引 言

Offner型成像光谱仪属于同心光学系统结构,该结构由于具有像差小、相对孔径大、成像质量高、结构简单紧凑、谱线弯曲和色畸变小等优点,可以用于高分辨率成像光谱仪的分光系统,用来实现目标识别和检测、精确测绘、临床诊断成像、管理和环境评估等任务,广泛应用于各行各业相关领域^{[ 1,2 ]}。Offner型成像光谱仪的思想最早由Mertz提出^{[ 3 ]},后经Kwo等加以改进^{[ 4 ]},该成像光谱仪由一个大凹面反射镜和一个同心的凸面光栅组成。这种结构设计保证系统所有三级像差为零,而且采用反射结构,没有系统色差^{[ 5 ]}。该结构简单,易实现大孔径,与其它平面和凹面光栅结构的光谱仪相比,像差很小,其光谱性能大大提高^{[ 3,4,5 ]}。

虽然目前国内外有很多文献^{[ 5,6,7,8,9,10 ]}探讨了Offner成像光谱仪的消像差设计,提出了一系列减小系统像差的方法和结构,但是对于该系统光谱分辨率,还没有具体详细的研究。不少文献^{[ 5, 7, 8, 9, 10 ]}只是在优化设计时提出光谱分辨率的参数要求,有的文献^{[ 5,6 ]}对于分辨率的要求仅限定于定性的分析,并没有深入考虑在整个光谱仪系统其它因素对分辨率的影响,而且又没有求出最终光谱分辨率表达式,而光谱分辨率是衡量光谱仪品质的重要性能参数。因此本文在前人研究的基础上,采用Kwo等提出的Offner双镜三反射成像光谱仪结构,结合Offner系统的消像差特点,在仪器设计中考虑了入射狭缝的宽度、凸面光栅分辨率、系统像差和探测器像素尺寸各个参数对光谱分辨率的影响,从而在使用波段范围内,能够取得较小的像差、高分辨率和合理的光谱能量分布。

光谱分辨率是指光谱仪能分辨两条波长很接近的谱线的能力,它是成像光谱仪最重要的性能指标之一,通常利用瑞利准则来判断,即当两条强度分布轮廓相同的谱线的最大值与最小值重合时,它们能够分辨^{[ 11 ]}，然而利用瑞利判据是仅考虑衍射极限分辨率。在实际应用中,Offner成像光谱仪的最终分辨率受到入射狭缝宽度、凸面光栅分辨率、系统像差以及探测器像元尺寸等各个因素的影响,使得实际分辨率低于理论分辨率。因此,研究各因素对光谱分辨率的影响,对成像光谱仪的设计具有极其重要的意义。

1 入射狭缝宽度对光谱分辨率的影响

Kwo等提出的双镜三反射成像光谱仪的分光系统结构如图 1所示,当入射光从A点出发,经过凹面镜反射到凸面光栅上,经过光栅衍射返回到凹面镜。设系统的等效入射焦距为r,等效出射焦距为r′,这样从A点出射的入射光路和出射光路等效为图 2所示,当入射光线是波长为λ的理想单色光时,此时入射狭缝宽度对系统分辨率的影响,主要表现在光栅色散时,狭缝在像面上所形成像的几何宽度。

图 1

Fig. 1

图 1 Offner结构成像光谱仪Fig. 1 Offner configuration for imaging spectrometer

图 2

Fig. 2

图 2 狭缝与狭缝像之间的关系Fig. 2 Relation between slit and slit image

如图 2所示,当入射狭缝的几何宽度为L时,狭缝中点为A₀,边缘两点为A₁和A₂,入射光线A₀O入射角为α,光线A₁O和A₂O的入射角分别为α+Δα和α-Δα,入射狭缝像在像面上的几何宽度为ΔL,对光栅方程sinα-sinβ=kλ/d求导,得:

在Δα和Δβ很小的情况下,狭缝L=2r×Δα,狭缝像的几何宽度ΔL=2r′×Δβ,将式(1)代入,得:

当入射光线不是单色光时,假设入射狭缝中点A₀在像面上的线色散为 dl/dλ,单独考虑中点A₀,此时入射角α不变,对光栅方程求导,得:

根据瑞利准则,当两条强度分布轮廓相同的谱线λ₁和λ₂的最大值和最小值相重叠时,它们能被分辨,如图 3所示,此时理论上最大分辨率为:

图 3

Fig. 3

图 3 光谱宽度与分辨率之间的关系Fig. 3 Relation between spectral width and resolution

将式(7)对狭缝宽度L求导,得:

很显然dR_实际/dL<0,即:实际光谱仪的分辨率随入射狭缝的增大而减小,这与式(5)得到的结论相一致,即:狭缝宽度增大,则光谱也变宽,对应的分辨率就减小,因此,减小入射狭缝宽度有利于提高光谱仪的分辨率。然而由于减小入射狭缝的宽度,会使出射光强度减弱,当入射光强较弱时,狭缝宽度过小有可能导致探测器无法接收到光信号。因此,在实际使用时,应在保证光信号能够被光电探测器探测的前提下,尽量减小入射狭缝宽度,以提高仪器的分辨率。当入射狭缝像的宽度小于或等于衍射宽度时,即:

此时狭缝宽度引起的像差可以忽略,该光谱成像系统可以认为是理想的光学系统。此外,将式(7)对dl/dλ求导,得到dR_实际/(dl/dλ)>0,即:光谱仪的分辨率随线色散的增大而增大,而dR_实际/dα>0,因此分辨率随着入射角的增大而增大,说明在大角度下使用光栅,增大入射角也可提高分辨率。

2 凸面光栅对系统整体分辨率的影响

由于光栅的色散作用,在入射角相同的情况下,不同波长的光线入射到光栅上,被光栅衍射到了不同的方向上依次排列,形成光谱。在相同的条件下,使用的光栅分辨率越高,光谱仪的分辨率也越高,相应的成像质量越好,光栅衍射主极大的半角宽度为:

上述所描述的是光栅理论分辨率,其中N为光栅总刻线数。在实际凸面光栅成像光谱仪中,光栅的刻线数是有限的,因此它的主极大条纹的宽度有限,不可能无限小。由于凸面制造工艺技术难度较大,存在不同程度的缺陷,所以光栅实际分辨率通常要低于理论分辨率,这就要求在设计光谱仪时尽可能选择没有缺陷或缺陷极少的凸面光栅,从而提高光谱仪的分辨率。

3 系统的像差对光谱仪分辨率的影响

像差是实际成像系统所成的像与理想成像系统所成的像之间的差异,由于像差的存在,物点在像空间所成的像是一个弥散斑,弥散斑的大小和形状与像差有关。色散系统由于像差的存在,使光谱响应函数的带宽变宽,从而系统分辨率降低。因此,在设计成像光谱仪时,尽可能地减小系统的像差,是获得高分辨率的关键。

如图 1所示Offner成像光谱仪结构,在物像平面上存在一个最佳的入射点位置,光束从该位置入射,系统具有最小的像差。由于是同心同轴结构,根据对称性,系统没有彗差,弧矢像差也没有,只存在高级子午场曲,因此稍微增大凸面光栅的曲率半径r,使r略大于凹面镜的曲率半径的一半R/2,这样可以引入球差来抵消高级子午场曲,使系统的像差最小,分辨率最高^{[ 5,6 ]}。

根据Offner双镜三反射的结构特点,首先恰当地选择凸面光栅和凹面镜的曲率半径之比,再根据设计要求采用光线追迹法确定最佳的入射点位置,这样可以使系统的像差最小。实践证明^{[ 6 ]},当两半径比在0.5～0.55范围内,可以获得最小像差,鉴于此,选择凹面镜的曲率半径R=240.6 mm,凸面光栅的曲率半径r=125.4 mm(r/R=0.521 2),刻线数N=500 g/mm,孔径角μ=±3°。根据光线追迹法和几何关系,在某一入射高度h_i,将单色入射光线平均分成n个角度的光线,计算出每条光线像点与主光线像点之间的不重合度Δ_i,再对这n个Δ_i计算均方差作为弥散斑的半径,用弥散斑半径表示单色像差,再求出所有波长对应的单色像差,并对所有单色像差求均方差值,表示某一波段内的系平均像差,最后利用软件模拟求出不同入射高度时对应的所有平均像差大小,从而求出在可见光波段最佳入射点高度,如图 4所示。在这个已知的系统中,当入射点h=39.02 mm 时,该系统具有最小像差为26.479 μm,在其他条件正常的情况下,此时系统的分辨率最高。

图 4

Fig. 4

图 4 系统像差随入射点高度的变化Fig. 4 Aberration curve versus object height

4 探测器像元尺寸对光谱仪分辨率的影响

成像光谱仪接收器件采用CCD探测器,它是由一系列像元组成,每个像元所积累的电荷量与其所接收的光谱段的强度成正比^{[ 11 ]},像元的个数N是根据光谱使用的波段范围和光谱取样间隔来决定的,即:N=(λ₂-λ₁)/Δλ,因为每个像元都有一定的尺寸大小,所以一个像元所占的光谱宽度就决定了光电阵列探测器的最小可分辨的波长差δλ_C,也就是决定了光谱取样间隔。当系统像差和入射狭缝引起的光谱带宽增宽都小于CCD的最小可分辨的波长差δλ_C时,可以通过减小CCD探测器像元尺寸来提高系统的光谱分辨率;当系统像差和入射狭缝引起的光谱带宽增宽都很大时,此时减小CCD探测器像元尺寸只能将信号的采样频率提高,使光谱轮廓描述得更细致,但不能提高系统光谱分辨率。由于过多减小像元尺寸会使制造工艺中难度增大,因此,要想提高光谱分辨率,除了减小探测器像元尺寸外,更重要的是减小系统的像差,使系统接近理想光学系统。

5 结 论

本文根据Offner成像光谱仪的结构,利用几何关系式,全面地分析了在入射狭缝的宽度、凸面光栅分辨率、系统像差和探测器像素尺寸各个参数对光谱分辨率的影响,推导出了实际分辨率与光栅衍射参数之间关系的公式,提出了分光系统像差的计算方法和优化设计方法,并讨论了分辨率受各种因素的影响及提高分辨率的办法,即:适当地减少入射狭缝的宽度、选择优质的光栅、选择恰当的入射点高度以及减小探测器像元尺寸可以提高光谱仪的分辨率,从而在使用波段范围内,能够取得较小的像差、高分辨率和合理的光谱能量分布,解决了光谱仪的各个因素和光谱分辨率之间的矛盾,为成像光谱仪的研制提供经验和借鉴。