光弹性法是实验力学的一个分支^[1], 广泛应用在全场应力的测量和分析。通过光弹实验, 可以直接获取平面应力的方向和两主应力之差, 分别称为等倾线和等差线^[2]。光弹实验在平面偏振光场或圆偏振光场下进行。平面偏振光场下得到的数据, 是等倾线和等差线相互叠加的图像, 而在圆偏振光场下, 等倾线消失, 图像仅包含等差线^[3-4]。应用图像处理技术^[5]和相移技术^[6-9], 可以获取全场的等倾线和等差线。实验得到的等倾线和等差线都是包裹的型式^[10], 为得到等倾线角度和等差线条纹级数, 需进行解包裹处理^[11-14]。

材料条纹值是光弹性实验中非常重要的参数, 它是联系材料应力和光学现象唯一的参数, 表示材料的灵敏度。条纹值与材料和光源的波长有关, 而与试件的形状、尺寸、加载方式无关。材料的细微改变, 也将引起条纹值变化。因此, 在每次光弹性实验前, 计量条纹值是十分必要的。传统方法是由补偿法得出计量试件中某点的等差条纹级数, 然后计算得到条纹值。如此得出的条纹值, 容易受选择点的影响, 数据并不精确。本文根据计量试件的全场数据, 选取若干个点, 并考虑残余应力的影响, 结合相移技术, 运用最小二乘法确定材料条纹值, 再由实验验证该方法的可行性。

对于各向同性的透明非晶体材料, 在受力产生应力时, 其特性如同各向异性的晶体, 会产生双折射现象。这种折射是暂时的, 当应力解除后也随即消失, 被称为人工双折射。晶体中某一点的光学性质可以用折射率椭球来表示, 椭球的三个主轴为该点的光学主轴, 用方程表示为

(1)

式中:N₁, N₂, N₃为主折射率。在三相应力状态下, 任意斜截面的应力可以用应力椭球表示, 椭球的三个主轴为该点的应力主轴, 用方程表示为

(2)

式中:σ₁, σ₂, σ₃为主应力。根据式(1)、式(2) 可以得出应力椭球和折射率椭球的主轴是重合的。Maxwell在1852年推导并经实验证明, 在平面应力(无σ₃)状态下, 主折射率与其对应的主应力在数值上存在如下关系

(3)

式中:S为光程差; d为试件的厚度; C为材料的相对应力-光性系数^[1]。对于特定入射光波长λ, 相位差

(4)

将式(3) 代入式(4) 得

(5)

式中:, 称为材料条纹值, 是由材料和光源波长决定的常数, 单位为N/mm。式(3)、式(5) 就是著名的平面应力-光性定律。其物理意义是, 当一束平面偏振光垂直入射平面应力试件时, 必沿该点的主应力方向分解为两列平面偏振光, 由于它们在试件内的传播速度不同, 通过模型后产生的光程差与模型的厚度d及主应力差(σ₁-σ₂)成正比。

确定材料条纹值, 是光弹性法中非常重要的基础工作, 因为它是联系力学和光学的唯一参数。条纹值可以通过有理论解的试件标定出, 如径向受压的圆盘, 以圆心为坐标原点, 根据弹性力学, 其x方向的正应力分量σ_x, y方向的正应力分量σ_y和剪应力应力分量τ_xy可表示为

(6)

式中:R为圆盘的半径; D为直径; P为径向压力。r₁²=x²+(R-y)², r₂²=x²+(R+y)²。根据应力圆(莫尔圆)得出主应力之差为

(7)

在圆心处, 式(7) 可改写为

(8)

令n为等差线条纹级数, 结合暗场下的等差线公式

(9)

在圆心处的条纹值可表示为

(10)

式(10) 是确定条纹值的传统方法, 采用Tardy补偿法可以得到圆心处的等差线条纹级数。通常选取多个加载力P, 根据各个力得到f, 对其求平均值得出材料条纹值。

Tardy补偿法是一种逐点获取小数级等差级数的方法, 虽然精度较高但操作费时、费力, 每次只能得到一个点的等差级数。光弹性实验中, 相移法是根据空间域光强的变化, 分解出全场等倾线和等差线, 具有操作简便、精度高的优点^[15]。为得到小数级的等差级数, 本文在圆偏振光场下运用五步相移法^[3], 采集五幅图像求出等差级数。图 1是圆偏振光场的示意图。

图 1

Figure 1

图 1 圆偏振光场 Figure 1 Circular polariscope

运用Jones矩阵, 当α=λ/2, ξ=3λ/4, 其出射光强可表示为

(11)

式中:i_b为背景光强度; i_a为入射光的强度; θ为等倾线角度; α和β_i分别是起偏镜偏振轴和检偏镜偏振轴与x轴的夹角; ξ和Φ_i分别是第一个1/4波片慢轴和第二个1/4波片慢轴与x轴的夹角; δ为相位差。按照表 1中偏振片和1/4波片角度的安排, 等差线相位由式(12) 给出

表 1 (Table 1)

表 1 相移光强公式 Table 1 Intensity equations for various optical arrangements

表 1 相移光强公式 Table 1 Intensity equations for various optical arrangements

(12)

与其他相移法相比, 五步相移法不仅消除了背景光的影响, 而且计算等差线相位时, 不需要先计算等倾角^[15]。

光弹性法是全场应力分析法, 传统方法仅根据受压圆盘的中心点确定条纹值, 显得不够全面、精准。Coker等在其研究论文中指出:受载荷传递的影响, 圆盘中心点的条纹值比理论值小4%, 因而根据中心点的数据计算条纹值并不科学^[16]。研究表明, 在圆盘的0.3~0.5倍半径的区域内, 实验得到的条纹值与理论值非常接近^[17], 本文选取此区域内的点计算条纹值。

通常情况下, 用于光弹实验的试件, 不可避免的存在残余双折射或残余应力。比如聚碳酸酯材料制成的试件, 是由挤压成型的板材切割得到的, 由于挤压成型的板材存在较大的单向残余应力, 切割后的试件必须经退火去应力后才能用于光弹实验, 然而退火后的试件仍有可能存有残余应力, 因此, 在确定条纹值时, 考虑残余双折射的影响是必要的。将残余双折射用条纹级数的形式, 表示为坐标的线性函数

(13)

结合式(9), 试件的条纹级数改写为

(14)

令S(x, y)=(σ₁-σ₂)d, 对于试件中的任意点(x_m, y_m), 式(14) 变形为

(15)

对光弹性实验来说, n_m是检测出的已知量, S_m可由式(7) 得出, 因此式(15) 中的未知量有4个, 即1/f、A、B和C。理论上, 在试样中选取4个点就可以求出材料条纹值, 但考虑到实验数据的精确性, 可以选取多于4个点, 构成超定方程组求解条纹值。通常使用最小二乘法解超定方程组, 设采样点数为M, 误差方程可写为

(16)

最小二乘法算子要求

(17)

由上式可得出方程组:

(18)

用矩阵变换后写为

(19)

可简化为

(20)

式中:。通过矩阵运算, 可以求出未知量矩阵u。

为验证上述方法确定材料条纹值的有效性, 本文选取光弹性实验中的典型试样—径向受压圆盘, 进行实验。圆盘直径35 mm, 厚度4 mm, 材料为聚碳酸酯。实验圆盘置于可调节下压力的加力架内, 受力部位安装有压力传感器, 可以实时读取压力数值, 实验时通过旋转螺杆缓慢加力。图 2为五步相移法获取的图像, 光源波长λ=632.8 nm, 加载压力为215.6 N。

图 2

Figure 2

图 2 受压圆盘相移法实验图像 Figure 2 The experimentally obtained images of a loaded disc using phase shifting method

通过式(12) 计算出全场等差线, 如图 3(a)所示, 此时得到的数据是等差线的相位, 经解包裹运算, 可以得出等差级数。本文选取0.3 ~0.5倍半径的区域计算条纹值, 有效区域为图 3(b)中的黑色圆环区域。在有效区域内随机选取24个点, 构成超定方程组, 由式(19) 计算得出f=7.801 0, A=0.004 6, B=-0.005 1, C=-0.040 7。材料条纹值f在合理的区间内, 三个残余双折射系数值都比较小, 说明试样中的残余应力较小。实验证明, 最小二乘法能够确定光弹性材料条纹值。

图 3

Figure 3

图 3 全场等差线相位图 Figure 3 Wrapped whole field isochromatic phase map

进行光弹性实验时, 确定材料的条纹值后, 才能将实验获得的光学数据转换为力学数据。传统方法采用单点计算条纹值, 使得出的数据受选取点的影响, 不能精确反应条纹值。本文根据受压圆盘的全场数据, 在理想区域随机选取多点, 并考虑残余应力的影响, 构成超定方程组, 运用最小二乘法确定材料条纹值。对于等差线条纹级数的确定, 传统的Tardy逐点补偿法非常繁琐, 文中使用五步相移法, 容易得到全场等差条纹级数, 不仅消除了背景光的影响, 而且计算等差线时不涉及等倾角。最后应用本文所述的方法, 对径向受压的聚碳酸酯圆盘进行实验, 实验结果理想, 既得出材料条纹值, 又得到了残余应力的参数。