引　言

在激光惯性约束聚变实验中，随着激光装置的驱动能量大幅提升，内爆减速阶段靶丸内界面的流体力学稳定性急剧增长，热斑形状快速演化，内爆减速阶段的持续时间仅数百皮秒，靶丸尺寸约100 μm，高分辨的X射线Kirkpatrick-Baez（KB）显微成像系统主要用于内爆减速阶段的靶丸内界面形貌和热斑中高阶不对称性诊断^[1-3]。在我国神光系列强激光装置中，急需开展高分辨X射线KB显微镜的研究，实现200 μm视场范围内空间分辨率优于5 μm，中心视场空间分辨率突破2 μm。

传统的球面KB显微成像系统具有优良的空间分辨率、较高的集光效率以及大物距等优点，在ICF实验装置中得到了广泛的应用^[4-6]。21世纪初，在美国的OMEGA装置上，KB显微镜被用于诊断实验，可实现200 μm视场范围内5 μm的空间分辨率^[7]。2016年，在美国的NIF装置上首次利用KB显微镜获得了内爆靶的成像结果，在300 μm的视场范围内其空间分辨率优于8 μm^[8]。我国的神光系列主机装置上同样利用KB显微成像系统对内爆热斑成像 进行研究，2017年，我国为神光III主机装置研制了八通道KB显微镜系统，该系统网格静态成像标定实验中有效视场300 μm，全场成像分辨率可达6 μm，中心视场空间分辨率为2～3 μm^[9]。传统的KB显微镜受球面镜面形影响，其轴上点球差无法消除，成为影响中心视场分辨率的重要因素。为扩大传统KB显微镜的视场范围并且提其高空间分辨率，在20世纪90年代，日本的Kodama等提出的基于非球面镜的AKB构型，采用四块非球面反射镜，在子午和弧矢两个方向上均采用双曲柱面和椭圆柱面组合的双镜结构，有效矫正了传统球面KB显微镜的球差和场曲等缺陷，该系统被应用于GEKKO-XII激光装置上，并针对ICF内爆实验的靶形态成像，在800 μm的视场范围内空间分辨率可达3 μm，但由于在AKB构型中，X射线经过四次反射后反射效率大幅降低，严重影响X射线探测器信号接收质量。除此之外，AKB构型中四块非球面反射镜的加工以及装调难度极大，这些缺点使得AKB显微成像系统并未在后续的大型激光装置中得到广泛应用。

综上，结合传统KB显微镜与AKB显微镜的优点，本文提出了一种基于非球面反射镜的KB显微成像系统，利用椭圆柱面镜代替传统KB显微镜中圆柱面镜消除轴上点球差，提高中心视场空间分辨率，同时能够保证该系统的X射线反射率以及装调的便捷性。并给出了非球面KB显微镜的垂轴像差公式，分析了各光学结构参数对空间分辨率的影响，提出了一组适用于我国强激光装置的非球面KB显微镜光学结构参数，并开展成像实验。

1 非球面KB显微镜光学设计 1.1 非球面KB显微镜光学结构

传统KB显微系统是在1948年由Kirkpatrick和Baez两位科学家提出的，它采用如图1所示的两块球面（或圆柱面）反射镜正交放置的结构，该结构可实现对X射线的二维聚焦成像，通过连续反射，消除了单块球面反射镜成像存在的严重像散^[10]。

基于传统KB显微镜的构型，非球面KB显微镜是指利用二次曲面代替球面对X射线进行聚焦成像，例如椭圆柱面、双曲柱面、抛物面等。利用椭圆柱面反射镜代替圆柱面反射镜对X射线成像，可形成一个完善的像斑。如图2所示，物像点分别位于椭圆的左右两个焦点F₁和F₂，中心光线经过镜面中点M，根据费马原理，忽略衍射的影响，在中心视场可以形成消球差的理想成像，因此在F₁周围的一部分视场区域可获得超高分辨率。

与球面不同的是，在同一椭圆面上，不同的位置会划分出不同的镜面形状，因此定义镜面中心到x轴的距离为h，则在椭圆方程和h确定的情况下，可以确定反射镜唯一的面形。

椭圆的方程为 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ ，其中 $a$ 为半长轴， $b$ 为半短轴。在 $\Delta {{{F}}_1}{{M}}{{{F}}_2}$ 中 $\left| {{{{F}}_1}{{M}}} \right| = {u_0}$ ， $\left| {{{{F}}_2}{{M}}} \right| = M{u_0}$ ， $\left| {{{{F}}_1}{{{F}}_2}} \right| = 2c$ ，其中 ${u_0}$ 是物距， $M{u_0}$ 是像距， $c$ 是椭圆焦距。根据椭圆几何性质， $\left| {{{{F}}_1}{{M}}} \right| + \left| {{{{F}}_2}{{M}}} \right| = 2a$ ，则根据物像关系计算出椭圆的半长轴为

$a = \dfrac{{{u_0}}}{2}(1 + M)$

(1)

根据余弦定理

$\cos {\theta _1} = \dfrac{{{{\left| {{{{F}}_1}{{M}}} \right|}^2}{{ + }}{{\left| {{{{F}}_2}{{M}}} \right|}^2} - {{\left| {{{{F}}_1}{{{F}}_2}} \right|}^2}}}{{2\left| {{{{F}}_1}{{M}}} \right|\left| {{{{F}}_2}{{M}}} \right|}}$

(2)

其中 ${\theta _1}{\rm{ = 18}}{{\rm{0}}^ \circ } - 2{\theta _0}$ ， ${\theta _0}$ 为掠入射角，代入式（2）化简得

$c = \frac{{{u_0}}}{2}\sqrt {{M^2} + 2M\cos 2{\theta _0} + 1} $

(3)

在椭圆中 ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ ，代入式（1）和式（3）得椭圆半短轴

$b = \frac{{{u_0}}}{2}\sqrt {2(1 - \cos 2{\theta _0})M} $

(4)

根据三角形面积公式 $\dfrac{1}{2}\left| {{{{F}}_1}{{{F}}_2}} \right|h = \dfrac{1}{2}\left| {{{{F}}_1}{{M}}} \right|\left| {{{{F}}_2}{{M}}} \right|$ ，计算出

$h = \frac{{M{u_0}\sin 2{\theta _0}}}{{\sqrt {{M^2} + 2M\cos 2{\theta _0} + 1} }}$

(5)

以上计算过程中可分析出，在物距、放大倍数、掠入射角以及有效镜长确定的情况下可以确定唯一的反射镜面形参数。在光学设计过程中，需考虑上述参数对空间分辨率的影响，进一步确定非球面KB显微镜的光学结构。

1.2 非球面KB显微镜光学结构参数设计

针对我国强激光装置实验需求，通过光线追迹的方式模拟了物距、掠入射角、有效镜长和放大倍率四个光学结构参数的变化对空间分辨率的影响，得到的结果如图3所示。其中三个光学结构参数与系统的集光立体角有关。集光立体角公式为

$S = {d^2}{\left(\frac{{\sin {\theta _0}}}{{{u_0}}} \right)^2}$

(6)

如图3（a）所示，当物距在150～300 mm范围内变化时，增大物距有利于提高空间分辨率，同时可以减小打靶溅射物对成像系统的损伤，但是增大物距会使集光立体角大幅减小。如图3（b）所示，当掠入射角在0.6°～1.5°范围内变化时，掠入射角越大空间分辨率越高，同时集光立体角也越大，但是掠入射角增大使得后续反射镜薄膜设计难度增大，导致系统X射线反射率降低。如图3（c）所示，当反射镜有效镜长在5～15 mm范围内变化时，镜长越小，空间分辨率越高，但是镜长越小，集光立体角越小。如图3（d）所示，放大倍数对成像质量影响不大。可见空间分辨率与集光立体角在一定程度上是相互制约的关系。

综合考虑上述因素，优化得到一组与我国强激光装置相配套的非球面KB显微镜光学结构参数，如表1所示，系统的几何集光立体角为1.3×10⁻⁶sr。

2 垂轴像差分析

为研究非球面KB显微成像系统的空间分辨率，理论上，我们需计算该系统的垂轴像差。与传统KB显微镜相同，非球面KB显微镜在计算垂轴像差时，可近似计算单个较大光焦度反射镜方向^[11]。

如图4所示，椭圆左焦点F₁发出的中心光线经过镜面中心最终成像在像面I₀，轴外任意一点Q的视场角为 ${\sigma }$ ，物距 $u' = {u_0}/\cos \sigma $ ，经过 $ Q $ 点的主光线和边缘光线相交于像平面 ${{I}}'$ 的 $P $ 点上 $\left|PM\right|=v'$ 。P点对应的轴向像差

$\Delta v = v' - v$

(7)

式中： $v'$ 为Q点的理想像距； $v$ 为沿主光线到像面I₀的距离，其表达式为

$\begin{aligned} \;\\ v = \frac{{M{u_0}}}{{\cos \sigma }} \end{aligned}$

(8)

垂轴像差Y为 $\Delta v$ 在像平面上的投影，即

$Y = (v' - v)({\eta _{\rm{B}}} + {\eta _{\rm{C}}})$

(9)

式中 ${\eta }_{{\rm{B}}}$ 和 ${\eta }_{{\rm{C}}}$ 为像方集光角。为了方便计算，将镜面分成BM和CM两部分进行讨论。

在 $\Delta {{QBM}}$ 和 $\Delta {{PBM}}$ 中，根据正弦定理，满足

$\left\{ \begin{array}{l} u'{\xi _{\rm{B}}} = \dfrac{d}{2}({\theta _0} + \sigma + {\xi _{\rm{B}}}) \\ v'{\eta _{\rm{B}}} = \dfrac{d}{2}({\theta _0} + \sigma - {\eta _{\rm{B}}}) \\ \end{array} \right.$

(10)

式中： $d$ 反射镜有效镜长； ${\xi _{\rm{B}}} $ 和 ${\xi _{\rm{C}}} $ 为半孔径角。再根据反射定律，孔径角 ${\xi _{\rm{B}}}$ 和集光角 ${\eta _{\rm{B}}}$ 满足关系

${\xi _{\rm{B}}}{\rm{ + }}{\eta _{\rm{B}}} = 2{\alpha _{\rm{B}}}$

(11)

式中 ${\alpha _{\rm{B}}}$ 为曲面BM的法向矢量夹角，联立式（10）、（11）得

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{aligned} v' =& d(u'{\theta _0} + u'\sigma - 2u'{\alpha _{\rm{B}}} + d{\alpha _{\rm{B}}})/ \\ &(4u'{\alpha _{\rm{B}}} - 2d{\alpha _{\rm{B}}} - d{\theta _0} - d\sigma ){\rm{ }} \end{aligned} \\ {\eta _{\rm{B}}} = (4u'{\alpha _{\rm{B}}} - 2d{\alpha _{\rm{B}}} - d{\theta _0} - d\sigma )/(2u' - d) \\ {\alpha _{\rm{B}}} = d(M + 1)({\theta _0} + \sigma )/(4M{u_0} + d(1 - M)) \\ \end{array} \right.$

(12)

B点对应的垂轴像差 ${Y_1} = \Delta v{\eta _{\rm{B}}}$ ，将式（7）、（8）、（12）代入得

$ \begin{split} &{Y_1} = \dfrac{{{u_0}d}}{{2{u_0} - d\cos \sigma }}\left[ { - \dfrac{{4M{u_0}{\alpha _{\rm{B}}}}}{{d\cos \sigma }} + (2M - 2){\alpha _{\rm{B}}} +} \right. \\ &\left.{(M + 1)({\theta _0} + \sigma ) + \dfrac{{d{\alpha _{\rm{B}}}}}{{u'}}} \right]\end{split}$

(13)

因为 ${u_0} \gg d$ ， $M \gg 1$ ， $\cos \sigma \approx 1$ ，式（13） $\dfrac{{d{\alpha _{\rm{B}}}}}{{u'}}$ 可以省略，化简得

${Y_1} = \frac{d}{2}\left[ { - \frac{{4M{u_0}{\alpha _{\rm{B}}}}}{d} + (2M - 2){\alpha _{\rm{B}}} + (M + 1)({\theta _0} + \sigma )} \right]$

(14)

同理，可以计算出曲面CM对应的垂轴像差

${Y_2} = \frac{d}{2}\left[ { - \frac{{4M{u_0}{\alpha _{\rm{C}}}}}{d} - (2M - 2){\alpha _{\rm{C}}} + (M + 1)({\theta _0} + \sigma )} \right]$

(15)

将式（14）与式（15）相加得非球面KB显微镜的垂轴像差Y为

$ \begin{split} &Y = d\left[ { - \frac{{2M{u_0}}}{d}({\alpha _{\rm{B}}} + {\alpha _{\rm{C}}}) +}\right.\\ &\left.{(M - 1)({\alpha _{\rm{B}}} - {\alpha _{\rm{C}}}) + (M + 1)({\theta _0} + \sigma )} \right]\end{split}$

(16)

非球面KB显微镜的物方空间分辨率为

$ \begin{split} &{\delta _{{\rm{geo}}}} = \dfrac{Y}{M} = \dfrac{d}{M}\left[ { - \dfrac{{2M{u_0}}}{d}({\alpha _{\rm{B}}} + {\alpha _{\rm{C}}}) + (M - 1)({\alpha _{\rm{B}}} - {\alpha _{\rm{C}}}) +}\right. \\ &\left.{(M + 1)({\theta _0} + \sigma )} \right]\end{split}$

(17)

在上式中，光学结构确定的情况下， ${\alpha }_{\rm{B}}$ 和 ${\alpha }_{\rm{C}}$ 均为常数，将1.2中光学结构参数代入式（17），计算结果如图5所示，理论上该非球面KB显微成像系统轴上点的像差为零，达到消球差的效果，在±25 μm中心视场小范围内可以得到优于1 μm的空间分辨率，随着视场的增大，轴外点像差成线性增大，200 μm视场范围内空间分辨率优于5 μm。将理论计算与光线追迹结果对比，两种方法得到的空间分辨率曲线一致性良好，可以验证非球面KB显微系统的垂轴像差分析的正确性。

3 非球面KB显微镜成像实验

在实验室内开展了非球面KB显微镜的网格背光成像实验，采用Fe靶X射线管（能量6.4 keV）作为背光源。为了在6.4 keV能点下X射线经过反射镜有较高的反射率，我们采用磁控溅射法在反射镜表面镀制W/Si周期多层膜，周期厚度为4.8 nm，反射率曲线如图6所示，中心角度带宽约为0.08°，系统反射率可达31%。

实验中我们对2000目金网格进行背光成像，网格中心距12.5 μm，肋宽6 μm。我们通过一个X-Y-Z三维电控位移台控制网格的移动和定位，重复定位精度优于1 μm。同时将KB显微镜装配体安装在一个紧凑型的六维电控调节台上，实现对空间全自由度的精密调控，位移精度为5 μm，角度控制精度在0.001°，后端用于图像采集的是一台高分辨率的X射线闪烁体CCD 相机（Photonic Science XDI-50, 像素尺寸约为6.45 μm）。

通过反复试验寻找最佳物点，图7（a）所示为2000目金网格在30 kV工作电压和18 mA工作电流下，曝光45 min得到的图像。图中可见网格中心附近成像较为清晰，随视场偏离而逐渐模糊。显示照明区域大小被镀制的多层膜角度带宽限制，该系统仅针对200 μm左右的视场范围内清晰成像，超出该视场范围内的像面接收到的X射线能量迅速下降。

在图像处理软件ImagePro中，读取图7（a）一条沿水平方向光强分布曲线如图7（b）所示，横坐标表示物方视场大小。由于网格周期为12.5 μm，所以200 μm视场范围内可以得到16个亮暗变化的周期，选取一个周期的一侧强度变化函数按照“10%～90%”标准计算空间分辨率，即统计出光强分布从10%变化到90%所对应的物方距离就是物方空间分辨率标准。计算结果如图8所示，±25 μm中心视场范围内的空间分辨率优于2 μm，±100 μm视场范围内空间分辨率优于5 μm，实测空间分辨率走势与光线追迹模拟结果一致。基于目前系统的放大倍率，成像分辨率受CCD像素大小的限制，基于目前的方法无法评价优于1 μm的物方分辨率。后续实验中可以采用更小像素的高精度CCD探测器，或者改进空间分辨率的评价方式，来进一步提升分辨率评价的准确度。

4 结　论

非球面KB显微镜与传统球面KB显微镜相比可以消除球差，理论上，轴上点可以完善成像，在中心视场得到接近衍射极限的空间分辨率。本文从光学结构设计和成像实验两方面对非球面KB显微镜成像性能进行了研究，在50 μm左右中心视场范围内，其空间分辨率优于2 μm，实现了超高分辨，在200 μm的视场范围内，空间分辨率优于5 μm，集光立体角为 $ 1.3\times {10}^{-6} $ sr，符合我国强激光装置的需求。随着我国惯性约束聚变研究的不断深入，非球面KB显微镜有望在实际装置应用中表现出其特有的优势。