引 言

干涉条纹是否清晰,既与光强的起伏大小有关,又与背景强度相关,因此将干涉场中最大光强值与最小光强值的差与它们的和之比定义为反衬度,用来定量描述干涉条纹的清晰程度,当反衬度接近或等于1时,干涉条纹是很清晰的。分振幅双光束干涉是一类重要的干涉,其中的等倾分振幅双光束干涉 是海定格干涉仪的理论基础,一些光学教学参考书对此进行了阐述。在这类干涉中,存在着光波的半波损失的影响和干涉条纹反衬度的问题,可能是限于篇幅,这些文献并未做充分的讨论^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]}。而文献^[10]仅对半波损失的影响进行了具体的分析,本文在此基础上,针对分振幅等倾双光束干涉的干涉条纹反衬度进行具体研究。

1 反射光光矢量方位角的具体表示式

如图 1所示,一束单色平面光SA自折射率为n₁的光学媒质内以入射角i₁射向厚度为d、折射率为n₂透明媒质构成的平行平板,一部分光在平板上表面反射,形成AR₁光;另外一部分光从上表面折射进入平板后的折射角为i₂,经过平行平板,其中又有一部分光从平板的下表面折射进入折射率为n₃的光学媒质,折射角为i₃;而另外一部分在下表面反射回到上表面,再折射回媒质1中,形成CR₂光,所谓分振幅等倾双光束干涉就是只考虑这两束光的叠加干涉。

根据文献^[10]的讨论可知,在一般情况下,光束AR₁和CR₂的光波振动矢量(光矢量)不在一条直线上,它们之间存在着一定的夹角,这将对两束光干涉的反衬度产生影响,而此夹角与光波振动矢量的方位角(以下简称方位角)存在着关系。

所谓方位角,本文将之定义为光矢量与入射面法线方向的夹角,用符号β来表示,逆着光传播方向看,若光矢量在入射面法线右侧,则β为正值,若在左侧,β为负值,这与文献^[2]第一章习题中的规定不同。

依文献^[10]的叙述,在图 1中,设入射平面单色光束SA按反射和折射定律分光形成的SA、AR₁、AB光波在A点的光振动矢量分别为 E ₁、 E ₂和 E ₃,BC光在B点的光振动矢量为E ₄,CR₂光在C点的光振动矢量为 E ₅,相应的波矢量分别为 k ₁、 k ₂、 k ₃、 k ₄和 k ₅,它们的平面波波函数表达式为:

其中,对于SA、AR₁、AB光波来说, E ₀是A点的包含了初始位相的光振动的振幅;而对于BC光, E 0是B点的光振动的振幅,对于CR₂光来说, E ₀是C点的光振动的振幅,同样都包含了初始位相。各光波的波矢量k _j(j=1,2,3,4,5)在同一平面,即入射面内,将 E _j(j=1,2,3,4,5)分解成互相垂直的两个分振动:一个分振动与入射面平行(称p方向),其单位矢量用 _j(j=1,2,3,4,5)表示;另一个分振动与入射面垂直(称s方向),其单位矢量用 _j( j=1,2,3,4,5)表示。约定: _j的正方向为垂直入射面向外,用⊙表示, _j的正方向由下式规定:

其中_j为 k _j上的单位矢量。各列光波的单位矢量即各列光波传播方向也标在图 1中。可见, _j的正方向即为入射面的法向。

设E _j(j=1,2,3,4,5)在p,s方向振动的振幅大小分别为E_jp和E_js(j=1,2,3,4,5),式(1)则写成:

根据方位角的定义,则各列光波方位角β_j(j=1,2,3,4,5)的正切为:

SA、AR₁和CR₂光的波函数则分别为:

而

其中反射系数r_p12、r_s12、r_p23和r_s23与透射系数t_p12、t_s12、t_p21和t_s21如文献^[10]所规定。所以,SA光、AR₁光和CR₂光振动矢量的方位角β₁、β₂和β₅的正切分别为:

利用文献^[10]中式(6)～(13)表示的反射系数和透射系数可得:

对式(14)和式(15)求反正切即得反射光波AR₁光和CR₂光光矢量的方位角。可见,方位角β₂和β₅与入射光的方位角β₁有关,还与入射角i₁和折射角i₂、i₃有关,而根据折射定律可知,折射角i₂、i₃决定于入射角i₁和平行平板及其上、下媒质的折射率n₂、n₁和n₃。所以反射光的方位角是β₁、i₁、n₁、n₂和n₃的函数:

如果利用文献^[10]中的式(6)～(13)左侧等式,将式(14)和式(15)表示成既含有折射率n₁、n₂和n₃的形式,又含有入射角i₁和折射角i₂、i₃的形式,则公式将变得很复杂,出于篇幅的限制和行文简洁的考虑,在此从略。

2 反衬度的讨论

反射光AR₁和CR₂仍然是平面光波,因而它们的干涉遵从平面光波干涉的规律,其干涉条纹的反衬度V为^[2]:

其中ε为两束光的强度比:

其中I₅为CR₂光的强度,I₂为光束AR₁光的强度;而ψ为AR₁光和CR₂光的光矢量的夹角。

夹角ψ可用它们的方位角β₂和β₅来求得,根据定义则有:

利用式(14)和式(15)可求得:

由上式可见,反射光AR₁与CR₂的光矢量间的夹角ψ与它们的方位角β_j(j=2,5)一样,也是β₁、i₁、n₁、n₂和n₃的函数:

借助方位角β_j(j=1,2,5),入射光SA、反射光束AR₁和CR₂的强度I_j与其各自的p分量光场E_js的关系可表示为^[2]:

对于入射光SA光有:

将式(14)和式(15)代入式(20),利用式(8)和式(10),同时代入文献^[10]中的式(7)、式(9)、式(11)和式(13)整理得:

代入式(17)得:

上式具有复杂的形式。通过式(19)、借助三角函数的相关公式可以求出光束AR₁光矢量和CR₂的光矢量夹角的|cosψ|值,然后与式(23)的ε一起代入式(16)中,可以得到平行平板产生的分振幅双光束干涉的反衬度的具体表达式,显然,表达式是非常复杂的,为了行文的简洁起见,本文在此不给出这种复杂的等式。若利用既含折射率又含入射、折射角的菲涅耳公式来表示反射系数、透射系数的话,反衬度V的表达式更加复杂。但是,根据式(16)、式(17)、式(19)和式(23)可见,反衬度V既决定于入射角i₁,也决定于入射光束的方位角β₁,式中的i₂、i₃由折射定律确定的,因而平行平板的折射率n₂以及上下表面外侧的光学媒质的折射率n₁、n₃也影响着干涉的反衬度,即:

总之,普遍而言,分振幅双光束干涉条纹的反衬度V是一个复杂的量。

以上是理论上的普遍讨论,在实际中往往变得简单些,例如对于海定格干涉仪^{[1, 2]}而言,由于平行平板处于一种光学媒质里,因而折射率n₁=n₃,而且环境媒质一般是空气,于是折射率n₁=n₃=1,因而折射角i₃也就等于入射角i₁,即i₃=i₁。 在海定格干涉仪中,观测的都是小角度入射的干涉条纹,称之为海定格干涉条纹。在小角度入射的情况下,cosi₁≈cosi₃≈1,或者在不至于引起太大误差的情况下说i₁≈i₃≈0°,那么根据式(15)可得ψ≈0,cosψ ≈1;入射光的方位角采取平均值:

此时利用既含折射率又含入射、折射角的菲涅耳公式来计算反衬度V比较便利,得:

上式左侧的等号与文献^[5]的结论相同,而右侧的等号则是考虑平行平板在空气(真空)n₁=1中的情形得到的,可见,在这种实际情况下,反衬度V变得很简单,它仅是平板折射率n₂的函数,但是n₂只是一个参量,其变化是很慢的,或者说,当平板的材料选定之后,n₂也就确定不变了,因而小角度入射下的海定格干涉条纹的反衬度也就是定值了。在可见光范围内,光学媒质的折射率n₂在1.35～2.35之间^[11],图 2给出了V随n₂变化的曲线,由图可见,0.984

图 2

Fig. 2

图 2 海定格干涉条纹的反衬度随平行平板折射率的变化 Fig. 2 Change of the contrast of Haidinger′s interference vs the refractive index of an optical plane-parallel transparent slab

3 结 论

本文给出了光束经过平行平板后出现的两束主要反射光AR₁和CR₂的光波波矢量方位角的定义,并推导这些方位角的具体表达式,讨论了AR₁和CR₂光波叠加形成双光束干涉时的反衬度。由于AR₁和CR₂光的光波矢量方向并不在一条直线上,它们之间的夹角即为其方位角之差,导致这两束光干涉的反衬度V变成了很复杂的量,它既决定于入射角i₁,也决定于入射光束的方位角β₁,也受平行平板的折射率以及上下表面的媒质的折射率的影响,其表示式是相当复杂的。

理论虽然如此,但对于海定格干涉仪来说,具体的实际情况使得复杂的反衬度V的表示式变得很简单,如式(24)所示,V仅是平行平板折射率n₂的函数,换言之,固定的光学平行平板在固定环境媒质里实现海定格干涉,其条纹的反衬度是基本固定的,不受其它因素的影响。对于用各种可见光范围内光学材料制作的平行平板,在空气中实现海定格干涉,其条纹的反衬度在0.984以上,条纹是高度清晰的,很方便观察。而在光学教材和著作^{[1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9]}中,几乎没有论述到海定格干涉条纹的反衬度,本文对此做了补充。