引　言

超表面由亚波长的周期性谐振单元组成，具有自然界材料所不具备的超凡电磁特性^[1-3]，可以灵活地调控透射或者反射的电磁波的偏振、相位和振幅^[4-7]。相比于通过光传播路径实现相位逐渐累积的传统光学装置^[8]，超表面器件可以实现电磁波在介质和自由空间交界面上的相位突变^[9]。超表面原理一般分为两类：一类是基于天线共振调制，另一类是基于几何相位（Pancharatnam–Berry phase）^[10-12]。前者依赖于设计精细的几何天线形状尺寸来获得预期的散射相位延迟。例如，具有设计不同臂长和开口角度的V形天线可以为正交的线偏振光提供相位梯度来验证广义的反射和折射定律^[13]。基于后者设计的各向异性“基元”一般是具有相同的几何尺寸，但是每个单元结构的空间旋转角度不尽相同。每个单元结构看作是各向异性“基元”，每个“基元”可以旋转一定的角度使得入射的某一种手性圆偏振光转换成相反手性的圆偏振光并且同时附带相位变化^[14]。由于利用几何相位调制相位具有灵活、简便等特征，因此近年来利用几何相位设计新颖的超表面功能器件成为研究的热点和话题。Huang等根据基本几何相位原理和全息光谱算法设计并实现了宽带内手型相关的复用全息^[15]；Zhang等灵活地结合P-B相位设计了透射式的表面等离子超表面，实现了宽带内3D涡旋光束的聚焦^[16]；北京大学与量子物质协同创新中心的Wang等设计了由Si材料组成的透射式几何相位超表面，该超表面用于实现两种手型不同的圆偏振光的分束^[17]；Chen等根据几何相位设计出手性相关的单焦点聚焦超表面透镜^[18]和多焦点超表面透镜^[19]。同时基于手性相关的多焦点超表面透镜的设计思路，研究人员延伸设计出单一超表面来实现多功能的器件。例如，Wen等设计出单个超表面在左旋圆偏振光入射时实现全息成像，同时在右旋圆偏振光入射时实现透镜聚焦的双功能超表面器件^[20]；Zhang等设计出新颖的单一超表面结构，其可以根据不同手性圆偏振光入射分别产生全息成像和涡旋光束^[21]。

由于常见的由金属设计的单层超表面结构本身存在很强的欧姆损耗^[22]，所以在实际的应用中就会受到限制，因此在利用几何相位设计超表面实现不同功能的同时，对于组成超表面结构的高效率材料也有了许多有意义的研究。例如：Khorasaninejad等使用TiO₂材料设计出在可见光频段内实现高效的超表面聚焦和成像^[23]；Zhang等则在太赫兹波段内使用高阻值硅设计出根据入射光的不同偏振状态实现偏振相关的超表面器件^[24]。这些相关介质材料超表面的研究和进展拓展了超表面的实际应用范围和工程实现的可行性。

通过以上介绍我们了解到几何相位在相位调控上具有宽带响应特性、设计简单、相位容差性好等优点，同时可以结合介质材料设计来提高效率。这些利用几何相位设计的超表面都是局限于手性圆偏振光，而目前对于几何相位调控的线偏振聚焦的研究和讨论还没有被报道。因此本文设计出基于基本几何相位原理使用全介质高阻值硅材料设计出在太赫兹波段的线偏振聚焦超表面。

1 基于几何相位的超表面实现线偏振聚焦的物理模型 1.1 几何相位和旋转角的关系

1956年科学家Pancharatnam在研究电磁波偏振转化过程中发现不同的转化路径会引入一个额外的相位^[10]。Pancharatnam发现，几何相位本身就是庞加莱球^[25]上某一点沿着不同路径达到另外一点时，由于路径不同引入额外的相位差。因此，在光学领域我们将该相位称为Pancharatnam–Berry相位（P-B相位）。当不同圆偏振入射到两介质之间的界面上引入突变相位，我们可以通过费马原理重新定义广义的Snell’s公式^[26]：

${n_{\rm{t}}}\sin {\theta _{\rm{t}}} - {n_{\rm i}}\sin {\theta _{\rm{i}}} = \frac{{{\lambda _0}}}{{2{\text{π}} }}\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}x}} = \sigma \frac{{{\lambda _0}}}{{2{\text{π}} }}\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}x}}$

(2)

式中：dϕ为天线结构沿着某一个方向的梯度变化值；λ₀为入射光的波长；n_t为投射介质的折射率；n_i为入射介质的折射率；θ_i、θ_t分别为入射角与折射角；σ为1或−1,1代表左旋圆偏振光，−1代表右旋圆偏振光。如图1表示的是异常折射的现象：当左旋圆偏振入射时，出射的右旋圆偏振出现异常折射如图1（a）；当右旋圆偏振入射时，出射的左旋圆偏振出现异常折射如图1（b）。如图2（a）所示，在超表面上的每个各向异性“基元”看作是偶极子光天线结构。图2（b）所示为这些微结构在圆偏振光入射的情况下转换手性的圆偏振光会产生ϕ=±2θ的相位变化，其中θ是每个“基元”的旋转角度。

1.2 线偏振聚焦的物理模型

在1.1节中的描述可以知道，若两介质间的界面处相位间断点的相位梯度为一个可人为设计的常数，那么折射光束就能实现光束波前的任意操控。但是这种几何相位的调控存在手性的限制，即相位的设计只能针对于一种圆偏振手性光设计。比如针对于右旋圆偏振设计的超透镜是聚焦的，那么当左旋圆偏振入射时就会散焦。为此我们希望打破这种手性的限制，设计出基于几何相位调控原理实现针对于线偏振光聚焦的超表面。先利用琼斯矩阵^[27]推导建立线偏振聚焦的物理模型：入射的THz的线偏振光看成是由手性相反的两种圆偏振光的叠加，即写成

${{{E}}_{{\rm{in}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i} } \end{array}} \right]} \right)$

(2)

其中 ${{{E}}_{{\rm{LCP}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm{i}} \end{array}} \right]$ ， ${{{E}}_{{\rm{RCP}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {{\rm{ - i}}} \end{array}} \right]$ 。

为了实现线偏振聚焦的功能，第一步先针对左旋圆偏振光附加聚焦相位，记为 $\varphi $ ₁（右旋圆偏振光为散焦，记为− $\varphi $ ₁），其中 ${\varphi _1} = {\kappa _0}\sqrt {{x^2} + {y^2} + {f^2}} - $ $\left| f \right| $ ， $f$ 表示设计的焦距，波矢 ${\kappa _0} = {{2{\text{π}} }/\lambda }$ ，λ是入射光的波长，那么透射的电场的表达式表示为

${ E}_{\rm out}' = \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i} \end{array}} \right]\exp ({\rm i}{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i}} \end{array}} \right]\exp ( - {\rm i}{\varphi _1})} \right\}$

(3)

同理，第二步再针对于右旋圆偏振光附加聚焦相位φ₁（而对于左旋圆偏振光为−φ₁），那么透射的电场的表达式即为

${ E}_{\rm out}^{''} = \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i } \end{array}} \right]\exp ( - i{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i }} \end{array}} \right]\exp ( {\rm i }{\varphi _1})} \right\}$

(4)

透射的总电场的表达式即是式（3）和式（4）的加和，即：

$\begin{split} {{ E}_{\rm out}} =& \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i } \end{array}} \right]\exp ({\rm i }{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i }} \end{array}} \right]\exp ( - {\rm i }{\varphi _1})} \right\} + \\ & \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i } \end{array}} \right]\exp ( - {\rm i }{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i }} \end{array}} \right]\exp ({\rm i }{\varphi _1})} \right\} \\ {\rm{ = }}& \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i } \end{array}} \right]\exp ({\rm i }{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i }} \end{array}} \right]\exp ({\rm i }{\varphi _1})} \right\} + \\ & \frac{1}{2}\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\rm i } \end{array}} \right]\exp ( - {\rm i }{\varphi _1}) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - {\rm i }} \end{array}} \right]\exp ( - {\rm i }{\varphi _1})} \right\} \\ {\rm{ = }}& \exp ({\rm i }{\varphi _1})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right] + \exp ( - {\rm i }{\varphi _1})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right] \end{split} $

(5)

超表面上的相位的分布Φ的表达式为

$\varPhi = \arg \left\{ {\exp ({\rm{i}}{\varphi _1}) + \exp ( - {\rm{i}}{\varphi _1})} \right\}$

(6)

从电场表达式（5）中可以看出透射的电场E_out与入射的线偏振E_in具有相同的偏振状态。但是出射的电场多出两个相位量 $\exp \left( {{\rm{i}}{\varphi _1}} \right)$ 和 $\exp \left( { - {\rm{i}}{\varphi _1}} \right)$ ，这说明入射的电场能量有50%聚焦到焦点处，另外50%的能量被散射出去。同时根据广义的斯涅尔定律可知，对于每个结构单元的旋转角 $\theta = \dfrac{1}{2}\varPhi $ 。如图2（b）所示的物理场图，实际中的超表面上的每个小棍子旋转的角度 $\theta $ ，出射的电场的相位变化就是 $2\theta $ 。

2 数值仿真和分析 2.1 单元结构模型的仿真和分析

借鉴由介质Si材料组成的透射式超表面透射效率的高效性^[28]，为此我们设计THz波段下全介质高阻Si超表面。图3（a）是本设计中单元结构的示意图，相关的几何参数为：单元结构的周期P为110 μm，材料硅（n=3.5）的厚度h₂为500 μm，每个小棍子的宽度L_x为40 μm，长度L_y为85 μm，硅厚度h₁为500 μm。CST仿真中的边界条件设置为unit cell，仿真频率设置为0.3～0.8 THz，材料为Si。图3（b）是使用CST软件计算的单元结构的透过系数的仿真结果，仿真中使用右旋圆偏振光入射，计算出射的左旋圆偏振光的S₂₁。从仿真的结果可以看出在0.69 THz频点处，透过系数接近100%。同理也可以计算左旋圆偏振光入射时右旋圆偏振出射的S₂₁。根据理论模型可知，出射的等量右旋圆偏振光和左旋圆偏振光叠加可以得到线偏振。通过理论和仿真数据我们可以推断线偏振入射单元结构时的线偏振透过系数仍然是接近100%。

2.2 线偏振光聚焦的仿真和分析

根据线偏振聚焦的物理模型理论和单元结构尺寸，我们设计出100×100的透射式太赫兹超表面，如图4（a）所示。根据聚焦公式 ${\varphi _1} = $ ${\kappa _0}\sqrt {{x^2} + {y^2} + {f^2}} - \left| f \right|$ ，设计中取 $f = 6\;{\rm mm}$ 。如图4（b）是超表面实现的功能示意图，即线偏振入射超表面后经相位调制后在空间中设计的焦点处聚焦。该仿真使用FDTD Solutions软件进行仿真，仿真中的光源设置为X偏振光，频点设计为0.69 THz的单频点。且仿真中边界条件设置为PML（完美匹配层），材料采用自建折射率为n=3.5的Si。图5是FDTD仿真的归一化的电场分布图，其中图5（a）、（b）分别为XY面（Z=6 mm）处的电场|E_x|²和|E_y|²的电场分布图。从图中可知焦点处的电场的能量基本全是电场|E_x|²，这归因于单个结构的在0.69 THz接近100%的透射系数。如图5（c）、（d）分别为YZ面（X=0 mm）处的电场|E_x|²分布图和XZ面处的|E_x|²的电场分布图，从侧面电场的分布情况可以看出焦点正中心的位置基本在 $z = 6\;{\rm{mm}}$ 处。从三维面的仿真结果可知，仿真和理论设计的目标位置吻合得很好。

综上所述，先通过理论模型建模论证，再依据理论设计并仿真出0.69 THz线偏振聚焦的超表面。该结构打破了传统几何相位的手性限制，实现了0.69 THz线偏振聚焦。

3 结论

本文是基于几何相位原理设计的一种单层全介质超表面，实现了THz波段内单频点的线偏振聚焦。先通过物理模型建模和理论公式推导证明利用几何相位实现线偏振的可行性，再通过基于有限时域差分的电磁波仿真软件模拟空间电磁场的分布来证明理论和设计的可行性。相比于传统复杂的反射式金属结构或多层超表面结构，该设计中的超表面是基于全介质材料高阻硅设计的透射式单层结构，其具有在THz波段内损耗小，易加工等优点。基于我们设计的超表面的理论和模型可以设计出多焦点功能器件、偏振复用功能器件等。同时这些器件在太赫兹通信、成像、偏振探测等领域有着广阔的应用前景。