引言

光学镜片具有高分辨率及良好的光学性能, 其广泛应用在民用市场和军用市场中且需求量仍在不断增加。光学镜片的质量评定都是在最后一道工序抛光工艺结束后进行的, 因此抛光工艺会直接影响到光学镜片的表面质量^[1]。目前光学镜片的抛光方法主要有传统抛光法、化学抛光法、气囊抛光法^[2]和磁流变抛光法^[3-4]等。随着近半个世纪计算机技术的迅猛发展, 诞生了以美国为首的一些发达国家率先发展起来的计算机控制光学表面成形技术(computer controlled optical surfacing, CCOS), 其工作原理为采用一个比被抛光元件尺寸小得多的抛光磨头(抛光磨头的直径一般小于工件直径的1/4), 而后通过计算机控制抛光磨头相对于工件的压力、速度以及驻留时间从而实现对工件表面的抛光加工^[5]。

Aspden于20世纪80年代率先对材料去除机理与数学模型进行研究, 而后Jones又在Aspden的数学模型基础上, 创新性地提出了采用卷积迭代法的驻留时间计算模型, 为该技术奠定了重要理论基础^[6-7]。Cheung等^[8]利用Preston公式基于平面建立仿真模型, 通过研究材料去除速率和驻留时间函数来预测构造的结构表面抛光后的表面形貌特征, 并通过实验论证了预测结果的合理性。周旭升^[9]基于平面工件建立了双旋转抛光磨头的去除函数模型, 通过研究面形误差收敛的优化控制方法, 提出了基于加工时间的脉冲迭代法和基于加工精度的脉冲迭代法, 并分析了抛光盘的偏心率和转速比等对去除函数修形能力的影响。李全胜等^[10]基于对光学非球面元件模型的研究, 提出了求解CCOS中驻留时间的三种算法:基于加工仿真的驻留时间算法, 基于傅里叶变换(FFT)的驻留时间算法, 基于FFT与滑动平均的算法, 并且应用滑动平均的算法对非球面模型进行加工仿真, 运算效率比较高且获得的驻留时间分布平缓, 加工后残余误差较小。罗丽丽等^[11]对大口径的光学元件驻留时间的求解提出了基于大规模稀疏矩阵的非负最小二乘法, 并以此方法对典型的320 mm×320 mm的微浮雕面形进行仿真加工, 结果表明, 该算法不仅可以提高运算效率而且能够使面形误差收敛至0.067λ(λ=632.8 nm)。

综上所述, 目前国内外很多学者采用CCOS抛光技术对平面或非球面进行了大量的研究工作, 但据多家企业调查发现, 中小型非球面的主要加工方式是在研抛成球面镜片表面上镀上一层特殊的光学树脂, 因此球面镜片需求量依旧很大, 研究球面镜片的抛光过程具有重要的意义。本文基于球面光学元件, 采用CCOS抛光方法依据Preston方程推导材料去除函数模型, 最后进行模拟加工, 验证了模型的合理性。

1 CCOS仿真模型建立 1.1 CCOS工作原理

在抛光过程中有众多因素会对光学镜片的表面材料去除造成影响, 例如相对压力、相对速度、环境温度和抛光液及其浓度等。现在描述CCOS表面材料去除最成功的模型仍是Preston在1927年提出的著名的Preston方程。即

(1)

式中:dz/dt为单位时间内光学镜片表面的去除量; K为比例常数, 由抛光过程中除压力与速度外的其他影响因素决定, 如抛光液的材料、浓度、环境温度、湿度等; P为表面接触区域的瞬时接触压力; V为某一点的瞬时相对抛光速度。

因此, 当加工时间为t时, 工件的表面材料去除量

(2)

则对于抛光面上任一点的去除函数为

(3)

式中:R(x, y)为去除函数; T为磨头驻留在该点的驻留时间; ΔZ(x, y, t)为该抛光区域内的材料去除量。

1.2 去除函数推导

如图 1所示为半径为R_p的球形抛光磨头对半径为r的球形工件抛光的几何示意图。其中球形工件的转速为ω₁, 球形抛光磨头的转速为ω₂。点O为球形工件的中心, O₁为球形抛光磨头的中心。

根据赫兹接触理论^[12]可知两弹性球体间的接触区域为圆形区域。基于赫兹假设, 不考虑两弹性球体间的接触摩擦力, 可计算在两球体间的接触压力为

(4)

式中:P₀为抛光磨头中心点的压强; a为抛光接触区域圆的半径。

如图 2所示为球形磨头与工件表面在抛光接触时某一点的速度分解示意图。其中v₁为工件自转产生的线速度, v₂为球形抛光磨头转动产生的线速度, θ为两者之间的夹角。因为接触区域的半径a很小, 且接触区域近似看作平面, 所以在接触区域上各点相对于抛光磨头转动中心的距离相等。可得:

(5)

(6)

式中:r_p为工件表面接触区域上点到磨头旋转中心线的距离。

则合速度为

(7)

2 影响去除函数的因素 2.1 压力对去除速率的影响

根据Preston方程, 当其他抛光条件都不变时, 抛光过程中材料去除量与压力成正比, 即材料去除量随着压力的增大而增大。在抛光过程中, 当抛光磨头施加在工件表面的力保持不变时, 接触区域上的压力分布最大值与接触区域的大小有关, 根据赫兹接触理论, 压力分布服从式(4)。其中中心点处压力P₀为

(8)

式中:, μ₁、μ₂、E₁、E₂分别为工件与抛光磨头的泊松比和弹性模量, r、R_p分别为工件与抛光磨头的半径; F为抛光磨头作用于工件的法向量作用力。

当保持工件与磨头的材料不变且抛光磨头施加在工件表面上的力F也不变时, 由于球面半径与球形磨头半径比值不同而引起压力的变化曲线如图 3所示, 压力的变化表现为中心大并向四周递减的趋势。从图 4可以看出, 当半径比从0.1逐渐增加到0.2时, 压力P的峰值急剧减小; 而随着半径比的继续增大, 压力P峰值的减小也越来越缓慢。因此在相同的抛光条件下, 随着工件半径与磨头半径比值的增大, 会导致材料去除率的峰值随之减小。但在实际的抛光过程中, 随着半径比的减小, 会导致接触区域的减小, 因此应合理的选择工件与球形磨头的半径比, 才能获得更好的抛光去除效率。

2.2 工件与磨头转速比对去除速率的影响

根据Preston方程, 抛光时材料去除量和工件与球形磨头的相对速度成正比, 即材料去除量随着相对速度的增大而增大。

图 5为不同转速比下去除速率的变化曲线, 从图中可以看出当保持其他抛光条件不变时, 令球形磨头转速不变, 改变工件的转速, 可以看出工件材料的去除速率随着转速比ω₁/ω₂的降低而减小。当转速比小于1/10时, 材料去除速率的减小也越来越慢, 说明当转速比小于1/10时, 工件的转速对材料去除的影响比较小。

图 6所示为在以球面圆心为坐标原点建立的直角坐标系y=a/2处, 工件材料去除速率曲线变化图。因为合速度是由工件转速与球形磨头转速矢量合成的, 当工件转速与磨头转速的作用相互抵消时, 会造成在该加工点的材料去除速率为零。在该转速比下, 越往外合速度越大, 而压力分布正好相反, 因此产生的去除函数速率曲线呈倒W型, 如图 6(b)。

3 驻留时间的求解

由CCOS抛光技术原理可知, 工件表面的材料去除量是由去除函数和驻留时间来控制的, 因此通过控制抛光磨头在各驻留点的驻留时间可以精确控制工件的表面材料去除, 从而达到对工件表面的面形误差进行修正。因此, 求解驻留时间函数是CCOS抛光技术的关键步骤之一。对于三维表面形貌的评定, 其基准面的提取是表面评定的关键技术, 目前国内外基准提取常用的主要方法有最小二乘多项式拟合法、高斯滤波法和小波滤波法^[13-14]。本文采用高斯滤波法来提取加工前后的表面形貌基准。

3.1 材料去除向量

当磨头处于r_i时, 抛光区域的大小为半径为a的圆, 设r和θ为建立在该抛光区域内的极坐标值。其轨迹示意图如图 7所示。

抛光磨头在r_i点驻留T_i时间时, 则工件的材料去除量分布Z_i(r)为

(9)

式中R_i(r, θ)为球形抛光磨头驻留在r_i点时的去除函数。

加工球形回转工件只需要一维进给, 也就是说工件表面点P(r, θ)在半径r相同处的材料去除分布相同, 而与角度θ无关, 因此, 将去除函数R_i(r, θ)转移到一条直径上, 称之为转移函数R_i(r), 有

(10)

则式(9) 可转化为

(11)

对工件表面进行离散化采样, 设采样间距为λ, 工件表面沿着直径D的采样点数为2m+1点, 则有λ=D/2m; 抛光磨头驻留点的间距为δ, 设球形磨头在工件直径D上的驻留点总数为2n+1, 则有δ=D/2n。工件与磨头的接触圆半径为a, 因此当球形磨头驻留在r_i位置时, 有效抛光区域为(r_i-a, r_i+a), 故式(10) 可以离散化为

(12)

式中:j为当前抛光区域内的第j个采样点; k_i为当前抛光区域内包含的采样点数。

离散化的去除函数R_i^j可以表示成含有k_i个元素的列向量的形式

(13)

图 7为离散去除函数的叠加示意图, 去除向量R_i仅在局部的接触区域内有效, 为了包含工件表面所有的采样点, R_i需要扩展为具有2m+1个采样点的向量。当第j个采样点位于驻留r_i点处的有效区域内时, R_i^j≥0;当第j个点在该区域外时, R_i^j=0。即向量R_i扩展成具有2m+1个元素, 其中2m+1-k_i个元素为0。

(14)

因此, 去除向量矩阵中的第j个元素的去除量H^j就可以通过在每一点的驻留去除量来表示, 即

(15)

其中j=1, 2, …, (2m+1)。

总的材料去除量Z可通过扩展的去除函数矩阵R_(2m+1,2n+1)与驻留时间矩阵T线性相乘获得

(16)

式中c表示工件的中心点, c=n+1。

考虑到球形工件是旋转对称的, 因此沿着直径方向其左右具有对称性。也就是说Z¹和Z²ⁿ⁺¹是由相同半径值处的去除函数产生的材料去除量, 所以新的总去除量矩阵可表示为

(17)

相应地有, T_i=T_2n+2-i(i=1, …, n), 因此对称的驻留时间就可表示为

(18)

因此, 总的去除函数矩阵元素可减为m+1个, 式(16) 就可转化为:

(19)

R_S矩阵的第i列为

(20)

(21)

其中j=1, …, m+1;c=n+1。

3.2 非负最小二乘法

式(19) 可表示为标准的线性方程组

(22)

式中:A为(m+1)×(n+1) 矩阵, 相当于去除函数矩阵R_S; x为(n+1)×1的向量, 表示驻留时间T_S; b为(m+1)×1向量, 表示采样点的去除量Z_S。

因为一般情况下, 选取的采样点数较多, 即m≥n, 故式(22) 不存在精确解, 但总是存在满足约束条件的最小二乘解。对于光学元件抛光后表面质量的最基本要求是使其残余误差的RMS和PV值达到精度要求。根据向量范数的定义, 残余误差的2范数就相当于其RMS值, 而残余误差的∞范数相当于PV值。

因为去除函数矩阵R_S不是一个方阵, 故其逆矩阵不存在。为了获得其最优解, 需使给定的去除矩阵Z_S的残余误差最小, 因此用非负最小二乘法以残余误差的2范数为优化目标来求解驻留时间函数, 其标准形式为

(23)

如图 8为采用非负最小二乘法求解驻留时间分布T_S的算法流程图。首先测量球面工件获得初始表面形貌数据Z, 结合实际抛光模型推导得去除函数矩阵R, 而后通过优化‖R_ST_S-Z_S‖₂求得驻留时间分布。

3.3 仿真结果分析 3.3.1 构造表面仿真

应用分形几何中的W-M函数来构造待抛光的粗糙表面, 获得1 024×1 024采样点, 球面半径为100 mm的初始表面如图 9所示。计算后可得其初始面形误差均方根(RMS)值为0.467 μm, 最大峰值(PV)为6.12 μm。采用本文研究的算法, 运用MATLAB对工件进行仿真加工来验证算法的正确性。得到抛光后的球面工件如图 10所示, 从图中可看出, 仿真加工后的面形误差得到收敛, 计算得最终的面形误差RMS值为0.028 μm, PV为1.48 μm。

3.3.2 实测表面仿真

如图 11所示为利用美国KLA-Tencor公司的MicroXam-100型光学轮廓仪进行测量所得的实际光学元件表面, 该仪器的最小采样间距为0.078 μm, 最大量程为1 000 mm, 分辨率为0.01 nm。运用MATLAB采用高斯滤波法计算得其初始面形误差RMS值为3.007 μm, PV为160.7 μm。通过MATLAB软件对其进行模拟仿真加工后得到表面如图 12所示, 经计算其RMS值为0.107 μm, PV为13.36 μm。综上所述, 不管是对仿真构造表面还是实际表面, 本文所述的仿真迭代法都能使面形误差得到收敛, 效果较理想, 从而证明本模型的有效性与合理性。

3.4 运算效率比较

本文基于其对称性, 计算时将元素个数从2m+1减为m+1后采用非负最小二乘法求解驻留时间。对同等大小的工件, 保证其他条件都相同, 取不同的采样点数可获得其运算时间随采样点数变化的曲线如图 13所示。从图中可以看出, 当采样点数小于2 048时, 其运算时间都较短, 但当采样点数大于2 048后, 运算时间近似于指数式增长。如当点数为8 192时, 运算耗费的时间达到1 643 s, 而在点数减半为4 096时所花费的时间仅为210 s, 因此采用对称性将运算时的元素个数减半能大大缩短运算时间。

4 结论

本文基于旋转对称的球形工件采用CCOS抛光技术对其进行模拟仿真加工, 通过分析材料去除模型, 求解驻留时间分布函数来进行研究。综合以上分析, 本文结论可归纳如下:

(1) 抛光磨头只需径向进给, 且其去除函数形状类似于高斯分布, 能较好的使面形误差得到收敛, 具有较高的加工效率, 最终能够有效的减小工件的表面残余误差;

(2) 加工过程中, 球形磨头与工件的接触区域面积较小, 能够减小磨头移动到工件边缘时因压力的突变而引起的边缘效应;

(3) 根据工件的对称性, 采用合并运算的方式, 有效的提高了运算效率。最终在得到材料去除函数和残余误差后, 应用非负最小二乘法求得驻留时间分布。模拟加工结果表明, 该算法能使面形误差得到收敛, 从而证明了模型的正确性与合理性。