混沌学是非线性运动中重要的学科之一,开创了非线性科学的新局面。自混沌运动发现以来,混沌动力学取得了飞速进展,各国科学家对混沌的特性做了深入的分析和研究。在20世纪60年代初,人们就在第一台激光器中发现了混沌现象。1983年,Gioggia等在Xe激光器中观测到了混沌现象^[1],1985年,Weiss等设计了NH₃分子激光器,观测到了Lorenz型的混沌,此后开始了非线性光学^[2]的混沌研究并在光学系统中初见成效。90年代后,随着混沌控制和同步的产生,学者们将关注的焦点集中在了混沌现象在光学系统中的控制和同步上^[3],其中,在把掺饵光纤机关器中的激光混沌作为载体来研究保密通信与级联式光学混沌通信系统方面,取得了许多较好的科研成果^[4],因此,混沌系统在光学保密通信中具有良好的应用前景和巨大潜力。目前,非线性系统的混沌控制和同步研究已取得大量成果,提出了许多有关混沌控制和同步的方法和理论,而对超混沌系统的研究尚处于初期,超混沌运动具有两个或者两个以上正的Lyapunov指数,它的运动轨迹曲线在相空间中多个方向上分离,相对于低维混沌系统具有更为复杂的动力学性质,在保密通信^[5]、化学、光通信^[6]、工程等领域应用广泛。因此对超混沌系统的研究已引起学者们的广泛关注,而对于其动力学性质、超混沌控制和同步等问题的研究缺乏全面完善的认识,有待于进一步进行研究和探讨。目前常用的同步方法有自适应同步法、脉冲同步法、基于状态观测器广义投影同步法^[7]和反馈同步法^[8]。

本文选取超混沌Qi系统,从非线性理论分析和数值计算两个角度出发,系统研究高维复杂系统的动力学性质的变化和超混沌运动的变化规律。采用基于状态观测器法实现超混沌Qi系统的广义投影同步和反馈法实现两个超混沌系统的异结构完全同步。 1 超混沌系统的模型和动力学性质

本文选取一个超混沌Qi系统^[9],设x₁,y₁,z₁,w₁为系统的状态变量,其方程结构如下:

系统在初始值x₀=0.001,y₀=0.002,z₀=0.003,w₀=0.004的情况下通过MATLAB软件对其进行数值计算可得超混沌Qi系统的分岔图,如图 1所示。

图 1

Fig. 1

图 1 参数n变化时的系统分岔图 Fig. 1 Bifurcation diagram of system with the change of the parameter n

由分岔图可知在n∈(0,3.87)系统处于超混沌状态,当n>3.87时,系统存在三个定态,其中一个是不稳定定态,两个是稳定定态,随着系统参数n和初始值的变化,系统取两个稳定定态之一。

四维超混沌Qi系统的Jacobian矩阵为:

在非线性动力学系统研究中,平衡态的空间分布具有十分重要的意义。通过所有状态变量对时间的导数全部都等于零,当n=3时,可以得到系统唯一一组实数解(0,0,0,0),即平衡点O(0,0,0,0)。将系统平衡点O的坐标代入Jacobian矩阵,即可得到式(1)的线性化系统矩阵,其特征值λ₁=－15,λ₂=9,λ₃=－16,λ₄=－1,四个特征值都为实数,且有一个大于零,三个小于零,所以平衡点O是不稳定的鞍结点,因此系统出现混沌运动。系统的二维相图如图 2所示。

图 2

Fig. 2

图 2 超混沌Qi系统的二维相图 Fig. 2 Phase diagram analysis of the Qi hyper-chaos system

主要讨论超混沌Qi系统的自同步,采用观测器法来实现Qi系统的广义投影同步。首先,把式(1)化为f(x)=Ax+Bg(x)+G的形式。

将式(1)作为驱动系统并化为如下形式:

响应系统可表示为如下形式:

响应系统中的α为投影同步中的比例系数,为了使A-BD的特征值为负实部,取特征值为(-1,-3,-5,-7),运用极点配置法可得到矩阵D:

此时响应系统为:

令初始值[1, 2, 3, -2, 50, 60, 70, 30],当α=1时,系统是完全同步的,其同步曲线和误差曲线如图 3、图 4所示。

图 3

Fig. 3

图 3 当α=1时,超混沌Qi系统同结构的同步图 Fig. 3 Synchronization of the hyper-chaos Qi system with the same structure when α=1

图 4

Fig. 4

图 4 当α=1时,系统的同步误差 e1,e2,e3,e4随时间演化图 Fig. 4 The synchronization error e1,e2,e3,e4 evolution over time when α=1

当α≠1时,系统是广义投影同步的,令α=-5,其误差曲线和同步曲线如图 5、图 6所示。

图 5

Fig. 5

图 5 当α=-5时,系统的同步误差 e1,e2,e3,e4随时间演化图 Fig. 5 The synchronization error e1,e2e3,e4 , evolution over time when α=-5

图 6

Fig. 6

图 6 当α=-5时,超混沌Qi系统同结构的同步图 Fig. 6 Synchronization of the hyper-chaos Qi system with the same structure when α=-5

主要讨论超混沌Qi系统和超混沌Liu系统之间的异结构完全同步,选取超混沌Liu系统^[10]作为驱动系统,其方程为:

式(1)作为响应系统,设控制器 U=[u₁,u₂,u₃,u₄]^T,则误差系统为:

令系统的初始值为^{[1, 2, 3, -2, 5, 6, 7, 3]},运用四阶Runge-Kutta法在MATLAB软件中进行数值仿真,得到同步曲线和误差曲线如图 7、图 8所示。

图 7

Fig. 7

图 7 超混沌Qi系统和Liu系统异结构的同步图 Fig. 7 Synchronization of the hyper-chaos Qi and Liu system with the different structures

图 8

Fig. 8

图 8 系统的同步误差e1,e2,e3,e4随时间演化图 Fig. 8 The synchronization error e1,e2,e3,e4 evolution over time

通过分岔图对一个超混沌系统分析了其动力学性质,同时,采用观测器方法实现了超混沌系统的广义投影同步。运用主动控制的思想和Lyapunov理论设计了一个合理的控制器,实现了超混沌Qi系统和超混沌Liu系统的完全同步。用MATLAB软件进行数值仿真,得到了同步曲线和误差曲线,验证了这两种方法的有效性。超混沌系统同步的实现为光保密通信提供了良好的载体,使其抗破译能力更强,保密性更高,因此,有效地将混沌系统的同步与光保密通信结合起来将成为未来的发展趋势。