2} $ 为出射端反射镜的振幅透射率。

2.3 新定义的PDH误差信号

在实际PDH系统中，通常以光腔腔体的反射功率作为判断激光频率是否达到共振的方向。光腔的谐振发生时，反射功率达到最小值。传统的PDH系统的线性动态范围很窄，光腔附近的PDH误差信号变化很快，这给PDH稳频系统的锁定捕获带来了很大的挑战。为此，本文提出了一种扩大线性动态范围的方法，将透射功率 ${P}_{\rm trans}$ 除以传统的PDH误差信号 ${\varepsilon }_{\rm PDH}$ 以获得一个新PDH误差信号，即

$ y=\frac{{\varepsilon }_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}}{{P}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}} $

(6)

图4所示的是传统PDH误差信号与新误差信号随反射镜偏移量的变化的比较以及在不同反射镜偏移量下的透射功率。图中可以看出新方法不仅扩展了PDH稳频系统的线性范围，也改善了系统的高度非线性情况。后者在实际应用中，尤其在存在噪声和大干扰的环境下尤具优势。

2.4 反射镜的状态估计

在新PDH稳频系统中，由于除法，当透射端光强接近于零的时候，其电路噪声被显著放大，使系统十分容易受到噪声影响，因此减小噪声的影响十分必要。一个被广泛使用的适用于从有噪声的测量中进行估计的工具是卡尔曼滤波器。卡尔曼滤波器的算法主要分为两步：预测和更新^[12-15]。此外，使用卡尔曼滤波器作为状态估计器，也可增强系统的抗干扰能力。

2.5 噪声时域模型

传统PDH误差信号中的散粒噪声可表示为

$ \begin{split} {S}_{\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}=&\frac{\mathrm{\hslash }{\mathrm{\omega }}_{0}{{P}}_{\mathrm{s}}}{2}{\left|{{r}}_{\mathrm{c}}\left({\mathrm{\omega }}_{0}+\mathrm{\varOmega }\right)+{{r}}_{\mathrm{c}}\left({\mathrm{\omega }}_{0}-\mathrm{\varOmega }\right)\right|}^{2}+\\ &\mathrm{\hslash }{\mathrm{\omega }}_{0}{{P}}_{0}{\left|{{r}}_{\mathrm{c}}{\mathrm{\omega }}_{0}\right|}^{2} \end{split} $

(7)

式中： $ {P}_{\mathrm{s}} $ 为边带功率； $ \mathrm{\hslash } $ 为约化普朗克常数。

在本文的模型中，主要考虑了两个主要部分的噪声：过程噪声和测量噪声。其中，过程噪声主要来自地面运动，测量噪声包括常规误差信号中的散粒噪声、透射功率中的散粒噪声。我们将测量噪声与光波长进行归一化，则 ${V}_{\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{H}}\approx $ $ {10}^{-7},\;{V}_{\mathrm{n}\mathrm{P}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}\approx {10}^{-2}$ 。

2.6 控制反馈系统设计

对于传统的PDH系统，若系统受到强扰动使其远离线性工作区，锁定获取会完全失控。因此，控制反馈系统的设计尤为重要。这里，我们考虑了基于LQG的一种改进的方法：利用卡尔曼滤波器估计光腔反射镜的状态，并寻求合适的控制律。具体是PDH误差信号通过状态估计器再经反馈放大器，随后反馈给出射端反射镜，从而确定了新PDH系统的模型。

3 仿真结果

在引力波探测器中，PDH技术主要用于降低100 Hz以内的地震噪声、环境噪声以及空气扰动带来的谐振腔长度变化。因此，本模型主要是在100 Hz以内的低频线性范围内进行研究。图5为基于新定义的PDH误差信号的稳频系统的Simulink仿真模型，主要包括：用四阶谐振系统表示的PZT模型、基于新PDH误差信号观测光腔反射镜状态的光腔模型和一个恒定大小为20的负反馈增益。其中，光腔的参数如表1所示，其频率响应模型可以看成是一个低通滤波器，截止频率约为240 kHz，在0～100 Hz范围内的增益等于PDH误差信号在零点位置的斜率，大小恒定。另外，PZT在100 Hz以内的频率响应也可近似认为大小恒定，故整个PDH稳频系统回路的频率特性主要由伺服反馈系统决定。在实际中，伺服反馈系统的频率特性近似为一个一阶低通滤波器，其截止频率一般为1～10 kHz。

为了验证新的PDH误差信号的稳定性，我们在时间t=0时，施加一个冲击力，以使反射镜在x=0时远离共振。本文的仿真主要分为两个方案：（1）对传统PDH误差信号使用卡尔曼滤波；（2）对新的PDH误差信号使用卡尔曼滤波。

图6和7分别显示了在闭环控制时，传统PDH误差信号经卡尔曼滤波和新PDH误差信号分别经卡尔曼滤波来估计出射端反射镜位置的两种方案的模拟结果，同时也分别展示了对应的反馈信号。比较图6（a）与图7（a），可以看出用传统的PDH误差信号进行卡尔曼滤波器估计时，系统只能在很窄的线性范围内准确地预测反射镜的位置，其动态范围仅为0.002 $ \lambda $ 。而使用基于新PDH误差信号经卡尔曼滤波器估计时，可以将反射镜估计位置的扩展到±0.1 $ \lambda $ 的范围，系统的动态范围扩大了约50倍。

此外，我们针对两种不同方案设置了不同的过程噪声（来自地面噪声）和测量噪声值（来自测量PDH和透射功率的测量噪声），并讨论了不同模型的噪声容限。噪声容限的大小取决于能使得PDH稳频系统稳定的极限情况。表2总结了两种方案的动态范围，以及其过程噪声 ${Q}_{\rm k}$ 和测量噪声 ${R}_{\rm k}$ 的噪声容限。

从图7中可以看出，当PDH稳频系统重新锁定之后，反馈信号的波动幅度超过10%，这是由于我们在模型中引入了很高的地震噪声。因此，采用新PDH控制方案的噪声容限 ${Q}_{\rm k}$ 远高于传统PDH方案。对于足够高的信号频率，散粒噪声是主要的噪声来源。散粒噪声的功率谱密度为 ${P}_{\mathrm{e}}=\dfrac{2hc}{\lambda }\left(2{P}_{\mathrm{s}}\right)$ ，其中h为普朗克常数， $ {P}_{\mathrm{s}} $ 、 $ \lambda $ 的值参考表1。再将 ${P}_{\rm e}$ 做归一化处理，除以一个因数 $ {\lambda }^{2} $ ，可以得到归一化的 ${P}_{\rm e}$ 值约为 $ 3\times {10}^{-8} $ 。该噪声容限的大小符合表2中 $ {R}_{\mathrm{k}} $ 的数量级设定，参考该值，可以验证本文的设定值符合实际系统标准。

4 结　论

为了解决传统PDH稳频系统线性动态范围过小和噪声容限的问题，本文提出了一种拓展PDH稳频系统的动态范围的方法。将传统的PDH误差信号除以透射功率得到新的PDH误差信号以增加线性动态范围。基于传统PDH稳频系统、卡尔曼滤波器以及控制技术的基本原理，通过对比传统PDH系统和新的PDH系统的特点，我们搭建了新的PDH稳频系统的基本模型。结合卡尔曼滤波器对未知变量的估算能力，对PDH稳频系统使用卡尔曼滤波器作为状态估计器，来估计光腔反射镜的状态，包括光腔反射镜的位置和动量。并将卡尔曼滤波分别应用于传统的PDH误差信号和新的PDH误差信号中，从而可以说明新的PDH误差信号的方法可以显著增加PDH稳频系统的线性动态范围。此外，这种方法可以使得PDH稳频系统的动态范围扩大50倍，并在系统受到较大扰动而失去锁定时，实现系统自动锁定，同时也提高了新的PDH误差信号的噪声容限。本文的研究主要在线性控制部分，针对非线性估计器的选择以及非线性系统的控制也将是未来研究的一个重点。