X射线天文观测是人类认识和了解宇宙,尤其是宇宙起源、超新星遗迹、黑体的重要手段。自20世纪60年代,人们开始运用Wolter-I型望远镜对各种天体进行观测。Wolter-I型望远镜是由共焦的掠入射抛物面和双曲面反射镜组成,为了获得大的有效面积,采用了嵌套结构。从1999年起,先后发展了基于常规光学方法制作镜片的Chandra望远镜^[1],基于Ni电镀方法制作镜片的Newton望远镜^[2],基于铝薄片成型分离方法制作镜片的ASCA^[3]和Suzaku^[4]X射线望远镜。铝薄片镜片的使用虽然大大降低了望远镜的造价,但是其自身性质限制了这种方法制作望远镜分辨率的进一步提升。随着技术的发展,人们可以采用超薄玻璃制作望远镜的反射镜片替代原有的铝片。2012年,美国发射的NuSTAR卫星^[5]是采用超薄玻璃镜片制作望远镜的典范,其分辨率是58″。这种方法制作的反射镜片是先制作出圆柱面形状,在装配时将其压成圆锥面以达到设计要求。因此,在进行这种望远镜研制过程中,如何精确测量圆柱面面形是改进工艺、提高镜片制作质量的关键。

圆柱面面形检测方法有很多,常用的有三坐标测量法和采用计算全息图(CGH)的干涉测量法。一般的三坐标测量是用触针式探头接触待测圆柱面表面,通过探头位置读出并记录待测点的三坐标值,得到被测面的面形。当对厚度只有0.21 mm的超薄玻璃镜片测量时,这种方法会引入较大误差,不能满足面形测量精度的要求^[6]。采用计算全息图的方法是用计算全息图产生柱面波,该柱波面与待测圆柱面表面反射的柱面波进行干涉,根据干涉结果计算获得待测圆柱面面形的偏差。

在分析干涉测量数据时,一般干涉仪会给出面形的均方根值(RMS)、最大差别值(PV)和等高线图等评价指标,更好的结果是用泽尼克(Zernike)多项式系数给出的面形测试结果,但其不适用于圆柱面的检测。在非圆域光学面形测量中,Paul研究了勒让德多项式应用于近柱面面形误差的表征,给出了一组包含勒让德多项式的方程,并成功地评价了掠入射光学系统的波前误差和成像误差^[7]。Gao等将勒让德多项式用于方形域面形的重建,获得了相关的面形数据^[8]。本文基于勒让德多项式的特点研究了其用于圆柱面面形检测,给出了类似于泽尼克多项式系数的圆柱面面形评价结果。 1 勒让德多项式

在面形检测中常用的泽尼克多项式是一组仅在圆形光瞳上正交的序列函数,不适合柱面镜面形测量数据的理论拟合。勒让德多项式是一组在[-1, 1]上正交的序列函数,这种正交性满足了柱面对称区域的特点,是勒让德多项式拟合柱面镜面形的理论基础^[9]。勒让德多项式能与像差理论建立联系,其系数与柱面镜对应的像差直接相关。

勒让德多项式是数学和物理中最重要的函数集合之一,勒让德方程的表达式为

在n为整数时,勒让德方程的一个特解是勒让德多项式^[10],可表示为

当n为偶数时,m=n/2;n为奇数时,m=(n-1)/2。前七项勒让德函数图像如图 1所示。

图 1

Fig. 1

图 1 前七项勒让德多项式图像 Fig. 1 The first seven Legendre polynomials

用勒让德多项式拟合获得的柱面镜面形具有以下优点:

(1) 在区间[-1, 1]上正交,正交特性使得多项式各项的系数相互独立,有利于消除偶然因素造成的干扰;

(2) 勒让德多项式可以与Seidel 像差项对应,为有选择地单独处理各像差系数、优化系统性能提供了有效方法。

在矩形域上正交的二维勒让德多项式为

式中:i和j为从0开始的整数;L_i(x)是以x为变量的勒让德多项式;L_j(y)是以y为变量的勒让德多项式。多项式L_n(x,y)满足正交性^[11],即

式中:δ为克罗内克标记。

二维勒让德多项式L_n(x,y)的前十项与其对应的像差见表 1。

表 1 Table 1)

表 1 前十项勒让德多项式与其对应的像差类型 Tab. 1 The first ten Legendre polynomials and corresponding aberrations n Ln(x,y) 像差 0 1 平移 1 x x轴倾斜 2 y y轴倾斜 3 (3x2-1)/2 x轴离焦 4 xy 5 (3y2-1)/2 y轴离焦 6 (5x3-3x)/2 x轴初级彗差 7 y(3x2-1)/2 8 x(3y2-1)/2 9 (5y3-3y)/2 y轴初级彗差

表 1 前十项勒让德多项式与其对应的像差类型 Tab. 1 The first ten Legendre polynomials and corresponding aberrations

在空间直角坐标系下,N项二维勒让德多项式为^[12]

式中:n为勒让德多项式的项数;a_i为勒让德多项式中第i项系数;L_i(x,y)为勒让德多项式的第i项。

由像差理论可知:一个完整的波前像差可以用一系列勒让德多项式表示^{[13, 14]},即

式中:Z′(x,y)为待测曲面;Z₀(x,y)为理想曲面;Z(x,y)为包含面形的变化量,即剩余表面误差。

在对待测柱面镜进行测量后,可得测量的曲面在 xy平面上各点的坐标(x,y),以及待测曲面相对理想曲面在z方向上各点的偏移量Z。将测量数据分别代入式(5)得到

式(7)可简记为

式中:L为m×n阶矩阵;A=(a₁,a₂,…,a_n)^T;B=(Z₁,Z₂,…,Z_m)^T。

式(8)中的L和B为已知量。为了得到矩阵A,即勒让德多项式每项的系数,本文采用基于Gram-Schmidt正交化法的最小二乘法求解勒让德多项式的系数^[15]。由勒让德多项式各项系数可拟合出待测柱面镜的曲面。

RMS值和PV值是两种常用的面形检测指标。RMS是被测波面相对于参考波面的均方根偏差,通过RMS值可观察面形的变化程度,更客观地反映表面形貌。PV是被测波面相对参考波面的最高点与最低点之差,它描述了测量区域内面形的整体形貌,而忽略了区域上的局部信息。RMS和PV是两种不同的评价标准,都表示光学表面偏离理想光学表面的大小。

在面形检测方面,初级像差对面形的影响一直是研究热点。如上所述,勒让德多项式可在柱面域上表示波前像差,它的前几项与Seidel像差之间存在联系,而且高阶模式的勒让德多项式所占比例较小。根据检测要求,需要对柱面镜面形中初级像差的影响做出分析,结合勒让德多项式与像差之间的关系,最终选定勒让德多项式的前十项对待测柱面镜的面形进行拟合,拟合方程为

根据式(9),对十块不同柱面镜面形进行了拟合,求得的RMS和PV值如表 2所示,其中柱面镜的面形测量数据采用干涉检测的计算全息方法获得^[16]。

表 2 Table 2)

表 2 十块待测镜片面形的RMS值和PV值 Tab. 2 RMS and PV values of the surfaces of ten lenses 镜片序号 RMS/nm PV/μm 1 810.930 3.601 2 639.342 3.342 3 282.869 1.580 4 321.281 1.896 5 345.138 1.602 6 712.184 4.292 7 478.028 2.812 8 375.033 2.241 9 659.520 4.242 10 454.693 2.388

表 2 十块待测镜片面形的RMS值和PV值 Tab. 2 RMS and PV values of the surfaces of ten lenses

从表 2可知,镜片3的面形RMS值和PV值最小,说明在十块镜片中它的面形质量最好。但仅从RMS和PV这两个评价指标来判定面形的优劣还不够明确。比如,镜片4的RMS值小于镜片5,但是它的PV值却大于镜片5。为了更全面评价柱面镜的面形精度,我们根据拟合出的勒让德多项式各项的系数所对应的像差给出另一种评价面形质量的方法。表 3给出了镜片4和镜片5的勒让德多项式各项的拟合系数。

表 3 Table 3)

表 3 镜片4和镜片5的勒让德多项式各项拟合系数 Tab. 3 Fitting coefficients of each Legendre polynomial of lens four and lens five 项数i 系数ai 镜片4 镜片5 0 0 0 1 1.322×10-3 5.472×10-3 2 -1.623×10-3 -2.420×10-2 3 2.621×10-6 -9.720×10-6 4 5.609×10-5 -9.943×10-5 5 2.503×10-5 2.361×10-4 6 -3.489×10-8 1.987×10-8 7 -1.783×10-9 3.479×10-8 8 -1.387×10-7 1.961×10-7 9 -8.148×10-9 -4.510×10-7

表 3 镜片4和镜片5的勒让德多项式各项拟合系数 Tab. 3 Fitting coefficients of each Legendre polynomial of lens four and lens five

从表 3可以得到如下的结论:

(1) a₀=0,说明两块镜片的面形中都不存在平移像差;

(2) 勒让德多项式各项拟合系数除第6项外,镜片5对应系数的绝对值均大于镜片4,说明倾斜、离焦以及y轴初级彗差对镜片5面形的影响大于镜片4;

(3) 勒让德多项式各项拟合系数的第6项,镜片4对应系数的绝对值大于镜片5,说明x轴初级彗差在镜片4面形中的影响较大;

(4) 综上,镜片4的整体面形优于镜片5。

镜片4和镜片5的剩余表面误差图如图 2和图 3所示。

图 2

Fig. 2

图 2 镜片4剩余表面误差 Fig. 2 Residual error of the surface of lens four

图 3

Fig. 3

图 3 镜片5剩余表面误差 Fig. 3 Residual error of the surface of lens five

本文利用勒让德多项式拟合了被测的十块柱面镜面形测量结果,给出了勒让德多项式与初级像差之间的关系,获得了勒让德多项式系数的拟合值,确立了勒让德多项式拟合系数与初级像差在柱面镜面形测量中的影响信息。该方法比常用的评价指标RMS值和PV值更能准确地判定面形质量的优劣。