引　言

商用镜头一般由高精密的透镜精确组装而成，这使得它们体积大且价格昂贵，限制了它们的应用并阻碍了它们集成到紧凑且成本有限的系统中^[1]。在可见光范围内，具有高数值孔径（NA）的单平面透镜由于其在成像、显微镜和光谱学中存在的潜在应用，因而具有较大的市场需求。尽管目前可以通过衍射光学元件实现可见光的平面透镜，但是由于它们组成结构的尺寸为波长尺度，无法获得精确的相位轮廓，因此不能同时实现高NA和高效率^[2]。传统的曲面折射透镜虽然可以同时实现高效率和高NA的聚焦，但需要经过复杂设计的多片透镜的精确组装才能实现。这种方式实现的镜头结构笨重，设计复杂，加工成本高，安装困难且无法实现平面化^[3]。近年来，随着微纳加工技术的发展，人工设计的亚波长微纳结构阵列广泛用于操纵光的波前，并展示了传统光学元件无法实现的功能，如平面透镜、亚波长贝塞尔光束生成器、涡旋板、偏振控制板和全息板等^[4]。

平面超透镜通过在界面处设计双曲面相位分布，将垂直入射的光聚焦在设计焦距处，且在垂直（即正常）照明下聚焦光没有像差。但是，对不平行于光轴的入射，会产生轴外像差，无法实现衍射极限聚焦^[5]。对于传统的单透镜而言，其同样不能实现在不同入射角时的衍射极限聚焦，通过添加多个透镜可以解决该问题。这种方法提供了更大的自由度来校正像差，能够使传统镜头实现接近或达到衍射极限聚焦。然而，该解决办法与传统的镜片制造技术相结合，导致了商用镜头庞大的组成部件^[6]。超表面作为一种在平面上将亚波长结构图案化的器件，通过设计亚波长微纳结构改变局部入射光束的幅度、偏振和相位，可以在更加紧凑的情况下，实现各种光学装置的功能^[7]。光学系统在更加集成化和小型化的情况下，研究如何能够实现良好的成像质量是一项具有重要意义的工作。平面超透镜为这一项工作提供了一种新的方法和途径。

对平面超透镜在斜入射的情况下进行焦斑质量分析，有助于对斜入射时平面超透镜的像差进行分析和矫正，进一步实现平面超透镜斜入射下的衍射极限聚焦^[8]。目前，对于传统透镜在斜入射时的像差研究已经有很多，但是对于平面超透镜在斜入射时的像差分析很少。光学调制传递函数（MTF）能够很好地反映系统的成像分辨率，比较全面地表征了系统的成像质量。因此，光学调制传递函数非常适合用来在斜入射时，对平面超透镜的成像质量进行评价。

1 原　理

曲面透镜平面化的关键在于将曲面透镜在径向由于厚度变化产生的相位梯度进行平面化^[9]。根据广义斯涅尔定律，通过控制界面上的相位梯度，可以对出射光的角度进行任意的调控，这为设计平面高斯聚焦透镜提供了理论基础^[10]。如图1所示，为设计平面超透镜在垂直入射时，将入射光进行高斯聚焦，平面超透镜界面相位轮廓推导示意图。

如图1所示，当平面光入射时，在平面上构建一个径向相位梯度，使平面波转换为焦距为f的目标球面波前。假设超透镜所在平面任何一点位置坐标为 $P\left( {x,y} \right)$ ，则 $P\left( {x,y} \right)$ 到目标球面波前的距离L为

$ L = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {f^2}} - f $

(1)

假设点P的目标相位分布为 $\varphi \left( {x,y} \right)$ ，则点P的相位 $\varphi \left( {x,y} \right)$ 与从P点传播至等相位面的累积相位，两者之和应该保持恒定。我们假设这一恒定值为2π，即

$ \varphi \left( {x,y} \right) + \frac{{2\text{π} }}{\lambda }\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {f^2}} - f} \right) = 2\text{π} $

(2)

其中超透镜任意半径r表示为

$ r=\sqrt{{x^2} + {y^2}} $

(3)

即

$ \varphi \left( {x,y} \right) = 2\text{π} - \frac{{2\text{π} }}{\lambda }\left( {\sqrt {{r^2} + {f^2}} - f} \right) $

(4)

式(4)是平面高斯聚焦透镜的相位轮廓，在得到高斯聚焦透镜的相位轮廓之后，我们利用几何相位实现亚波长精度相位轮廓的构建。本文采用矩形纳米天线柱来产生几何相位，每一个矩形纳米天线对圆偏振光的作用类似于一个半波片，能够将入射的右/左旋圆偏振光转换为左/右旋圆偏振光，并在正交极化偏振态产生两倍于旋转角度相移。对于构建式(4)的平面高斯聚焦透镜的相位轮廓，位于平面超透镜所在平面上任何一点 $ \left( {x,y} \right) $ 处，矩形纳米天线柱的旋转角度 $\theta \left( {x,y} \right)$ 可以表示为

$ \theta \left( {x,y} \right) = \text{π} - \frac{{2\text{π} }}{\lambda }\left( {\sqrt {{r^2} + {f^2}} - f} \right) $

(5)

本文的平面超透镜是基于波长640 nm设计的，超透镜材料为硅，附着在石英基底上。为了使平面超透镜在设计波长处具有最大的聚焦效率，我们需要对各向异性矩形纳米天线柱的三围尺寸进行针对性优化，使其在设计波长处具有最大的偏振转换效率，将更多的入射光能量进行会聚。以入射左旋圆偏振光为例，我们将单个矩形纳米天线柱的偏振转换效率定义为：出射右旋圆偏振光强度/入射左旋圆偏振光强度。针对设计波长640 nm，利用FDTD数值仿真软件进行优化，最终使单个矩形纳米天线柱在设计波长640 nm处，具有最大偏振转换效率的三围尺寸为：长(L)195 nm，宽(W)95 nm，高(H)380 nm以及周期(S)265 nm，此结构在640 nm具有最大的偏振转换效率。单元结构的三维示意图，旋转角度和偏振转换效率如图2所示。

如图2(a)为矩形纳米天线位于石英基底上的三维结构示意图；(b)为矩形纳米天线在三维尺寸优化后的偏振转换效率曲线，在设计波长640 nm处偏振转换效率可达75%以上；(c)为在超透镜平面上，任意一点 $(x,y) $ 处，矩形纳米天线旋转角度示意图。将优化后的天线单元在石英基底上进行排列，以构建亚波长精度的高斯聚焦透镜的相位轮廓。当圆偏振入射光垂直入射到石英基底上时，出射光被调制为完美的球面波前进行高斯会聚，仅仅衍射光受限，没有几何像差。但是，当入射光以斜入射照明时，将会引入轴外像差，如图3所示.

当光线斜入射进入基底时光线发生折射，然后，到达平面超透镜，受超透镜上相位分布的调制，斜入射光线被引向焦平面。通过应用广义折射定律和相位梯度的局部值，我们可以找到每条光线经过超透镜后的出射角度。如图3所示，边缘光线和主光线之间的光程差(OPD)可以通过图中L₁，L₂线段的光程和与该点处超透镜相位分布的等效光路的光程总和减去L₃线段的光程来计算。对于焦距为f的超透镜，将该光程差展开为和赛得和像差系数对应的形式如下^[11]

$ OPD = - \frac{1}{{4f}}{r^2}{\theta ^2} - \frac{5}{{4f}}{r^2}{\theta ^2} - \frac{1}{{4{f^2}}}{r^3}\theta + {\text{高阶项}} $

(6)

式中：θ是斜入射角度；r是超透镜孔径半径。式(6)第一项为匹兹伐场曲；第二项为像散；第三项是彗差。值得注意的是，即使在斜入射时，平面超透镜也不存在球差和图像畸变，这里我们只针对设计波长考虑单色像差，色差不在考虑范围内。

2 仿真分析

为了分析这些轴外像差将给超透镜的光斑质量和成像带来的影响，本文通过数值软件FDTD进行数值仿真。为了节约计算机资源，本文仿真了一个直径D为10 μm，焦距f为8.5 μm，数值孔径NA为0.507，工作波长为640 nm的平面超透镜。由显微物镜极限分辨率公式

$ \delta = \frac{{0.61\lambda }}{{NA}} $

(7)

可知，该超透镜的极限分辨率为0.77 μm，则特征频率为：1 mm/0.77 μm=1 300 lp/mm。在使用FDTD软件进行仿真时，波长为640 nm的圆偏振平面波向Z轴正向传播，垂直入射到石英基底上，分别在Z=f的XY平面和Y=0的XZ平面记录平面超透镜的光场分布，然后，通过扫描圆偏振平面波的入射角度，得到在不同入射角度时平面超透镜的光场分布，仿真结果分别如图4和图5所示。进一步地，根据不同入射角度时平面超透镜的焦斑分布计算此时的MTF曲线，计算结果如图6所示。

如图4所示，图（a）、（b）、（c）、（d）分别为垂直入射以及入射光偏离X轴10°、20°、30°以及垂直入射时，在Z=8.5 μm处，XY平面的光场分布。从仿真结果可以得知，在入射光垂直入射时，平面超透镜能够将入射光进行良好的会聚，焦点质量非常好。随着斜入射角度的增加，焦点尺寸开始增大，焦斑开始变形，形变大小与斜入射角度成正比。

如图5所示，图（a）、（b）、（c）、（d）分别为垂直入射以及入射光偏离X轴10°、20°、30°以及垂直入射时，在Y=0处，XZ平面的光场分布。从仿真结果可以得知，在入射光垂直入射时，平面超透镜能够将入射光会聚在光轴上，光斑质量良好，形状对称。随着斜入射角度的增加，光斑开始偏离光轴，光斑质量下降开始变形，偏离程度与形变大小与斜入射角度成正比。

为了量化斜入射角度对平面超透镜成像质量的影响，本文利用FDTD软件计算了相应的MTF曲线。如图6所示，分别为入射光偏离X轴10°、20°、30°以及垂直入射时，平面超透镜焦平面光斑分布的MTF曲线。调制传递函数比较综合地反映了系统的成像质量。由图6可以看出，在垂直入射时系统的分辨率达到了衍射极限1 300 lp/mm，当斜入射角度增大时，系统的MTF曲线整体急剧下降，极限分辨率也急剧下降。当斜入射角度增大到30°时，系统的极限分辨率下降到500 lp/mm左右。这是因为，当光线斜入射时，系统存在较大的轴外像差：彗差、像散和场曲。并且这些像差都是斜入射角度θ或者θ²的函数，使得在大视场时，系统分辨率快速下降。当然这些轴外像差也是孔径r的函数，大孔径超透镜在轴外照明时会存在更大的轴外像差。

3 结　论

本文设计了一种在垂直照明下可实现衍射极限聚焦的平面超透镜。利用波相差理论分析了在斜入射照明时系统存在的几种初级像差，通过数值仿真软件FDTD计算了入射光以不同角度入射到平面超透镜时光斑质量的变化。计算了不同斜入射角度下系统的MTF曲线；进一步分析了斜入射照明时，MTF曲线下降的原因。这一成果对平面超透镜的进一步设计优化具有一定指导意义，对平面超透镜实现轴外照明下的衍射极限聚焦有一定参考价值，但本文没有给出如何矫正超透镜的轴外像差，这是今后需要进行的工作。