引 言

光栅单色仪是一种典型的光、机、电结合的精密仪器,在光谱学的分析和测量领域发挥着重要作用。在以Ⅳ型全息凹面光栅为分光元件的单色仪中,光栅不仅分离不同波长的光,而且对入射光进行聚焦,无需其它的辅助光路,光栅被放置在转台上,由扫描机构带动旋转来实现波长扫描,光电探测器检测出射光强度的变化。由于设计中仅采用了一个光学元件,这类单色仪造价低廉、外形紧凑,因而被广泛用于现代医学影像分析设备中^[1],其性能优劣直接影响到分析设备的精度指标。衡量单色仪性能优劣的主要因素有:波长准确性、波长重复性、分辨率和杂散光等,其中波长准确性尤为突出,它与光谱重建的准确度有密切关系。光谱重建的过程是先由探测器对出射光谱进行积分抽样,然后还原光谱线像^[2],这一过程是否满足抽样定理直接影响了重建的准确度,因此有必要对重建过程中的影响因素进行深入研究。

1 单色仪及光栅方程

单色仪主要由光路系统、扫描机构、光电接收、控制系统等组成,其中光路系统的构造如图 1所示。在图 1中,入射光与反射光的方向固定,从入射狭缝入射的光,直接照射在Ⅳ型消像差全息凹面光栅上,被反射的光线由于衍射作用而形成多级次单色光,再通过出射狭缝形成实像。根据实际需求的波长扫描范围,可选择不同刻线密度和闪耀波长的光栅。为提高扫描精度,光栅转台由步进电机及其驱动器与蜗轮蜗杆机构进行驱动,转台上装有光电开关检测器,用于起始位置的标定。由于凹面光栅兼有准直与汇聚的作用^[3],因此相比于传统的Czerny-Turner结构光路,仪器中可以省去准直镜与聚焦镜。全息凹面光栅的衍射原理如图 2所示,入、出射狭缝离光栅中心反射点的距离应分别满足入、出臂长度要求。

图 1

Fig. 1

图 1 光路系统构造图 Fig. 1 Structure of optical system

图 2

Fig. 2

图 2 全息凹面光栅衍射原理 Fig. 2 Theory of grating monochromator

根据光栅衍射原理^[4],衍射方程为

其中h是光栅刻线间距,α和β分别为入射角和衍射角,m为衍射光谱的级次,λ为衍射光的波长。系统选用能量较强的一级光作为出射光,即取m=1。令 α-β/2 =θ及 α+β/2 =φ,代入式(1)变换得到

由于入、出射狭缝的位置固定,故φ为常数。θ代表的是光栅从出射零级光开始,扫描到某个波长衍射光时所转动过的最少角度^[5]。

2 光谱重建

光谱重建^[6]就是探测器对出射光谱进行积分抽样以还原光谱的过程。设系统抽样间距为d,探测器光敏单元宽度(在色散方向上的尺寸)为ω,出射光谱峰值位置在色散方向上相对于光敏单元中心所偏差的距离为d₀,出射光谱的分布函数为f(x),则连续函数f(x)经探测器抽样采集后成为离散函数^[7]

其中*为卷积运算符号,γ为由探测器自身参数特性决定的非线性因子,考虑到现代光电探测器的非线性已经很小^[8],故取γ=1。则式(3)的傅里叶频谱为

为满足抽样定理,需要对离散函数f_S(x)低通滤波,滤波后F_S(u)得到的零级谱为

F_r0(u)即是系统用来重建原始光谱的频谱。

3 影响因素分析

对于单条光谱线的谱线函数f(x)而言,其表达式可近似为高斯函数,为方便计算分析,设谱线半高宽为2 nm,则谱线函数可简化为f(x)=exp(-x²·ln2)。对f(x)的频谱进行归一化^[2]得到F(u)=exp[-(πu)²/ln2],代入式(5)得F_r0(u)=exp[-(πu)²/ln2]·sinc(ωu)。 由于现代光电探测器的灵敏度常数一般在0.05以上,本文取为0.1,给ω赋以一组相同间隔的常数,求解方程F_r0(u)=0.1即可得到ω与截止频率u的取值关系,如表 1所示。

表 1(Table 1)

表 1 截止频率与光敏单元宽度的取值关系 Tab.1 Relationship between cut-off frequency and photosensitive width ω/mm u/kHz ω/mm u/kHz 0 0.402 1 5.5 0.158 5 0.5 0.396 4 6.0 0.146 3 1.0 0.379 7 6.5 0.135 8 1.5 0.354 1 7.0 0.126 6 2.0 0.323 0 7.5 0.118 6 2.5 0.290 4 8.0 0.111 4 3.0 0.259 7 8.5 0.105 1 3.5 0.232 5 9.0 0.099 5 4.0 0.209 2 9.5 0.094 4 4.5 0.189 5 10.0 0.089 8 5.0 0.172 7 - -

表 1 截止频率与光敏单元宽度的取值关系 Tab.1 Relationship between cut-off frequency and photosensitive width

根据抽样定理,只有当系统抽样频率大于零级谱F_r0(u)截止频率的2倍,即 1/d >2u时,才不会导致频谱混叠的发生。故ω和d对于能否无混淆地通过sinc插值滤波得到F_r0(u)起关键作用。对于扫描式光栅单色仪,抽样间距d由光路系统与驱动装置决定。设步进电机在未细分时的最小步距角为ε,驱动器细分比为k₁,蜗轮蜗杆传动比为k₂,根据式(2),每一个脉冲对应的波长增加值为Δλ=2hcosφ[sin(θ+ ε/k₁k₂) -sinθ]。对Δλ求导知函数Δλ关于自变量θ单调递减,当θ=0时,Δλ_max=2hcosφsin ε/k₁k₂ 。单色仪一般不工作在极限分辨率^[9]的情况下,设光栅线色散率为 dl dλ ,步进脉冲数为t,当探测器在像平面上进行光谱检测时,t个脉冲对应的系统抽样间距最大值为d_max=2th dl/dλ cosφsin ε/k₁k₂ 。

图 3

Fig. 3

图 3 抽样间距与光敏单元宽度的关系曲线 Fig. 3 Relation curve of sampling space and photosensitive unit width

根据表 1数据和 1/d >2u的条件可导出满足抽样定理的临界值d₀与光敏单元宽度ω的关系,如图 3中曲线所示。显然,只要d_max0,即d_max与ω的取值关系位于曲线下方的Ⅰ区时,系统满足抽样定理,可以保证F_r0(u)中各级频谱分量不会发生混叠。

由前面的推导知,d_max在光学方面受到光栅刻线密度h、线色散率 dl/dλ 和夹角φ的影响,在机电方面受到电机步距角ε、驱动器细分比k₁和蜗轮蜗杆传动比k₂的影响,在控制方面受到步进脉冲数的影响。以一种适用于可见光范围的典型单色仪设计为例,常见的参数配置如下:光栅参数为h= 1/1 200 mm,dl/dλ =0.25 mm/mm,φ=30.8°;转台驱动装置的参数为ε=1.8°,k₁=128 ∶ 1,k₂=90 ∶ 1。此时,d_max的大小与步进脉冲数t成线性正比关系。综合考虑成本与性能,采用光敏单元宽度ω=5 mm的探测器,则d-ω曲线上对应的临界值d₀=2.895 μm,根据d_max0的关系可得t<29.855。为满足抽样定理,在波长扫描时每次给予驱动器的步进脉冲数t不应大于29。

4 结 论

对于扫描式光栅单色仪,能否保证系统准确地重建光谱主要取决于:系统抽样间距、出射光谱半高宽、探测器的光敏单元宽度和灵敏度常数等因素。在出射光谱半高宽和探测器灵敏度常数已确定的情况下,抽样间距最大值d_max与光敏单元宽度ω的取值需要满足一定的关系,才能使得光谱的积分重建过程满足抽样定理,无频谱混叠发生,其中d_max受到光、机、电及控制方面多种因素的影响。在构造类似的单色仪时,应从整体考虑,根据实际拟合的d-ω曲线采用合适参数的光、机、电元器件,并在波长扫描时给出合适的脉冲数,使得系统能够准确地重建光谱以保证波长准确性。