颗粒态在自然界广泛存在,尺度在1~10⁴ μm范围的物质都可称为颗粒物质,砂砾、烟尘、泥土、粮食以及药品都是颗粒物质^{[1, 2]}。在外力和内部应力作用下,使得颗粒物质发生的类似流体的运动状态,我们称之为颗粒流动。在自然界中颗粒流动广泛存在,比如山体滑坡、河流运动、工业生产以及人的呼吸、血液流动等等^[3]。2014年,李家春院士主编了《中国学科发展战略:流体动力学》,把“颗粒物质与颗粒流”确定为6个基础与前沿学科之一^[4]。

在对颗粒态的研究过程中,对由一种流态进入另一种流态的过渡过程的研究是十分有意义的,自然界中滑坡、泥石流、雪崩的发生都包含这样的过渡过程,研究其过渡机理可以让我们提前预防、避免自然灾害的发生;其次,工农业生产中制药、陶瓷、水泥、冶金中了解其过渡过程,可以更好的指导我们工业生产。

在研究颗粒运动的几类实验装置中,滚筒结构简单,易于观察和控制(当几何结构确定,转速是控制流动的唯一参数),并且在工业上应用相当广泛,因此,滚筒中颗粒物质的运动研究成为研究热点。当滚筒转速较低时,滚筒内颗粒运动呈现间歇的崩塌状态(DA),当滚筒转速较大时,滚筒内颗粒运动呈现连续流动状态(CF),在两个速度之间,随着滚筒转速的提高,颗粒运动状态也逐渐的发生改变。早先Rajchenbach^[5]研究认为,滚筒颗粒在低速崩塌与高速连续变换过程是一种滞回状态,即随滚筒转速变化,筒内颗粒运动状态的变化是瞬间完成的,并且在滚筒转速由低到高变化和由高到低变化两种情况下,发生颗粒运动状态变化时的速度不同。而后面Fischer等^[6]发现,滚筒内颗粒运动状态的过渡不是瞬间完成,而是存在一个滚筒速度范围,在这个范围内两种颗粒运动状态同时存在。

关于滚筒中颗粒运动状态发生改变的机理有不同的阐述。Rajchenbac认为崩塌状态和连续流状态中颗粒向下滚落过程持续时间的差异导致了颗粒运动状态的改变。Benza等^[7]则认为在颗粒运动状态转变过程中起重要作用的是颗粒之间的摩擦力。而Fische等在最近的研究中得出,滚筒中颗粒在临界转速范围及一定观察时间内均可单独出现或两者共存,其中,崩塌过程中随滚筒转速提高,产生的随机干扰使体系在两种运动状态下相互转换。因此,对于滚筒中颗粒运动状态转变的机理引起了新一轮探讨。

动态散斑法(dynamic speckle,DS)是近年开发的一种研究软物质微观动力学过程的新方法^[8]。DS技术的特点是时空分辨率高、穿透性好等,已被用于溶液中颗粒的扩散运动、沙堆的崩塌^[9]、泡沫的粗化过程^[10]等研究。

本论文选择直径为0.4~0.6 mm的玻璃珠,利用可调速滚筒装置,使用DS方法^{[11, 12]},对这一现象进行研究并尝试从数学概率论角度对现象做出解释。

实验装置示意图如图 1所示,滚筒内径为140 mm,前后端盖相距200 mm,滚筒为透明玻璃构成,滚筒平放在4个底座固定在滚轴的驱动轮上。滚筒由4个同步轮驱动,采用德国Dunker公司的直流电机和行星减速器,通过闭环控制使得滚筒转速Ω在0~25(°)/s范围内旋转。

图 1

Fig. 1

图 1 滚筒装置示意图 Fig. 1 Schematic of the experimental setup

实验选用RGB公司的NovaPro DPSS激光器(波长为532 nm,功率为300 mW),入射激光通过凹透镜扩束,再由平面镜反射,入射到滚筒内颗粒物质表面。检测器选用DALSA公司的spyder系统线阵CCD相机(1024像素,每个像素尺寸为14 μm,最大线速率68 kHz),并在相机表面固定中心波长532 nm的滤光片,滤除环境杂散光。

实验选用的颗粒为烘干过筛直径0.4~0.6 mm的球形玻璃珠。滚筒的颗粒填充率为30%。当颗粒类型、大小、干燥程度以及滚筒中颗粒填充程度确定以后,实验中的唯一控制变量变为滚筒转速Ω。

DS法的原理如图 2(a)所示,激光经过凹透镜扩束后照射在颗粒物质表面,再经过颗粒间多次散射后在空间产生干涉,并形成如图 2(b)所示的“散斑”。当被测颗粒物质运动时,散斑图像也会产生相应的波动,称为“动态散斑”(也称为“时变散斑”)。通过计算散斑图像的对比度就可以得到测量区内颗粒的位移变化,最后测得颗粒速度波动,即颗粒速度波动(δv)。对于作无序运动的颗粒,散斑的波动速率与颗粒的速度波动(δv)有关,因此通过计算线阵CCD相机表面的散斑图像波动(自相关函数)随时间变化,就可以计算出相应的颗粒速度波动随时间变化,如图 2(c)所示。

图 2

Fig. 2

图 2 DS法测量系统及原理图 Fig. 2 DS measurement system

根据统计光学理论^[13],散斑的对比度V₂(T)可以表示为散射光强I的“波动方差”与“均值平方”之比

其中

根据Siegert公式

再将式(5)代入式(1)得到散斑图像的对比度

这样就建立了散斑图像对比度与散射光场自相关函数g₁(t)的关系。

根据扩散波光谱理论,光子在颗粒间扩散传播,其散射场自相关函数为

对于颗粒样品厚度为L的后向散射结构,且样品厚度足够大($L \gg {l^ * }$),根据文献^[13],公式可简化为

将式(10)代入式(7)并积分,可以得到散斑对比度V₂(T)与衰减线宽Γ的关系

验证DS方法的可适用性。(1)滚筒转速由低到高逐渐变化,初始转速为1.067 (°)/s,转速间隔0.213 (°)/s,每个转速下,保持5 min的运行时间,保证滚筒在此转速运行平稳,结果稳定。观察并记录每个转速下,滚筒内颗粒运动状态,并找出出现过渡状态时的滚筒转动速度区间为1.067~2.453 (°)/s。(2)分别取1.1~2.5 (°)/s中间11个转速,利用DS方法测得动态散斑图像。(3)对得到的动态散斑图像用MATLAB进行处理,提取特征参数,并将分析结果跟已知的实验结果相比对,验证DS方法研究滚筒中颗粒运动的可适用性。

实验中滚筒内颗粒在滚筒转速为1.493 (°)/s时开始进入过渡状态,即滚筒颗粒运动开始出现连续流动状态(CF);滚筒转速在1.920 (°)/s时,颗粒间歇崩塌状态(DA)与连续流动状态(CF)各自持续时间近似相等,并且依次交替出现;滚筒转速在2.240 (°)/s时,滚筒内颗粒运动状态全部为连续流动(CF)。

图 3所示(a)是滚筒转速在1.920 (°)/s下,测量时间600 s下滚筒内颗粒运动速度平方随时间的变化。图中为440~540 s时间内的颗粒速度平方随时间变化的曲线。并通过阈值法,区分出颗粒崩塌部分(实线)和连续部分(虚线);(b)是(a)图中虚线部分放大图像。

图 3

Fig. 3

图 3 过渡状态时滚筒颗粒速度平方随时间的变化 Fig. 3 Time evolution of square particle flection velocity

阈值法区分崩塌状态跟连续流状态:首先取一个阈值0.004画一条直线如图底部虚线所示,其中直线会跟原曲线有很多交点,当相邻交点距离大于一般崩塌持续时间1.5倍时(一般崩塌持续时间需根据实际曲线观察获得),认为此时滚筒内颗粒运动进入连续流状态,并记录其开始与停止时间,其余部分则认为是崩塌状态。

图 3显示了过渡状态中崩塌跟连续流相互交替出现的情况,符合实际观察到的颗粒运动状态。最底部虚线是阈值法区分崩塌跟连续流时所选的阈值,其中实线部分是颗粒运动处在崩塌状态,而虚线是表示颗粒运动处在连续流状态。情况与Fischer的论文结果是一致的。

图 4(a)是滚筒转速在1.920 (°)/s下,测量时间为3 500 s下滚筒内颗粒崩塌持续时间t_da的统计直方图，图(b)是滚筒转速在1.920 (°)/s下,测量时间为3 500 s下滚筒内颗粒连续流持续时间t_cf的统计直方图。

图 4

Fig. 4

图 4 崩塌与连续流各自持续时间的统计分布 Fig. 4 Distribution of time tda and tcf

从图中可以看出,无论崩塌还是连续流,出现次数最多的集中在左侧,即持续时间较短的多次出现,而持续时间较大的则很少出现。说明滚筒中颗粒运动处于过渡状态时,崩塌跟连续依次紧密重复出现。崩塌持续时间统计直方图左端有一个时间间隔是因为崩塌持续时间至少要等于一个崩塌周期,而前面间隔时间至少为一个崩塌周期时间;连续状态持续时间直方图左端有一个时间间隔是因为根据前面阈值法判定两种状态时,颗粒持续运动时间大于一个周期时才认为是处于连续状态,而前面间隔时间必大于一个崩塌周期时间。情况与Fischer的论文结果是一致的。

图 5所示是滚筒颗粒在1.1~2.5 (°)/s中,测量时间为600 s时,连续流持续时间总和占总的测量时间的百分比Φ的变化情况。由图知随着滚筒转速Ω的增大,滚筒中颗粒越来越长时间的保持连续状态,在1.493 (°)/s转速时,Φ由0变为0.055 9,颗粒运动开始出现连续流;在1.92 (°)/s时,Φ能够达到0.626 9;在2.240 (°)/s转速时Φ达到最大值1。利用最小二乘法拟合得到Φ与滚筒转速Ω有反正切函数关系,特征系数为4.583、-8.46。

图 5

Fig. 5

图 5 连续状态持续时间占总测量时间的百分比Φ随转速Ω的变化 Fig. 5 he percentage Φ changes in the CF regime duration of the total measurement time with the speed Ω

综上从三个角度得出的结论跟Fischer文献相一致,从而论证了DS方法测量的准确性。

由图 6可以观察到颗粒温度均值、连续部分颗粒温度均值以及崩塌部分颗粒温度均值的变化趋势是相一致的;颗粒温度均值随着滚筒转速的增大先增大,之后当滚筒转速在1.8 (°)/s到2 (°)/s之间时,三个颗粒温度均值均降低;滚筒转速在2 (°)/s以后崩塌部分的颗粒温度均值先增大,当滚筒颗粒运动全部进入到连续流以后崩塌消失;滚筒转速在2 (°)/s以后连续流部分颗粒温度跟整体颗粒温度均值一起变大,并且两者差值减小,当全部进入连续流以后两者相同。

图 6

Fig. 6

图 6 不同部分颗粒温度均值随滚筒转速的变化 Fig. 6 The temperature in different part with the change of the speed of the cylinder

据图 7可知在过渡状态时,崩塌将部分峰值均值与连续流部分峰值均值随滚筒转速的变化趋势相一致,一开始一致变大,并且都在1.6 (°)/s处一起达到最大,然后颗粒温度逐渐减小,滚筒转速在1.9 (°)/s时,两颗粒温度均保持平稳状态,不再有较大波动。根据各数值的误差棒可以看出只是在2.133 (°)/s转速时连续流部分颗粒温度有一个较大的波动,而整体颗粒温度数值波动不大。

图 7

Fig. 7

图 7 所有崩塌部分峰值的均值和连续部分峰值的均值随滚筒转速的变化以及各自误差棒 Fig. 7 Mean DA peaks and mean CF peaks with the change of the roller speed and the respective error bar

图 8所示为滚筒转速在1.493 (°)/s,测量时间600 s下,测量出在崩塌时的间隔时间t_r,绘制统计直方图并对直方图做了高斯拟合。

图 8

Fig. 8

图 8 间隔时间tr统计直方图及其高斯拟合 Fig. 8 Statistical histogram of interval time tr and Gauss fitting

据图 8可知,在1.493 (°)/s滚筒转速下,崩塌间隔时间的统计分布呈现相对标准的高斯分布,利用最小二乘法拟合得到t_r统计直方图为高斯函数,拟合特征系数为31.080 0、0.538 1、0.269 0。t_r的均值为0.538 1,方差为0.190 3,均值减去三倍方差为-0.032 7,小于0。说明此转速下有连续流情况出现,结果与图 6中显示1.387 (°)/s转速下,滚筒颗粒运动开始有连续流出现相一致。

图 9所示是滚筒颗粒在1.1~2.5 (°)/s转速下,崩塌间隔时间t_r均值的变化,误差棒长度为3倍标准差,拟合曲线如图所示。

图 9

Fig. 9

图 9 间隔时间tr均值随滚筒转速的变化及其拟合曲线 Fig. 9 The change of tr mean of the interval time.The change of the roller speed Ω and the fitting curve

可以看出,崩塌间隔时间均值随着滚筒转速变大而减小。崩塌间隔时间均值为0,表示颗粒运动进入连续流状态。根据高斯分布函数可知,约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。从图中可以看到当滚筒转速为1.493 (°)/s时,误差棒已经接触到纵坐标0的位置,说明此时已经有连续流状态出现,与前面图 4相一致。在崩塌间隔时间的拟合中是包含了0点,而0点则意味着连续流,所以其拟合曲线超过0点的含义就是,在此转速下有连续流出现,这个结论跟前面图 5、图 6也相一致。

滚筒转速在1.4~2.3 (°)/s之间时,滚筒内颗粒运动同时存在崩塌状态和连续状态,处在过渡状态。在此过程中,连续状态存在时间会逐渐变大,一直到全部为连续状态,并且滚筒内颗粒温度随着滚筒转速提高,先增大后减小,然后再增大,中间存在波动。另外,从概率统计角度来看,过渡过程的出现,是因为在特定转速范围内,崩塌间隔时间有过零部分,并随转速变大,过零的比例越大,而在零点则表示颗粒运动状态为连续运动状态。