2021, Vol. 43
Issue (4): 71-77
2. 上海理工大学 光电信息与计算计工程学院，上海 200093
2. School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China
2007年，有限能量的艾里光束（Airy beam, AB）第一次被提出并实验实现[1-2]，经过不断地研究，发现其拥有无衍射、自加速、自修复等特点[3-6]。随后，研究者将AB作了径向对称处理[7-8]，产生了圆艾里光束（circular Airy beam, CAB）并发现CAB具有独特的自聚焦特性，具体表现是光束在焦点前能保持相当低的强度分布，但是在能量传播到焦点时光强会突然提升至数十甚至数百倍。CAB也因为这种独特的性质在生物医学、激光加工等领域有着巨大的潜在应用价值[9-15]，而自聚焦焦斑的峰值强度、焦斑的大小和位置对这些应用有着至关重要的影响。
目前，已经有很多研究者在提升CAB自聚焦能力的方向做出了努力。Lin等[16]发现去除CAB初始面的主光环，能增强光束的自聚焦能力；Deng等[17]发现在CAB的频谱面采用高通滤波的方法可以更好地改善光束的自聚焦能力；最近，我们发现与高通滤波相比，在频谱面引入高斯包络调制，能够使得光束的自聚焦能力获得进一步提升[18]。可见光的光源虽然更易获得，但目前CAB的研究主要集中在傍轴近似区域，即自聚焦焦距远远大于光束截面半径。而自聚焦焦距与光波的波长成反比，即波长增大，焦距减小。因此，当波长增大到太赫兹频段时，可以有效地缩短自聚焦焦距，焦距与光束截面半径大小相当，光波的传播由傍轴区域迈向离轴区域，且此时CAB的初始光场分布具有与波长尺度相当甚至小于波长的精细结构，由于焦距的减小，光束的会聚角增大，可获得强度更大的焦点强度。对于可见光而言，波长远小于初始光斑的空间结构，因此其频谱都在传输波频率范围内。而对于太赫兹波而言，其波长与初始光斑的空间结构已处于同一数量级，特高频分量已进入倏逝波频段，无法传播到远场，因此与可见光只需要低频滤波不同，太赫兹波需要同时滤去低频和特高频分量才能有效地提升光束的自聚焦能力。He等[19]将工作波长从可见光移到了太赫兹波段，使得初始光束具有了接近波长尺寸甚至亚波长尺寸的光强分布空间结构，光束的自聚焦焦斑尺寸接近了波长数量级。
本文将上述两种方法相结合，将工作波长移到太赫兹波段，考虑到频谱分布的不对称性，在频谱面引入高通滤波器（high-pass filter, HPF），以减少光束的低频分量。同时，由于太赫兹CAB在初始面具有亚波长的空间结构，使得特高频分量进入到倏逝波范围，无法传输到远场，因此本文又引入低通滤波器（low-pass filter, LPF），滤去特高频分量。这样HPF和LPF共同组成了带通滤波器（band-pass filter, BPF）。以下将HPF调制的CAB简称为HCAB，BPF调制的CAB简称为BCAB。本文详细探讨了CAB经BPF滤波后的光束自聚焦特性，并与HPF的结果进行了对比，结果发现使用BPF确实可以增强CAB的聚焦特性，且比单独使用HPF的结果更好。在合适的参数下，BPF调制后的聚焦强度可提高至CAB的7倍，半高全宽也有所改善，且可实现焦距的控制，所以该方法是一种提高太赫兹CAB自聚焦性能的有效方法。本文的研究以期能对太赫兹成像和太赫兹光谱领域的研究提供有益的参考。
1 理 论CAB在入射平面处的电场表达式为[17]
| ${u_0}\left( r \right) = {E_0}Ai\left( {\frac{{{r_0} - r}}{\omega }} \right)\exp \left[ {\alpha \left( {\frac{{{r_0} - r}}{\omega }} \right)} \right]$ | (1) |
式中：
目前由于CAB在频谱面上还没有确切的解析式，因此研究通常使用Hankel变换方法获得数值解，表达式为
| $g\left( k \right) = \int_0^\infty {{u_0}\left( r \right){J_0}\left( {kr} \right)r{\rm{d}}r} $ | (2) |
式中：
| $u\left( {r,z} \right) = \int_0^\infty {g\left( k \right){J_0}\left( {kr} \right)\exp \left( {2i {\text{π}} z\sqrt {{\lambda ^{ - 2}} - {k^2}} } \right)k{\rm{d}}k} $ | (3) |
式中：
为了减少CAB的低频分量需引入HPF，用
| ${f_{\rm{H}}} = \frac{1}{{1 + \exp \left[ { - {\beta _{\rm{H}}}\left( {k - {k_{\rm{H}}}} \right)} \right]}}$ | (4) |
式中：
另一方面，为了滤去进入倏逝波的特高频成分需引入LPF，用
| ${f_{\rm{L}}} = \frac{1}{{1 + \exp \left[ {{\beta _{\rm{L}}}\left( {k - {k_{\rm{L}}}} \right)} \right]}}$ | (5) |
式中：
那么，由
| ${f_{\rm{B}}} = {f_{\rm{H}}}{f_{\rm{L}}}$ | (6) |
图1给出了
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图 1 HPF（实线）和BPH（横线）的函数示意图 Figure 1 The function of HPF（solid line）and BPH（dash line） |
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图 2 CAB（实线）、HCAB（点线）和BCAB（短横线）的能量归一化傅里叶频谱图 Figure 2 Energy normalized Fourier spectrum of CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line） |
根据式（3），令z=0可以得到初始平面处CAB、HCAB、BCAB的强度分布，其强度随初始平面上的径向距离
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图 3 初始平面处CAB（实线）、HCAB（点线）和BCAB（短横线）的强度分布 Figure 3 The intensity distributions of CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line） on the initial plane |
CAB、HCAB和BCAB在数值模拟中的传播强度曲线如图4所示，为了清楚地显示传播特性，对其做了对数处理。图中CAB最重要的自聚焦特性在HCAB和BCAB中仍然保持不变。但是通过比较发现，HCAB和BCAB的焦点位置都发生了变化，相较于CAB能在更近的位置聚焦。更为有趣的是，当在傅里叶空间中减小高频的部分空间频谱时（见图4（b）、（c）），焦斑纵向长度也随之减小，焦斑长度与初始环数成正比。与（a）、（b）相比，（c）中光束汇聚到焦点的能量更多。
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图 4 CAB，HCAB和BCAB在自由空间中的传播强度 Figure 4 Propagation intensity of CAB, HCAB and BCAB in free space |
CAB焦点在z = 12 mm处，模拟计算可知
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图 5 不同参数下调制得到的焦点位置 Figure 5 The focus position obtained by modulation under different parameters |
在实际应用中，焦点处的峰值强度是一个极其重要的参数。通过
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图 6 不同参数下调制后模拟得到的突然自聚焦能力 Figure 6 Abruptly autofocusing capability obtained by simulation after modulation under different parameters |
假设
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图 7 CAB（实线）、HCAB（点线）和BCAB（短横线）的自聚焦特性对比 Figure 7 Comparison of autofocusing characteristics between CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line） |
焦平面上的光场分布也很重要，因为它们可以直接显示焦点的尺寸和光强分布，图8绘制了焦平面上CAB，HCAB和BCAB的归一化强度分布。从图8可以看出，HCAB和BCAB的焦斑尺寸比CAB小。CAB的半高全宽为0.296 mm，HCAB的半高全宽为0.218 mm，BCAB的半高全宽为0.225 mm。通过调制，两种调制方法都减小了半高全宽，但HCAB的效果相较于BCAB要稍好，但不明显。
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图 8 焦面上CAB（实线）、HCAB（点线）和BCAB（短横线）的归一化强度分布 Figure 8 Normalized strength distributions of CAB（solid line）, HCAB（dotted line）, and BCAB（short dash line）on focal plane |
为了讨论波长分布对调制结果的影响，设一有限带宽光源，中心波长为0.4 mm，谱宽为0.2～0.6 mm。带通滤波的参数针对中心波长0.4 mm优化，图9给出了波长分别为0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm、0.5 mm和0.6 mm的太赫兹波经带通调制后的结果，其中
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图 9 宽谱中不同波长下BCAB的聚焦能力 Figure 9 Focusing ability of BCAB at different wavelengths in broad spectrum |
本文研究了CAB在THz波段的传播特性，在傅里叶空间利用HPF和BPF对CAB进行调制，产生了HCAB和BCAB。并且通过数值仿真对结果进行对比，发现BPF确实可以增强CAB的聚焦特性并且比HPF的结果要好，证明了合适的参数下BPF调制后的聚焦强度可提高7倍，半高全宽也有改善，且可实现焦距的控制，并且对宽光谱的实际应用也具有现实意义，所以在THz波段带通滤波是一种提高自聚焦性能的有效方法。
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