引　言

亚波长光栅，也称作零级光栅^[1]，因具有极高的空间频率和极高的灵敏度，一直备受科研工作者的关注^[2]。基于导模共振的亚波长光栅^[3]以其带宽窄、衍射效率高和结构简单等优点，在光谱学、光通信等领域获得极大的发展^[4]。近年来，人们发现法诺共振在亚波长光栅上也具有广泛和潜在的应用价值^[5]。与导模共振相比，法诺共振具有更强烈的近场增强和更精细的光谱，有更高的传感品质因子，因此广泛应用于生物传感、非线性效应、光谱增强^[6]、全光开关、电光调制、慢光传输^[7]等方面。

法诺共振现象最早是由意大利物理学家Fano在1961年提出，他发现分离态能级与连续态能带相互重叠会产生量子干涉，并且在确定的光学频率处出现零吸收现象，产生具有非对称线型的光谱^[8]。法诺共振的本质是能量从初始态转移到最终稳态时所通过的两条不同路径之间的量子干涉^[9]。

通常法诺共振的产生需要引入非对称条件，比如打破结构的对称性，从而激发暗态与明态相互耦合，其谱线线宽比较窄并且线型是非对称的^[10]。当这些亮模式与暗模式通过近场耦合时，会发生相消干涉，就会产生Fano共振效应，在光谱中出现Fano线型^[11]。

本文设计了一种法诺共振型的亚波长光栅，并针对可见光波段，分析其产生的共振光谱线特性。经过结构参数优化和数据分析，本文研究产生的法诺谱线的共振峰半高宽可调控到1 nm以下，并可将其应用到滤波器的设计中。

1 光栅结构的设计

一维光栅具有良好的衍射效应。本文设计了一种一维的法诺共振型的亚波长光栅结构，具体结构如图1所示。图1所示的光栅结构参数有：光栅周期λ，表面层折射率n_c，光栅层两种不同材料的折射率n_H、n_L，基底层的折射率n_s，光栅层的槽深d。

衍射光栅结构层的平均折射率n_av要大于表面层折射率n_c和基底层的折射率n_s才能够形成波导结构^[12]，即满足

${n_{\rm{av}}} = \sqrt {fn_{\rm{H}}^2 + \left( {1 - f} \right)n_{\rm{L}}^2} $

(1)

式中f为填充系数。

时域有限差分法本质上是对麦克斯韦方程组的一种差分表示，在电场和磁场节点空间和时间上都采用交错抽样，以此来解决电磁波在电磁介质中传播和反射的问题。本文利用基于时域有限差分方法的FDTD Solutions软件做数值模拟计算。如图1所示，入射光为平面波，沿y轴负方向入射。在x方向上使用周期性边界条件，y方向上使用完全匹配层（PML）边界条件。本文采用波长范围为400～700 nm的平面波光源。

法诺共振光栅的共振效应总是受其结构参数的影响。合理地控制亚波长光栅结构的周期、材料、占空比等参数，可以使衍射场中不同模式之间发生相消干涉，从而产生理想的法诺谱线。

2 法诺共振光栅特性分析 2.1 入射光偏振方向对法诺共振效应的影响

入射光束可分为横电波（TE模）和横磁波（TM模）两种模式。图2为图1结构的光栅在TE和TM两种模式下光正入射时生成的光谱反射响应曲线。在此，设置光栅周期λ=300 nm，各层折射率分别是n_H=2.1、n_L=2.0、n_s=1.48，填充系数f = 0.5，光栅槽深d =134 nm，光的入射角θ = 0°（即正入射）。

比较TE和TM两种偏振态下的光谱反射效应，发现两种模式下都有明显的法诺现象。两者反射曲线走势大致相同，但是共振峰位置不同，强度也不同。TE模和TM模式下的共振波长分别为530.6 nm和491.3 nm，TM模的共振波长要比TE模的共振波长短，相差39.3 nm。这种差异是由于这两种模式的本征方程存在差异，因此对于有着相同参数的波导光栅，光以不同的偏振态入射时，其发生共振的波长是不同的。一般而言，TM模的共振带宽要小于TE模的共振带宽，而为了得到更精细的光谱，本文入射光选用TM模。

2.2 光栅材料折射率对法诺共振效应的影响

光栅结构中不同材料的折射率会对共振反射光谱产生极大的影响。经过一系列计算分析可发现，当光栅结构中两种材料的折射率差值为0.1时，光栅反射率曲线产生明显的法诺线型。为了分析n_H−n_L=0.1时不同折射率对光栅反射率的影响，设置光栅周期λ=300 nm、衬底材料的折射率n_s=1.48、占空比f = 0.5、光栅槽深d=134 nm，由此生成的衍射光谱如图3所示。

由图3可发现，光栅层材料折射率的大小对反射率有很大的影响，n_H和n_L越大，则反射率越高。这是由于n_H和n_L值越大，平均折射率就越大，则光栅层与衬底的折射率差值越大，因而反射率也更高。相应地，平均折射率越高的法诺光栅共振峰强度也越大。共振位置会随光栅折射率的增大向长波段方向移动，且偏移量也随之增加。由此我们可以通过对光栅层不同折射率材料的选择，来有效调控法诺谱线的位置。

2.3 光栅周期对法诺共振效应的影响

光栅周期是法诺共振光栅一个非常重要的结构参数。光栅结构参数设置如图1所示：光栅层折射率分别为n_H=2.1、n_L=2.0、n_s=1.48，占空比f = 0.5，光栅槽深d=134 nm，入射光波为TM模式垂直向下入射的平面波。图4为该法诺共振光栅对应周期分别为250 nm、260 nm、270 nm、280 nm、290 nm、300 nm、310 nm、320 nm、330 nm、340 nm时的反射率曲线。

由图4我们发现，改变光栅周期并不会使反射效应发生明显变化，各个周期对应的反射曲线除了共振峰位置以外，其他位置基本保持一致，反射率随着入射光波长的增大而减小，在550 nm处达到最小值，而后随入射光波长的增大而提高。各条曲线的共振峰位置不同，强度也不同，共振峰位置随周期的增加而红移，其位移与周期的增量成正比。共振峰的强度则与光栅周期成反比，这是因为光栅周期的大小并不会导致光栅层平均折射率的变化，故而线宽的变化量极小，但周期的变化会影响共振峰的位置。利用共振波长的宽范围和可调性，在设计过程中，通过调控光栅周期的值就能将法诺共振光栅的共振波长调整至目标波长处。因此，在生产制作时，对光栅的周期精度有极高的要求。

2.4 光栅槽深对法诺共振效应的影响

光柵的槽深也是影响法诺共振光栅反射率的一个重要参数。设置光栅层折射率分别为n_H=2.1、n_L=2.0、n_s=1.48，占空比f = 0.5，光栅周期λ=300 nm，图5为不同光栅槽深时对应的反射率曲线。当入射光波为正入射的TM平面波时，我们发现反射率会随着槽深的改变而改变。槽深的增加会导致共振峰的位置产生红移，而共振峰强度则在槽深为140 nm时达到最高。因此，在设计制作法诺共振光栅时，对槽深的精度有极高的要求。

2.5 填充系数对法诺共振效应的影响

光栅填充系数f对法诺共振光栅反射性能的影响，主要表现在共振峰强度上。通过式（1）可知，波导光栅在f = 0.5时，无论是TE波还是TM波，法诺光栅反射率曲线共振峰的强度均达到极大值。

设置光栅周期为λ=300 nm，各层折射率分别是n_H=2.1、n_L=2.0、n_s=1.48，光栅槽深d=134 nm，光的入射角θ = 0°（即正入射），图6为不同填充系数对应的法诺光栅反射率曲线。显而易见，f对反射性能影响很小，其曲线趋势基本一致，即填充系数对共振峰位置只造成细微的影响，且两者成线性关系。而共振峰强度会受到填充系数的极大制约，当填充系数远离0.5时，峰值会迅速降低。

2.6 入射角对法诺共振效应的影响

入射波的入射角度也会影响法诺光栅的反射率。图7为 TM 模平面波以不同入射角入射到光栅时所对应的法诺光栅反射率曲线，此时，光栅周期λ=300 nm，各层折射率分别是 n_H=2.1、n_L=2.0、n_s=1.48，填充系数f = 0.5，光栅槽深d=134 nm。

观察图7可发现，入射角的改变并不会影响光栅反射光谱中共振峰的位置分布，但是会影响其强度，且在正入射时光栅反射率曲线的共振峰值最高。入射角大小在短波长范围内对反射率的影响很小，但是随着入射光波长的增加，其反射率也逐渐提高。

3 应　用

光栅周期、光栅槽深、波导厚度及所选用材料折射率等参数的变化都会影响光栅的共振效应，而且不同的光栅参数变化对法诺共振光栅的反射特性影响是不一样的。通过调节光栅各个参数值的大小，可以控制共振峰强度、共振峰位置以及谱线精细度。设置光栅周期为λ=300 nm，材料折射率分别是n_H=2.1、n_L=2.0、n_S=1.48，填充系数f=0.5，光栅槽深d=134 nm，入射光为垂直入射，此时光栅的反射率曲线如图8所示，在光谱中出现了一条非常理想的法诺线，其共振峰的半高宽在1 nm以内。基于这一成果，可以设计一种高精度的光谱滤波器。

4 结　论

本文设计了一种基于法诺共振的亚波长一维光栅，并从光栅周期，光栅槽深，波导厚度及所选用材料折射率等方面分析了其共振特性。光栅各个参数变化会对法诺共振光栅的共振光谱产生极大的影响，谱线的共振峰强度、共振波长和精细度会随光栅参数的改变而变化。因此，通过控制光栅的参数可以设计出一种理想的法诺共振型的光栅滤波器，该滤波器可以实现对光谱的精确过滤。