引言

2016年2月11日, 美国科学家宣布发现了引力波存在的直接证据, 困扰科学家100年来的物理学难题得到破解。这是一项划时代科学成就, 具有极其深远的意义^[1]。

引力波探测经历了艰难而曲折的过程, 激光干涉仪引力波探测器的出现给引力波探测带来巨大的希望。经过用几十台小型样机进行基础研究之后, 激光干涉仪引力波探测器在世界各大实验室迅速发展起来。二十一世纪初, 几台大型干涉仪陆续建成并投入运转, 分别是:美国的LIGO (LLO)和LIGO (LHO), 臂长4 km^[2]; 法国与意大利合建的VIRGO, 臂长3 km^[3]; 英国与德国合建的GEO600, 臂长600 m^[4]; 日本的TAMA300, 臂长300 m^[5]。这几台干涉仪的灵敏度达到10^-22, 完全符合设计指标, 它们被称为第一代激光干涉仪引力波探测器。随后LIGO和VIRGO做了有限的改进, 进行了“初步”升级, 变成了eLIGO (enhanced LIGO)和VIRGO⁺, 灵敏度又有明显的提高。在短短十年内激光干涉仪引力波探测器的灵敏度就提高了四个数量级, 这在探测器发展史上是极为罕见的, 显示了巨大的发展潜力。美国的科学决策机构果断地终止了太空引力波探测计划, 退出与欧洲合作的太空探测器LISA项目, 集中人力物力加紧研发第二代激光干涉仪引力波探测器高级LIGO, 并在相对比较短的时间内建成, 在试运行阶段就发现了引力波, 取得了划时代的科研成就。它标志着长达半个世纪之久的引力波的寻找胜利完成, 引力波天文学从此进入了物理研究的新阶段, 这是一个历史性的转折。

当前, 第二代激光干涉仪引力波探测器的研制已在世界各地蓬勃发展起来, 除了美国的高级LIGO (LLO)和高级LIGO (LHO)^[6-7]之外, 还有英国与德国合建的GEOHF^[8], 法国、意大利、波兰、匈牙利合建的高级VIRGO, 日本的KAGRA (臂长3 km)以及印度的INDIGO (臂长4 km), 灵敏度为10^-23。澳大利亚引力波研究中心也利用他们的小型激光干涉仪积极开展新技术、新材料、新工艺的研发。随着第二代激光干涉仪引力波探测器的全部建成并投入运转, 一个由第二代干涉仪组成的国际引力波探测网也将建立起来, 使引力波天文学研究进入快速发展的新阶段。

在引力波发现的巨大鼓舞下, 以爱因斯坦望远镜ET为代表的第三代激光干涉仪引力波探测器正在加紧研发, 灵敏度又提高一个数量级, 直指10^-24。正如作者2013年指出的那样:“在第二代探测器建成并运行1~2年之内, 人类将看到引力波探测的第一道曙光, 而以第三代引力波探器为基础的引力波天文台的建立, 必将迎来一门崭新的交叉科学引力波天文学蓬勃发展的新时代”, 这个新时代的脚步声越来越近了^[9]。

灵敏度提高一个数量级, 可探测的宇宙空间会扩大到1 000倍, 极大地增加了探测到的事例。但是在第二代特别是第三代干涉仪中, 灵敏度的提高是非常困难的, 其中主要的障碍之一就是光量子噪声。

1 激光干涉仪引力波探测器的灵敏度

在这场震惊世界的引力波发现中, 第二代激光干涉仪引力波探测器起着至关重要的作用, 毫不夸张地说, 没有第二代激光干涉仪引力波探测器的建成, 就没有现在引力波的发现。而引力波能否被探测到, 关键在于探测器的灵敏度。半个多世纪以来, 全世界几代科学家都没能探测到引力波的根本原因就是探测器的灵敏度不够高。激光干涉仪引力波探测器的应变灵敏度可用图 1来说明。

设干涉仪的臂长为L, 当引力波到来时, 根据引力波的特性, 相互垂直的两臂, 一个伸长, 另一个相应地缩短。设臂长的变化量为ΔL, 则两臂的长度分别变为L+ΔL, L-ΔL, 干涉仪的应变灵敏度h_d定义为

(1)

如果想要探测到应变强度h(t)_g为10^-22的引力波, 设探测器的信号噪声比为10, 则干涉仪的灵敏度h_d应该达到10^-23。

探测器灵敏度提高的障碍是噪声, 影响激光干涉仪引力波探测器的主要噪声有:热噪声、地面震动噪声、光量子噪声、引力梯度噪声、剩余气体噪声、杂散光子噪声等^[10]，噪声的分布如图 2所示。影响第二代特别是第三代激光干涉仪灵敏度提高的主要因素之一是光量子噪声。光量子噪声分为霰弹噪声和辐射压力噪声两大类。

2 霰弹噪声

光量子噪声源自光的量子特性, 它直接产生于测量和读出过程。在引力波探测器所覆盖的几乎所有频率范围内，这种噪声对探测器的灵敏度都加以限制。霰弹噪声是光探测器中的强度量子噪声, 它在高频区域占主导地位, 辐射压力噪声是从测试质量反射的光子的动量转移产生的, 它在低频区域占主导地位。从统计物理可知, 激光器发射的光子数目本身是有涨落的, 它遵从泊松分布, 也就是说在激光束中, 光子数并非在每个时间点都是相同的，激光束的强度是有起伏的。当激光束射入光探测器时, 产生的光电流强度是有涨落的, 这种涨落在干涉仪输出端引起的噪声被称为霰弹噪声, 又叫散粒噪声。本质上讲, 激光干涉仪引力波探测器是一台变异的迈克尔逊干涉仪, 为了分析霰弹噪声的物理机制, 我们忽略臂上法布里-珀罗腔﹑光循环镜﹑清模器等部分的作用, 只把它看成简单的﹑单次往返的迈克尔逊干涉仪。也就是说, 我们假设光在臂中只往返一次, 且在臂中穿行的复合光波的波前是严格平行的。在这种情况下, 干涉仪输出功率与其臂长之间的关系可用下式表示

(2)

式中:K_x为x方向的波矢量; L_x为X臂的长度; K_y为y方向的波矢量; L_y为Y臂的长度。由此可见, 激光干涉仪引力波探测器是一台把两臂之间的光程差转换为光的输出功率差的一种装置。也就是说, 在激光干涉仪引力波探测器中, 探测到的引力波振幅的变化即为光输出功率的变化。光输出功率P_out的大小与进入干涉仪的光束功率P_in有关, 而P_in的大小与光束内所含的光子数成正比。测量光束的功率就等同于测量单位时间达到测量装置内的光子数目。由于光的量子特性, 每次测量到的光子数目是涨落的。在激光器中, 每个光子的发射都是独立事件, 发射光子数为N的这一事件出现的几率P(N)可以用泊松分布来描述

(3)

式中N为多次测量的平均数, 当N > > 1时, 泊松分布可以用高斯分布来近似。高斯分布的标准偏差为σ=。

下面我们分析霰弹噪声与输入光束功率P_in间的关系。设光子的平均计数率为N, 每次的测量时间间隔为τ, 则每次测量间隔内平均的光子数为N=nτ, n为单位时间内的光子计数, N的相对涨落为

(4)

我们知道, 单个光子的能量为hν=ℏω=ℏ· , 在这里是光的角频率, ℏ=2πh, 称为狄拉克常数, c为光速。输出功率为P_out的光束内光子的流量(即单位时间内的光子数)为

(5)

计算表明, 当P_out=P_in时, 输出功率P_out对干涉仪臂长的变化最敏感, 称为最佳探测条件, 我们使用这个最佳探测条件进行分析。导出输出功率与臂长变化的关系为

(6)

下面讨论在时间间隔τ内, 由于光的量子特性而引起的输出功率的涨落。如前所述, 在时间间隔τ内多次测量得到的平均光子数为N=nτ, 将最佳探测条件P_out=P_in代入N的表达式中有

(7)

相对光子数的涨落为

(8)

由于是用输出功率来度量测试质量位置差异的, 需要把输出功率的统计涨落折合成测试质量位置的统计涨落, 也就是说, 把由光子数的统计涨落引起的霰弹噪声折合成位置差异的统计涨落。测试质量位置的统计涨落σ_dL为

(9)

如前所述, 干涉仪的灵敏度定义为, 当信号噪声比为1时, h也可以看成是噪声的无量纲振幅。因此, 如果把霰弹噪声引起的明亮度的变化用等效引力波噪声无量纲振幅来表示, 则有

(10)

可以看出, 霰弹噪声正比于, 输入光束功率P_in越大, 霰弹噪声越小。由于每个光子的到达都是独立事件, 与其他光子的到达无关, 所以霰弹噪声的大小与频率无关, 它是“白”噪声。

在激光干涉仪引力波探测器中, 灵敏度及引力波信号的强度都是用无量纲振幅h表示的。从以上分析可知, 在简单的激光干涉仪引力波探测器中(即无臂上法布里-珀罗腔, 无功率循环), 噪声误差中的霰弹噪声部分可以表示为^[11]

(11)

式中:L是干涉仪的臂长; c是光速; λ是激光的波长; P_in是激光功率。

在激光干涉仪引力波探测器中, 信号强度与激光功率的大小呈线性关系, 因此, 增加激光功率可使信号与霰弹噪声之比有所改善。

3 辐射压力噪声

光子具有动量, 在干涉仪臂中往返运动的光束中的光子, 在撞击到几乎自由下垂的镜子(即测试质量)表面之后, 会向相反的方向折回, 将自己的动量传递给镜子。这种光子动量的转移使镜子受到一种压力, 称为光辐射压力。在该力的作用下, 镜子会向光子弹回方向的反方向反冲, 其平衡位置发生变化。由于光子数目的统计涨落, 到达镜子表面的光子数并非在每个时间点都是相等的。也就是说, 光辐射压力不是常数, 它是有统计涨落的。这种辐射压力的涨落会直接引起测试质量位置的波动, 形成噪声, 称之为辐射压力噪声。这是光的量子特性产生的另一类噪声, 它导致测试质量位置的直接晃动。自由质量对力的机械易感性(位移/施加的力)在远高于共振频率的区域是1/(MΩ)²。其中M是镜子的质量, Ω是我们感兴趣的频率。因此，辐射压力噪声在低频区域显得更为重要。量子噪声在低于20 Hz的区域变得更大就是由这个效应引起的。增加镜子的质量可以降低测试质量对力的机械易感性, 从而减小辐射压力效应对测试质量运动的影响。初级激光干涉仪引力波探测器测试质量为10 kg, 为了减小辐射压力噪声的影响, 高级探测器的测试质量为40 kg, 而第三代探测器爱因斯坦望远镜(ET)的测试质量已增加到200 kg。

下面估算简单的激光干涉仪(即无臂上法布里-珀罗腔, 无功率循环)中辐射压力噪声的大小。从一个无耗损的镜面反射的功率为P的光波, 对镜子的作用力F_rad为

(12)

式中c是光速。光束中光子数的涨落(即霰弹噪声)引起的该力的涨落为

(13)

用频率谱密度F(f)来表示σ_F有

(14)

式中：c是光速；λ是光的波长。

这个噪声力是加在测试质量上的。为使分析简化, 如前所述, 把激光干涉仪引力波探测器看成一个简单的单次往返的迈克尔逊干涉仪, 并认为测试质量是自由质量。输出功率为P_out的光束(利用最佳探测条件P_out=P_in)产生的辐射压力涨落所引起的测试质量位置的波动幅度为^[14]

(15)

由于干涉仪的两个臂中光子数的涨落是反关联的, (即进入一个臂的光子数多了意味着进入另一个臂的光子数就少了), 使得在干涉仪的输出信号中这个效应被加倍。因此得到的辐射压力噪声(以等效无量纲振幅表示)为

(16)

式中:m是测试质量的质量; L是干涉仪臂长; f是辐射压力噪声的频率; c是光速; λ是光的波长。

可以看出, 辐射压力噪声的大小与输入功率的平方根成正比, 它不再是白噪声, 而是与频率的平方成反比。

最佳探测条件P_out=P_in下的输入功率P_in被称为最佳输入功率。通常情况下, 最佳输入功率P_in的值是相当大的。设测试质量m=10 kg, 激光波长λ=0.534 μm, 噪声频率f=100 Hz, 那么最佳功率P_in=0.5 mW。这是个很大的数值, 对当前的激光技术而言, 即使使用功率循环技术, 达到最佳功率仍有困难。因此改善激光干涉仪引力波探测器性能的主要方向仍是研制大功率激光器以降低霰弹噪声。

光量子噪声产生的根源是电磁场的真空涨落(又称零点涨落), 电磁场振幅分量的真空涨落产生的附加光子通过干涉仪分光镜面对暗口的一边进入干涉仪的臂中, 当相位适当时, 将使干涉仪一个臂中的激光强度增加, 同时使另一臂中的激光强度减弱^[12-13]；当激光器发出的光在分光镜上被分成两束时, 两束激光实质上是无噪声的相干态, 噪声完全是由从分光镜面对暗口的一面进入的这些附加的真空涨落引起的。根据对激光相干态的理解, 霰弹噪声产生于干涉仪激光场相位正交分量的不确定性, 而辐射压力噪声源自干涉仪激光场振幅正交分量的不确定性。

4 标准量子极限(SQL) 4.1 标准量子极限曲线

通过以上分析我们知道, 在激光干涉仪引力波探测器中, 有两种与光的量子特性相关的噪声源, 它们与输入功率P_in的关系是相反的。霰弹噪声随功率P_in的增大而减少, 但是, 辐射压力噪声随功率P_in的增大而增大。把这两种噪声看成一种噪声的两张面孔。它们都是由光的量子效应引起的, 故称之为光量子噪声(也叫光学读出噪声)。在无相互关联(激光功率不是非常大时)的情况下, 光量子噪声的大小为两种噪声之和

(17)

在低频区域, 辐射压力噪声占主导地位, 它正比于。在高频区域, 霰弹噪声占主导地位, 它是“白噪声”。增加输入光束的功率P_in可以改善干涉仪在高频区域的灵敏度, 但要以增加低频区域的噪声为代价。因为随着干涉仪内激光功率的增加, 辐射压力噪声也同时增加。因此, 对于任何一个给定的工作频率来说, 都存在一个最佳激光功率, 选择这个最佳激光功率, 霰弹噪声和辐射压力噪声的幅度贡献大小相等。当光量子噪声的这两种形式得到合理的折中时, 激光干涉仪的位移灵敏度达到一个最佳值。

(18)

这个最佳值是干涉仪位移灵敏度的一个基本极限, 称为标准量子极限h_SQL(f)。

经过对激光干涉仪引力波探测器的所有噪声分析后可知, 标准量子极限h_SQL(f)是其灵敏度提高的最后障碍。对于任何一个可以选用的激光功率, 都会有一个霰弹噪声曲线与辐射压力噪声曲线的交汇点, 这些交点连接起来, 形成一条线, 它就是激光干涉仪的标准量子极限曲线。图 3显示了标准量子极限h_SQL(f)与频率及激光功率的关系。

h_SQL(f)是以无量纲振幅表示的噪声强度, 根据定义

(19)

其中是噪声谱密度, Ω=2πf是角频率。在很多情况下, 标准量子极限以噪声谱密度g33 11的形式来表示, 的计算公式为

(20)

式中:m是单个测试质量的质量值(假定干涉仪的四个测试质量具有相同的质量值); L是干涉仪臂上法布里-珀罗腔的长度; ℏ是约化普朗克常数; Ω是被测引力波的角频率。

可以看出, 标准量子极限的大小与干涉仪的具体参数有关, 例如, 高级LIGO的标准量子极限(以无量纲振幅表示)在频率为时, 数量级为。

标准量子极限最初是作为激光干涉仪引力波探测器灵敏度不可逾越的最后极限提出来的, 但是专家们很快就意识到, 标准量子极限仅仅适用于经典的激光干涉仪。通过使用新技术, 如失谐信号循环技术、量子非破坏配置技术等建造结构更加复杂的非经典干涉仪, 其位移灵敏度可以突破标准量子极限。

4.2 激光干涉仪引力波探测器中的测不准原理

在激光干涉仪引力波探测器中, 标准量子极限产生的根本原因是量子力学的测不准原理。当引力波通过时, 由它引起的时空畸变会使干涉仪测试质量的相对位置发生变化, 探测到这种相对位置的变化, 就能证实引力波的存在。然而, 引力波引起的位移量是非常小的(约为10^-19m甚至更小, 而原子的直径约为10^-10m), 激光干涉仪引力波探测器必须以非常高的精度进行长度测量, 其长度测量精度已进入微观尺度, 这就需要考虑量子力学中的测不准关系。量子力学中的测不准原理告诉我们, 如果两个力学量的算符是不对易的(如坐标算符和动量算符), 则这两个算符对应的力学量(坐标x和动量p_x)一般不能同时具有确定的值。x和p_x的不确定程度由它们的均方偏差(Δx)²和(Δp_x)²来表示

(21)

因此, (Δx)²和(Δp_x²-不能同时具有极小值。比如, 坐标x的均方误差越小, 即坐标x的测量越精确, 则与其对应的动量p_x的测量误差越大, 即测量越不精确。

把量子力学的测不准原理应用在激光干涉仪引力波探测器的测试质量上, 能很好地解释标准量子极限问题。根据测不准原理我们知道, 如果测试质量的相对位置以极高的精度进行测量, 那么测试质量的动量会因此受到扰动。随后, 这种动量扰动会产生位置的不确定性, 这种位置的不确定性会使引力波产生的极微小的位移受到扰动。如果动量扰动引起的效应与位移测量产生的误差不发生关联, 那么上述过程的详细分析表明, 量子力学测不准原理对干涉仪灵敏度的提高(即噪声的降低)就产生了一个极限, 它用噪声谱密度来表示。这是引力波信号无量纲幅度h=ΔL/L的噪声谱密度S_h(Ω)能够达到的极限，即

(22)

被称为标准量子极限, 其大小由公式(19)给出, 在激光干涉仪引力波探测器中, 与测不准关系相关的有两个方面, 其一是测试质量的量子力学波函数, 另一方面是激光的涨落。布若津斯基的研究表明^[14], 测试质量的初始量子态仅影响频率小于1 Hz的区域, 在常规激光干涉仪引力波探测器(如LIGO, VIRGO, GEO600和TAMA300等), 测量频率通常都在10 Hz以上, 在此观测频带内, 测不准原理与测试质量波函数的详细结构无直接关系, 因此在激光干涉仪引力波探测器中, 测不准关系是与激光涨落相关的。激光涨落是标准量子极限唯一的实施者。

4.3 标准量子极限的突破

根据量子场论可知, 激光干涉仪引力波探测器中的量子噪声来自真空涨落与干涉仪内部光场之间的耦合。这种耦合导致用做探针的激光的相位和振幅的不确定性。这种不确定性以两种方式影响干涉仪的输出信号, 相位的不确定性直接污染干涉仪的相位测量, 扰动干涉仪输出信号的强度, 该效应就是所谓的霰弹噪声。振幅的不确定性, 即光束振幅的变化将导致测试质量上光压力的变化, 直接影响测试质量的运动。这个效应就是辐射压力噪声。

光量子噪声在经典的麦克尔逊干涉仪中对探测灵敏度形成一个基本的极限。只要光的霰弹噪声和辐射压力噪声之间不发生关联, 光束就稳固地施加标准量子极限。使干涉仪探测灵敏度突破“标准量子噪声极限”的技术称为“量子噪声压低”技术(QNR), 有时也被称为“量子非破坏技术”(QND), 大幅度突破标准量子极限的出路在于改变常规干涉仪的光学结构或读出线路的设计。利用信号循环技术和光压缩技术, 可以在一定的频率范围内以适当的尺度突破标准量子极限。

(1) 信号循环

信号循环是一项十分重要的技术。该操作是在干涉仪的暗口放置一面镜子, 称为信号循环镜。信号循环镜将从暗口输出信号反射回干涉仪。这时干涉仪可以等效成一面镜子, 它将被信号循环镜反射回来的信号再向输出口方向反射回去.使信号循环起来, 把一台常规干涉变成一台信号循环干涉仪。信号循环镜和干涉仪等效成的镜子之间形成的共振腔, 称为信号循环腔。从载频光产生的引力波信号在该腔内共振, 得到共振增强。

信号循环镜把从暗口出来的光信号反馈回干涉仪内, 这时干涉仪臂上法布里-珀罗腔内的光学场也含有经反馈而来的引力波信号h及与其相关的噪声特别是霰弹噪声, 从而使光的霰弹噪声和辐射压力噪声发生动态关联。当输入激光功率很大时, 它能破坏光在自由质量上施加标准量子极限的能力。改变干涉仪噪声曲线的形状, 在一定频率范围内突破标准量子极限。

(2) 压缩光场

量子场论是标准模型的根基。在量子场论中, 电磁场的最低能量状态叫“真空态”或称为“零点场”。根据量子力学的测不准原理, 没有什么东西的能量是绝对为零的。既然真空是电磁场的一个能量状态(即便是最低能态), 它的能量也是不为零的, 因而是有涨落的。

在量子场论中, 电磁场是用振幅和相位这两个正交量来描述的。真空涨落就寓于振幅和相位这两个正交量的涨落之中。涨落水平能够在这两个正交量之间对立地进行互易, 但两个涨落的乘积受测不准原理的约束, 是保持不变的。电磁场的零点涨落是由电磁场的量子特性导致的。电磁场的真空涨落可以通过干涉仪的输出口进入干涉仪内部并与干涉仪内部光场之间耦合, 导致用做探针的激光的相位和振幅的不确定性, 形成光量子噪声。如果没有从输出口进入干涉仪内部的真空涨落, 干涉仪输出信号中的量子噪声就可以小到忽略不计的程度。

上述正交算符形象化的通用方法是所谓的“棍球”图像。图 4给出相干光场的“棍球”图像表示。设光场是由数量巨大的光子组成, 由于光子的量子特性, 它们并不都具有相同的振幅和相位而是遵循一定的几率分布。当在一个有限的时间段内进行连续测量以便确定光子状态时, 每次测量所得的结果都可以用(r), ₂(r)平面内的一个点来表示。当大量的测量完成之后, 我们就可以测出光态的几率分布, 这个分布如图 4中的“球”或“云”来表示, 实线箭头指着球心。球心是(r), (r)平面内的一个特殊点, 代表着完成一次测量后, 在这个态上遇见光子的最高几率。这样就可以把光场的相干部分用箭头表示出来, 而场的不确定性用球表示。光的量子特性禁止我们将球的区域减小到一个确定的极限以下。这个极限称为“不确定性极限”又被称为“标准量子极限”。

虽然海森堡测不准原理控制了球的最小体积, 我们仍然可以自由地改变球的形状。改变球形状的方法之一是所谓的“压缩光技术”^[13]。如果我们想在高频部分改善引力波探测器的灵敏度, 我们就需要注入相位压缩光。将球压缩成椭球, 压缩椭球的短轴平行于正交相位的方向, 这样我们就能在高频部分改善信号噪声比, 从而改善干涉仪高频区域的灵敏度。同理, 如果我们想在低频部分改善引力波探测器的灵敏度, 我们就需要注入振幅压缩光。利用变频压缩技术改变注入光的压缩角, 就可以在整个感兴趣的探测频带内突破标准量子极限, 减小光量子噪声, 提高灵敏度。

光的压缩态一般可以用非线性光学效应产生, 在过去十年间, 用于引力波探测器的压缩光产生技术取得了长足的进步, 压缩水平已超12 db^[15], 压缩频率可以下降到几个赫兹^[16]。

5 结论

引力波的发现使引力波天文学实现了从寻找引力波到天文学研究这一历史性转折, 开辟了引力波天文学研究的新纪元。在这重大的科学发现中, 第二代激光干涉仪发挥了不可替代的作用。

当前, 世界上以电磁辐射为观测手段的传统意义上的天文台有数十个之多, 为人类文明的发展做出了巨大贡献, 第三代干涉仪是引力波天文台的基础设备, 以引力辐射为探测手段的引力波天文学台一定会在世界各地迅速建立起来。天文学研究必将进入一个崭新的发展阶段。

第三代激光干涉仪引力波探测器的设计目标是将灵敏度再提高一个数量级, 达到10^-24。这是一个非常具有挑战性的任务, 光量子噪声的降低则是必须采取的重要措施之一。