﻿ 非球面磁性复合流体抛光路径误差分析与仿真
 光学仪器  2019, Vol. 41 Issue (5): 59-64 PDF

1. 上海理工大学 机械工程学院，上海 200093;
2. 中国工程物理研究院机械制造工艺研究所，四川 绵阳 621900

The error analysis and simulation of magnetic compound fluid polishing for aspheric components
QIAN Dabing, JIANG Chen, YAO Lei, PENG Tao, ZHANG Yongbin
1. School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China;
2. Institute of Mechanical Manufacturing Technology, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China
Abstract: According to the accuracy requirements of aspheric components in the optical systems, the linear grating polishing trajectory of magnetic compound fluid polishing is designed to polish aspheric compoents. Based on the polishing trajectory and the aspheric equation, the coordinates of each polishing processing point are calculated. The coordinates of the center point of the polishing head are calculated according to each polishing point and the polishing head which is relative to the geometry of the workpiece. The model of high-height error between each polishing point is established, and the variation rule of the surface arch error of workpiece is simulated by the model. According to the variation rule of the surface arch error, the equal arch error control algorithm is used to achieve arch error consistency and improve processing quality.
Key words: magnetic compound fluid    aspheric    equal arch error    path planning

1 抛光路径规划 1.1 加工路径规划

1.2 路径规划算法

（1）建立非球面数学模型，非球面的方程可以表示为

 $F(x,y,z) = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} - 1\;\;(a \geqslant 0,b \geqslant 0,c \geqslant 0)$ (1)

（2）在加工过程中，抛光头的自转轴与抛光头和加工面接触点的法线的夹角（即进动角）始终保持不变，求出点 $P\left( {x,y,z} \right)$ 关于工件表面的单位法矢量，即

 ${ n}= ({F_x},{F_y},{F_z}) = (\frac{{\partial F}}{{\partial x}},\frac{{\partial F}}{{\partial y}},\frac{{\partial F}}{{\partial z}})$ (2)

（3）设抛光头中心点坐标为Axayaza），半径为r，如图1所示。

 图 1 抛光头中心坐标 Figure 1 The center point of the polishing head

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} = x + \dfrac{{{F_x}}}{I}r} \\ {{y_a} = y + \dfrac{{{F_y}}}{I}r} \\ {{z_a} = z + \dfrac{{{F_z}}}{I}r} \end{array}} \right.$ (3)

 $I = \sqrt {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}^2 + }{{F_y}^2 + }{{F_z}^2} \end{array}}$ (4)

（4）根据线性光栅的轨迹规划，得到各抛光点的抛光头中心坐标，即可得到抛光头中心的轨迹。

2 加工误差分析及控制 2.1 建立误差模型

 $x = - a {(y - {y_0})^2} - {x_0}$ (5)

P0x0y0）为初始点，P1x1y1）为第一个抛光点，P2x2y2）为第二个抛光点，两个抛光点坐标相对于初始点坐标产生了∆x1、∆y1、∆x2、∆y2增量。图2为抛光过程示意图，由于抛光过程中进动角保持不变，抛光头从P0P1需要旋转θ1，抛光头从P0P2需要旋转θ2，则θ1θ2分别为：

 ${\theta _1} = \arccos \frac{{ {{ O}{{ P}_0}} {\text{·}} {{ O}{{ P}_1}} }}{{\left| { {{ O}{{ P}_0}} } \right|\left| { {{ O}{{ P}_1}} } \right|}}$ (6)
 ${\theta _2} = \arccos \frac{{ {{ O}{{ P}_0}} {\text{·}} {{ O}{{ P}_2}} }}{{\left| {{{ O}{{ P}_0}} } \right|\left| { {{ O}{{ P}_2}} } \right|}}$ (7)

 $(x - {x_1})\cos {\theta _1} - (y - {y_1})\sin {\theta _1} + {x_1} - \Delta {x_1} = - a{((x - {x_1})\sin {\theta _1} + (y - {y_1})\cos {\theta _1} + {y_1} - \Delta {y_1} - {y_0})^2} - {x_0}$ (8)

 $(x - {x_2})\cos {\theta _2} - (y - {y_2})\sin {\theta _2} + {x_2} - \Delta {x_2} = - a{((x - {x_2})\sin {\theta _2} + (y - {y_2})\cos {\theta _2} + {y_2} - \Delta {y_2} - {y_0})^2} - {x_0}$ (9)

 $(y - {y_2})/({y_1} - {y_2}) = (x - {x_2})/({x_1} - {x_2})$ (10)

 $d = \frac{{\left| {{y_N}({x_1} - {x_2}) - {x_N}({y_1} - {y_2}) + {y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right|}}{{\sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} }}$ (11)
 图 2 抛光过程示意图 Figure 2 Schematic of polishing process
2.2 误差分析

 图 3 抛光头中心运动轨迹 Figure 3 Motion trace of the center of the polishing head

 图 4 弓高误差分布 Figure 4 Bow height error distribution
2.3 等弓高误差变步长控制算法

 图 5 简化的误差模型 Figure 5 Simplified error model

 $L = \sqrt {\frac{{8Rr h}}{R+r}}$ (12)

（1）初始化y1z1

（2）根据初始y1z1用式（12）计算出步长L

（3）根据计算出的步长确定出y2z2

（4）根据式（11）求出弓高误差d

（5）如果ε1dε2，令y1=y2z1=z2，然后转第2步。如果d不在弓高误差的控制范围之内：当d<ε1时，确定增大搜索步长hi，在原y2的基础上增大搜索步长hi，计算出对应弓高误差，直到弓高误差在想要控制的范围之内；当d>ε2时，确定减小步长hd，在原y2的基础上减小搜索步长hd，计算出对应的弓高误差，直到弓高误差在想要控制的范围之内，令y1=y2z1=z2，然后转第2步。

 图 6 等弓高误差变步长 Figure 6 Equal bow height error variable step size

 图 7 弓高误差控制范围与步长的关系 Figure 7 The relationship between bow height error control range and step size
3 结　论

（1）对非球面采用直线光栅式的加工轨迹进行表面加工，针对MCF抛光的特性，设计轨迹规划算法并且建立误差模型，仿真出非球面的弓高误差分布，对非球面的弓高误差分布进行分析。

（2）根据仿真结果可知：当弓高误差控制范围上升，最大步长和最小步长都在增大，抛光点数量在减少，当弓高误差控制范围下降，最大步长和最小步长都在减小，抛光点数量在增多。

（3）这一运动控制算法可以在CNC抛光设备上得以应用，只需把算法生成的数据导入CNC抛光台，抛光设备按算法生成的数据点进行抛光，就可以实现弓高误差的一致性。

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