1979年Berry与Balazs在量子力学领域有重大发现:描述自由粒子的薛定谔方程具有无衍射艾里光束解^{[1, 2, 3]}。其中,艾里光束最显著的特点是其在没有任何外力作用下具有自加速特性^[4]。

同其它无衍射光束一样,艾里光束是一种在传播过程中强度空间分布保持不变的光束。当然在实际操作中由于空间距离和光束能量的限制,无衍射艾里光束一般都通过孔径光阑进行“截趾”,从而使得它在传播过程中逐渐趋向于衍射。如果“截趾”孔径超过理想艾里光束的时空特征值,在一定传播距离内艾里光束强度会衰减,因此从实际情况考虑,认为有限能量艾里光束为无衍射光束^[5]。

艾里光束和另一类“无衍射”的贝塞尔光束相比,它除了同样具有无衍射和自愈合性质之外,艾里光束还经历一个横向的自加速过程,在自由空间传播过程中能够发生自弯曲^[6]，这是由于艾里光束的非对称场分布特点决定的。国外一个研究小组利用艾里光束把二氧化硅粒子从一个容器运输到了另外一个容器中,它仅仅依靠光学手段,就可以将粒子进行运输,这一点将会成为光学微操控的一个有力工具。

本文首先从实验上产生了艾里光束,在理论和实验两方面证明了在自由空间传播的艾里光束将沿抛物线轨迹传播。重点对艾里光束操控微粒进行深入的理论模拟,分析了粒子所受的的光学梯度力和散射力,同时还分析了粒子的半径、折射率对光学梯度力和散射力的影响。这些分析将会更好地指导实验研究,为了研究的简单性,在这只考虑粒子半径远小于波长的情况,即瑞利近似方法。

为了研究艾里光束的传播特性,引入归一化傍轴情况下(1+1)维的衍射方程^[7]

方程对应的非色散艾里光束解为

首先从实验上产生艾里光束,实验装置如图 1^[3]。氦氖激光器发出一束高斯光束,入射激光经过空间光调制器的反射即可完成对其相位的立方调制,再经过傅里叶透镜即可在透镜焦点处观察到艾里光束的强度轮廓分布。透镜的焦平面为艾里光束的初始位置,通过CCD的位置可以采集到不同传输距离处艾里光束的横向光场分布和坐标信息,从而可以验证艾里光束的横向自加速特性。为产生艾里光束,空间光调制器需加载如图 2所示的相位灰度图,相位灰度图的设计对产生艾里光束是至关重要的^[8]。另外,实验中,在相机之前放置一个5倍的显微物镜是用来放大光斑,以便观察艾里光束能量分布变化的细节。

图 1

Fig. 1

图 1 艾里光束实验装置图 Fig. 1 Experiment setup for generating Airy beams

图 2

Fig. 2

图 2 艾里光束的相位掩模板 Fig. 2 Cubic phase mask of Airy beam

基于上述光路,我们采用焦距为f=500 mm的傅里叶变换透镜产生艾里光束,实验产生的艾里光束二维截面图如图 3所示。艾里光束的产生主要取决于相位掩膜板的设计,确定的相位掩膜板只能产生特定传输特性的艾里光束,这时艾里光束的传输特性是确定的,因此它的横向加速度也是确定的。图 4给出了这个艾里光束在一定传播距离内的光强分布(其中,z为光轴方向,x为光偏转方向)。可以看出,艾里光束经历了一个横向自加速的过程,光强在起初的距离范围内保持不变,近似无衍射,该区域即为无衍射区域。对于艾里光束,主锤是它能量最集中的点。因此,在实际的科学研究中,人们最为关注的是主锤的横向加速度。

图 3

Fig. 3

图 3 产生的二维艾里光束截面图 Fig. 3 Profile of two-dimensional Airy beam

图 4

Fig. 4

图 4 一维艾里光束光强分布 Fig. 4 Intensity distribution of one-dimensional Airy beam

根据瑞利散射理论,当介质微粒的尺寸远远小于光波的波长时 a<<λ(其中 λ 是真空中的波长,a 为粒子的半径。一般认为 a ≤λ/20的粒子称为瑞利粒子),可以用电磁场模型来解释介质微粒的受力原理。这时散射粒子内和附近的电场呈现静电场特征,可以用静电场方程来近似描述,且粒子内外的相位差s也相当小。在这种情况下,粒子可以当作点偶极子来处理。基于式(1),假设电场为沿x方向偏振的线偏光,那么艾里光束的电磁场可以解析表示为^[9]

光与物质相互作用的一个非常重要应用是利用光来改变微小物体的运动状态,也就是光捕获和光操控。通常,电场对电介质粒子的力可以分为两类,一类是由于电场分布的不均匀引起的力,叫做梯度力,它的方向和光强梯度的方向一致。由于外加激光光场会使粒子极化,梯度力就是电场中感生电偶极子受到的洛仑兹力,其大小正比于光强梯度,方向指向强度梯度的方向(m>1)。根据向量运算关系得到梯度力的计算公式为

另一类电场力是粒子散射光子引起光子动量的改变,从而产生散射力,方向为沿光传播的方向。其计算公式为

采用瑞利近似法,考虑粒子半径远远小于波长(a≤λ/20)情况,讨论梯度力和散射力受哪些因素的影响。在实验产生艾里光束的前提下,输入的艾里光束强度的峰值I₀为定值。如图 5,图 6所示,图 5是当n₁=1.8,n₂=1.33,λ=1 064 nm时,半径a分别为31 nm、40 nm、53.2 nm的粒子所受梯度力随距离r的变化关系。图 6是n₂=1.33,λ=1 064 nm,a=40 nm时,折射率n₁分别为 1.8,1.56,1.4 的粒子所受梯度力随距离r的变化关系。

图 5

Fig. 5

图 5 不同半径粒子所受的梯度力与距离r的关系 Fig. 5 The relationship between gradient force of different radius particle and distance

图 6

Fig. 6

图 6 不同折射率粒子所受的梯度力与距离r的关系 Fig. 6 The relationship between gradient force of different refractive index particle and distance

对于折射率一定的粒子,考虑不同半径的粒子所受的梯度力和散射力,从图 5可知,半径越大,粒子所受的梯度力和散射力越大,散射力比梯度力随半径增大而增大的幅度要大,因为梯度力和半径的3次方成正比,散射力和半径的6次方成正比。另外,粒子所受的梯度力和散射力还和粒子本身的折射率有关。由图 6分析知,在粒子半径一定的情况下,不同折射率的粒子所受的梯度力和散射力不同,折射率越大的粒子,所受的光学梯度力和散射力也越大,同样,散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大。

本文在实验产生艾里光束的基础上,探讨了艾里光束的横向加速性质,重点探究了艾里光束对粒子的作用。在一维艾里光束的作用下,粒子所受的梯度力和散射力沿x、z两个方向,光学梯度力和散射力随着粒子的折射率和半径增大而增大,并且散射力增大的幅度比梯度力增大的幅度要大,这为艾里光束应用在粒子捕获和运输这一领域提供了基础。