引言

三维物体表面轮廓测量在航空航天^[1]、汽车制造^[2]、造船^[3]、精密制造^[4]、逆向工程^[5]、文物保护^[6]等领域有着广泛的应用。光学传感器具有高精度、非接触性等优点^[7], 因此被广泛应用于三维物体表面轮廓测量之中。其中相位轮廓测量术(PMP)是结构光照明型主动光学三维传感方法, 由于其量程大、精度高、实时性强等优点而被广泛应用。因此研究三维物体表面对结构光光场的空间调制过程, 对研究解调方法、研究系统参数对测量的影响、评价算法的优劣、确定合力的技术方案和系统结构具有重要的意义^[8]。

三维面型对结构光进行空间调制的计算机仿真系统, 可以对三维面型测量系统的性能、主要结构参数、环境条件、系统精度、算法评价进行仿真研究。近年来大量国内外学者对传统系统模型进行了研究, 许多研究人员提出了基于条纹投影技术的光学仿真系统, 所使用的仿真算法主要是运用光线追迹技术。如Liang等^[9]根据相位轮廓测量术原理运用逆光线追迹技术提出的三维面型对结构光的空间调制仿真系统, 实现了对投影光场、观察光场和三维面型几何关系在不同结构参数下的仿真, 该系统运用斜率逼近的方法计算光线和物体表面的交点, 计算比较复杂, 对物体阴影的判断也只是简单的近似, 精度较低。Li等^[10]提出了一种高效的系统仿真算法, 有效地提高了运算速度, 仿真系统中阴影区域的判断也从简单的近似变得更加精确, 但是依然要求照相机光轴和投影仪光轴相交于一点。由于此种仿真系统设计的局限性, 因而不能使用该系统对一些比较复杂的测量系统进行模拟仿真研究^[11-12]。

本文提出一种新的结构光投影仿真系统, 该系统可以在投影仪光轴和照相机光轴没有交点的情况下, 对更加复杂的光栅条纹投影测量系统进行仿真。

1 仿真原理

系统中照相机光轴和投影仪光轴没有交点, 系统原理如图 1所示, 投影仪坐标系下的光路如图 2所示。图中C点为照相机的光心, 平面R₁R₂R₃R₄是照相机的参考平面, O点为照相机光轴与其参考平面的交点, 并且令O点为世界坐标系的原点, 其中xOy面与R₁R₂R₃R₄面重合, 照相机光轴与坐标系z轴重合, 令OC=l; P点为投影仪光轴的轴心, 平面R₅R₆R₇R₈是投影仪的参考平面, O′点为投影仪光轴与其参考平面的交点, 并且令O′点为投影仪坐标系的原点, 其中x′O′y′面与R₅R₆R₇R₈面重合, 照相机光轴与投影仪坐标系z′轴重合, 令O′P=l′; 在模拟结构光光场的调制过程时, 根据物体表面形状建立数学模型, 得到物面方程z=f(x, y)。

该系统应用逆光线追迹的计算方法, 系统的算法构架如下:1) 计算出CCD像元中心E点在其参考平面R₁R₂R₃R₄上所对应的D点坐标; 2) 运用变步长迭代法^[10]计算得到物体表面上A点坐标; 3) 对A点进行从世界坐标系到投影仪坐标系的坐标变换; 4) 计算物体表面和参考平面上的相位和光强。

1.1 D点坐标的计算

E点为CCD像元中心, 每个像元的长和宽分别用S_x, S_y来表示, E点在CCD阵列上的行数和列数分别用i, j来表示。E点与光心连线EC的延长线与物体表面相交于A点, 与参考平面R₁R₂R₃R₄相交于D点。根据相似三角形原理可以得出D点坐标计算公式为

(1)

(2)

式中:f表示照相机焦距。

1.2 A点坐标的计算

如图 1所示, 由于A点在直线CD上, 根据相似三角形原理可得^[10]

(3)

(4)

(5)

式中:(x_A, y_A, z_A)为点A的三维坐标。

由于在三维空间中无法利用式(3)~(5) 直接计算交点坐标, 需通过数值迭代法求出A点的三维坐标。

1.3 A、D点在投影仪坐标系中坐标的求解

由于投影仪投射出的光是发散光, 光心P与参考平面R₁R₂R₃R₄的距离l′为有限远, 所以投影仪在平面R₁R₂R₃R₄上投射的光栅周期不是线性变化的。参考平面R₅R₆R₇R₈与投影仪的数字微镜器件(DMD)阵列是平行的, 因此投影仪在参考平面R₅R₆R₇R₈上投射的光栅是等距的, 应该在平面R₅R₆R₇R₈上计算物体表面和工作台平面的光栅相位。

(6)

式中:T为坐标的四阶平移矩阵; R为世界坐标系到照相机坐标系的四阶旋转矩阵。

已知点P(x_P, y_P, z_P), 投影仪光轴与世界坐标系xOz面、yOz面的夹角分别为θ₁、θ₂, 投影仪光心到参考平面R₅R₆R₇R₈的距离为l′。根据世界坐标系到投影仪坐标系的转换公式[式(6)]可以得到A、D两点坐标在投影仪坐标系的对应位置A′、D′。

1.4 B′、W′点在投影仪坐标系中的x坐标值

在投影仪坐标系下, 如图 2所示, A′、B′、D′、W′分别对应世界坐标系中的A、B、D、W, 在投影仪坐标系下观察, B′点是直线PA与平面R₅R₆R₇R₈的交点, 直线B′F′与y′轴垂直; W′点是直线PD′与平面R₅R₆R₇R₈的交点, 直线W′G′与y′轴垂直。根据相似三角形原理可以得到式(7)、(8), 继而可求出B′、W′点的x坐标。

(7)

(8)

在平面x′O′y′上投射的光栅栅距为λ, 令O′点的初始相位为0, 则B′点、W′点处的光栅相位分别为

(9)

(10)

式中:B′F′=x_B′; W′G′=x_W′。

1.5 计算CCD阵列上与物体表面和工作台表面相对应像素点的强度值

如果直线ED和物体表面有交点, 则CCD阵列上的E(i, j)点表示经过物体表面调制后的光栅条纹强度图像, E点强度和参考平面R₅R₆R₇R₈上的B′点强度相对应。如果直线ED和物体表面不存在交点, 则CCD阵列上的E(i, j)点表示参考平面上光栅条纹强度图像, E点强度和参考平面R₅R₆R₇R₈上的W′点强度相对应。B′点和W′点的强度值计算公式分别为

(11)

(12)

2 阴影区域的判断

由于在阴影区域部分相位解包裹的过程不能连续进行, 所以在进行相位解包裹时出错的地方大多是从阴影区域开始, 因此阴影对相位解包裹过程的影响不可忽略。

阴影区域是指投影仪光线照不到、但是照相机能看到的区域, 该区域的光强等于背景光强。如图 3(a)所示, 对于物体表面上的A点, 照相机可以看到, 但是投影仪的光线照不到, 所以照相机看到的A点的强度是黑色背景的光强, 此时把背景的光强赋值给A点所对应的像元。如图 3(b)所示, 对于A点照相机、投影仪都可以看到, 所以A点就是非阴影区域, A点的亮度就是条纹在该点的强度。

3 仿真结果

仿真采用Intel(R)Core(TM)i5-2410M CPU@2.30处理器, 4 GB内存, 64位Windows 7操作系统, 选用的操作软件是C++ Builder6.0, 并在MATLAB软件中对计算结果进行重构。根据上述系统原理建立仿真程序, 并将本文采用的算法在程序中实现, 在不同系统参数下对相应算法进行一系列实验, 结果证实了该系统的正确性。图 4所示为不考虑阴影情况下对物体的仿真结果。其中图 4(a)为模拟的圆锥物体在MATLAB软件中得到的三维重构图, 其方程为

(13)

图 4(b)为模拟的抛物面物体(顶部下凹)在MATLAB软件中得到的三维重构图, 其方程为

(14)

图 4(c)和图 4(d)分别为该系统下对图 4(a)、图 4(b)中物体的光栅投影模拟结果, 从结果可以看出, 对两个物体的仿真结构均有效, 没有出现形状畸变的现象。

图 5是投影仪在不同安装位置下对抛物面物体的阴影判断的模拟结果, 系统参数设置如下:CCD像素数为600×800, 照相机焦距f=1.5 mm, 像元尺寸S_x=0.003 2 mm, S_y=0.003 2 mm, 照相机与参考平面R₁R₂R₃R₄距离l=100 mm, 投影仪与参考平面R₅R₆R₇R₈的距离l′=150 mm。图 5(a)中投影仪安装位置:x_P=-150 mm, y_P=0 mm, z_P=100 mm; 图 5(b)中投影仪安装位置:x_P=-100 mm, y_P=0 mm, z_P=100 mm。从图 5(a)到图 5(b)P点的x坐标减小, 即投影仪和照相机的距离减小, 其他条件不变, 结果使阴影面积减小, 符合实际情况。

从实验结果来看, 在照相机光轴和投影仪光轴没有交点的情况下, 该系统所应用的算法是有效的, 克服了投影仪和照相机之间的位置约束, 使PMP测量系统不再要求两个光轴相交于一点, 由原来的三个约束条件减少为两个约束条件。该系统能对更复杂的测量系统进行仿真和算法研究。

4 结论

完成了逆光线追迹的程序设计, 求出与CCD阵列中E点相对应的D点、A点在世界坐标系中的坐标。通过坐标转换原理, 求出D点、A点在投影仪坐标系中的坐标值, 简化了投影仪参考平面上相位的计算, 解决了传统光学仿真系统要求投影仪光轴与照相机光轴相交于一点的局限性问题, 使PMP测量系统不再要求两个光轴相交于一点, 由原来的三个约束条件减少为两个约束条件。该仿真系统可以模拟出空间位置更加复杂的测量系统。