引　言

随着科学技术的快速发展，光学仪器的制造水平也越来越高，对光学元件的要求也不断提升。非球面具有成像质量好、质量轻、光能损失少、精度高、体积小等优点，广泛应用于变焦镜头、天文望远镜等之中。随着对非球面元件需求的增大，非球面元件的加工技术也逐步趋于完善。目前常用的加工技术有计算机控制表面成形、磁流变抛光、离子束加工、精密成型等，其中抛光作为非球面加工的最后一项关键技术，近年来也经历了快速的发展^[1]。

磁场辅助抛光作为一种新型的加工技术近年来受到美国、日本等发达国家的高度重视，并且广泛应用于光学元件、半导体等有较高表面精度的零件的加工中。日本的TAIA等^[2]研发了磁流体（MF）抛光技术，将松散的磨粒混合到磁流体中，通过磁场控制磨粒在磁流体中的机械运动和抛光，磨料颗粒的分散性较好，但粘度较低，从而使磨料颗粒的滞留量较小。美国Roch大学光学研究中心的Prokhorov等^[3]研发了磁流变加工技术，磁流变液（magnetorheololgical fluid，MRF）是通过均匀混合煤油、磨料粒子、纯铁粉得到的，通过其在磁场中的磁流变性进行光整加工，MRF粘度比较高、加工效率高，但是磨料的分布不是很均匀。日本的Shimada等^[4]提出了一种新型的磁性复合流体抛光液（MCF），MCF是MF和MRF的混合物，它结合了两者的优点，它的粘度和颗粒分布的稳定性都比较高，在磁场作用下产生较大的磁力，具有良好的抛光性能。

目前我国也开展了相关的研究：张健等^[5]提出了小磨头自适应抛光的方法，对铣削后中频误差较大的非球面进行预抛光，抑制中频误差；潘日等^[6]基于大口径轴对称光学非球面，设计制造了一套气囊抛光系统，并对其结构进行了仿真分析；王宏一^[7]研究了阿基米德螺旋线的线间距变化规律和重叠率规律，提出了一种等重叠率的螺旋线轨迹规划方法。由于现有的研究不涉及非球面的MCF抛光，本文采用线性光栅轨迹规划方法对弓高误差进行仿真分析，采用等弓高误差的变步长控制算法^[8]，通过仿真模拟分析了弓高误差和步长之间的规律，实现了弓高误差的可控性，为磁性复合流体抛光非球面的精度控制提供参考。

1 抛光路径规划 1.1 加工路径规划

在传统加工中：常用的规划方法有直线光栅式、螺旋线式、Hilbert曲线等；常用的行距确定方法有参数线法、截平面法、等残留高度法；常用的步长确定方法有等参数步长法、等弦长步长法、等弓高步长法，但这些方法主要应用于铣削和磨削加工中。

抛光加工是抛光头沿着设定好的抛光轨迹进行驻留抛光的过程。对不同的抛光轨迹，有不同的抛光方法，即使是同一种抛光轨迹抛光不同的工件，抛光的效果也不同，因此选择合适的抛光轨迹显得尤为重要。目前常用的抛光轨迹是直线光栅式和螺旋线式抛光轨迹，因为螺旋线式抛光轨迹在平面上投影的线距变化较大，导致轨迹间去除区域的接触面积变化较大，抛光效果不好^[9]，本文采用直线光栅式轨迹对非球面抛光进行研究。

1.2 路径规划算法

主要有以下4步：

（1）建立非球面数学模型，非球面的方程可以表示为

$ F(x,y,z) = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} - 1\;\;(a \geqslant 0,b \geqslant 0,c \geqslant 0) $

(1)

式中a、b、c分别为非球面的中半轴、长半轴、短半轴。

基于非球面方程，采用直线光栅式轨迹规划得到工件上抛光点的坐标为 $ P\left( {x,y,z} \right)$ 。

（2）在加工过程中，抛光头的自转轴与抛光头和加工面接触点的法线的夹角（即进动角）始终保持不变，求出点 $ P\left( {x,y,z} \right)$ 关于工件表面的单位法矢量，即

$ { n}= ({F_x},{F_y},{F_z}) = (\frac{{\partial F}}{{\partial x}},\frac{{\partial F}}{{\partial y}},\frac{{\partial F}}{{\partial z}}) $

(2)

式中：F_x、F_y、F_z为加工点的单位法向量在x、y、z轴上的分量； ${{\partial F}}/{{\partial x}}$ 为非球面方程关于x的偏导方程； ${{\partial F}}/{{\partial y}}$ 为非球面方程关于y的偏导方程； ${{\partial F}}/{{\partial z}}$ 为非球面方程关于z的偏导方程。

（3）设抛光头中心点坐标为A（x_a，y_a，z_a），半径为r，如图1所示。

根据抛光点与抛光头中心点的几何关系，可以算出抛光头中心点的坐标为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_a} = x + \dfrac{{{F_x}}}{I}r} \\ {{y_a} = y + \dfrac{{{F_y}}}{I}r} \\ {{z_a} = z + \dfrac{{{F_z}}}{I}r} \end{array}} \right.$

(3)

其中

$I = \sqrt {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}^2 + }{{F_y}^2 + }{{F_z}^2} \end{array}} $

(4)

（4）根据线性光栅的轨迹规划，得到各抛光点的抛光头中心坐标，即可得到抛光头中心的轨迹。

2 加工误差分析及控制 2.1 建立误差模型

在用MCF进行自由曲面精密抛光的过程中，使用短线段连接来逼近原来的曲线，即用弦长代替弧长，就会产生弓高误差，且弓高误差不可避免。本文在研究弓高误差时，假设每个抛光点的驻留时间都相等。假设抛光头初始位置在P₀（x₀，y₀），抛光头对工件去除轮廓的一半，即

$ x = - a {(y - {y_0})^2} - {x_0} $

(5)

P₀（x₀，y₀）为初始点，P₁（x₁，y₁）为第一个抛光点，P₂（x₂，y₂）为第二个抛光点，两个抛光点坐标相对于初始点坐标产生了∆x₁、∆y₁、∆x₂、∆y₂增量。图2为抛光过程示意图，由于抛光过程中进动角保持不变，抛光头从P₀到P₁需要旋转θ₁，抛光头从P₀到P₂需要旋转θ₂，则θ₁、θ₂分别为：

${\theta _1} = \arccos \frac{{ {{ O}{{ P}_0}} {\text{·}} {{ O}{{ P}_1}} }}{{\left| { {{ O}{{ P}_0}} } \right|\left| { {{ O}{{ P}_1}} } \right|}}$

(6)

${\theta _2} = \arccos \frac{{ {{ O}{{ P}_0}} {\text{·}} {{ O}{{ P}_2}} }}{{\left| {{{ O}{{ P}_0}} } \right|\left| { {{ O}{{ P}_2}} } \right|}}$

(7)

旋转后P₁的方程为

$ (x - {x_1})\cos {\theta _1} - (y - {y_1})\sin {\theta _1} + {x_1} - \Delta {x_1} = - a{((x - {x_1})\sin {\theta _1} + (y - {y_1})\cos {\theta _1} + {y_1} - \Delta {y_1} - {y_0})^2} - {x_0} $

(8)

旋转后P₂的方程为

$ (x - {x_2})\cos {\theta _2} - (y - {y_2})\sin {\theta _2} + {x_2} - \Delta {x_2} = - a{((x - {x_2})\sin {\theta _2} + (y - {y_2})\cos {\theta _2} + {y_2} - \Delta {y_2} - {y_0})^2} - {x_0} $

(9)

联立式（8）、式（9），求出交点坐标N（x_N，y_N），过P₁、P₂作直线P₁P₂，该直线方程为

$ (y - {y_2})/({y_1} - {y_2}) = (x - {x_2})/({x_1} - {x_2}) $

(10)

过点N作MN垂直于P₁P₂，计算过程中用线段P₁P₂代替弧线P₁P₂，所以定义MN为弓高误差d，该误差可表示为

$ d = \frac{{\left| {{y_N}({x_1} - {x_2}) - {x_N}({y_1} - {y_2}) + {y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right|}}{{\sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} }} $

(11)

2.2 误差分析

根据上述建立好的MCF抛光误差模型，通过MATLAB仿真抛光轨迹、抛光头中心点轨迹和弓高误差。在仿真过程中设抛光头的圆弧半径为50 mm，非球面方程的参数如表1所示。

根据直线光栅式的加工轨迹和抛光头中心点的计算方法，可以仿真出抛光轨迹和抛光头中心轨迹，如图3所示。

图4（a）所示，根据直线光栅式的抛光轨迹，当步长变大其y-z平面内的弓高误差也变大，当步长变小其y-z平面内的弓高误差也变小。MATLAB仿真结果表明：当y的值从−180到0时，弓高误差d先减小后增大，当y的值从0到180时，弓高误差先减小再增大；在同一时刻，x轴方向上的后一条轨迹的弓高误差的减小趋势比前一条减小的趋势更大；如图4（b）所示，在y等于0附近时，误差达到最高，在y等于120和−120附近时，误差达到最小值。

2.3 等弓高误差变步长控制算法

复杂曲面常用的计算步长方法有等参数法、等截面法、等弓高误差法^[10]，为了获得满足弓高误差的最大步长，本文采用等弓高误差法来计算步长。先对弓高误差的模型进行简化，简化后的模型如图5所示。

根据简化后的误差模型来计算步长^[11]，步长可表示为

$L = \sqrt {\frac{{8Rr h}}{R+r}} $

(12)

式中：L相邻两抛光点之间的距离；R为非球面的局部曲率半径；h为设定的弓高误差；r为抛光头半径。

由于此误差模型是简化后的误差模型，用此误差模型计算出的步长所对应的弓高误差不一定在弓高误差的控制范围之内。当计算出的步长所对应的弓高误差不在弓高误差的控制范围之内时，需要用步长搜索法来确定满足弓高误差的最大步长。步长搜索法的原理是，当误差需要控制在ε₁≤d≤ε₂ （ε₁为弓高误差下限、ε₂为弓高误差上限）时，如果弓高误差小于ε₁，需要增大步长，直到误差在想要控制的范围之内，如果误差大于ε₂，需要减小步长，直到误差在控制的范围之内。等弓高误差变步长控制算法的具体实现方法如下。

（1）初始化y₁、z₁。

（2）根据初始y₁、z₁用式（12）计算出步长L。

（3）根据计算出的步长确定出y₂、z₂。

（4）根据式（11）求出弓高误差d。

（5）如果ε₁≤d≤ε₂，令y₁=y₂，z₁=z₂，然后转第2步。如果d不在弓高误差的控制范围之内：当d<ε₁时，确定增大搜索步长h_i，在原y₂的基础上增大搜索步长h_i，计算出对应弓高误差，直到弓高误差在想要控制的范围之内；当d>ε₂时，确定减小步长h_d，在原y₂的基础上减小搜索步长h_d，计算出对应的弓高误差，直到弓高误差在想要控制的范围之内，令y₁=y₂，z₁=z₂，然后转第2步。

用等弓高误差变步长控制算法对非球面的弓高误差进行控制，所用的控制参数如表2所示。

图6为用等弓高误差变步长控制算法得到的结果，在弓高误差偏高区域，步长偏密集，在弓高误差偏低区域，步长偏稀疏。当误差控制范围在[2.8，3.0]时，需要39个抛光点，当误差控制在[3.0，3.2]时，需要38个抛光点，当误差控制范围在[3.2，3.4]时，需要37个抛光点，由此可知，误差控制的范围越接近原始误差时，抛光点的数量越少，误差控制范围下降，抛光点数增加。

图7是弓高误差的控制范围与最大和最小步长的关系，当弓高误差的控制范围为[2.8，3.0]、[3.0，3.2]、[3.2，3.4]时最大步长分别为10.03、10.20、10.50，最小步长分别为7.35、7.57、7.79。由此不难看出，弓高误差控制范围上升，最大步长和最小步长都在增大，弓高误差控制范围下降，最大步长和最小步长都在减小。用此控制算法可以把弓高误差控制在需要的范围之内，可以获得满足弓高误差的最大步长，提高了加工精度和加工效率。

3 结　论

（1）对非球面采用直线光栅式的加工轨迹进行表面加工，针对MCF抛光的特性，设计轨迹规划算法并且建立误差模型，仿真出非球面的弓高误差分布，对非球面的弓高误差分布进行分析。

（2）根据仿真结果可知：当弓高误差控制范围上升，最大步长和最小步长都在增大，抛光点数量在减少，当弓高误差控制范围下降，最大步长和最小步长都在减小，抛光点数量在增多。

（3）这一运动控制算法可以在CNC抛光设备上得以应用，只需把算法生成的数据导入CNC抛光台，抛光设备按算法生成的数据点进行抛光，就可以实现弓高误差的一致性。