空间光孤子是指在介质里面传输时其束宽不变的光束,近年来由于其独特的传输特性在世界范围内引起了极大的关注^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]}。Snyder和 Mitchell的研究引起了广泛的关注^[1]。 Guo等研究了非局域非线性薛定谔方程揭示了高斯孤子的大相移^[7]。Huang等利用变分法研究了亚强非局域介质中的光束传输问题^[8]。Hu等讨论了向列相液晶中非局域孤子的相互作用^[9]。Deng等也得到了拉盖尔高斯光束的讨论并且获得了精确解析解^[11]。Bai等利用变分法讨论了非局域非线性介质中的高斯光束的传输问题^[12]。

本文利用变分法解析出了(1+2)维非局域非线性薛定谔方程的解,并给出了数值模拟。讨论了厄米高斯光束在非局域非线性介质里面的传输特性,得到了厄米高斯光束解析解。数值模拟显示厄米高斯光束能够传输一段较长的距离而束宽保持不变,随着非局域程度的增大,解析解愈加接近数值解。

光束在非局域非线性介质中的传输满足非局域非线性薛定谔方程

在(1+2)维介质中,假设式(1)存在厄米高斯型的近似试探解

介质的响应函数R(r－r′)=R(x－x′,y－y′),由于式(2)中最后一项是卷积项在积分处理时很难处理,为此将R(r－r′)分两步作泰勒展开。具体做法:先对R(x－x′,y－y′)在x′=0,y′=0处作泰勒展开,再对展开的各项在x=0,y=0处进一步作泰勒展开,近似取到二阶,得到

将试探解式(4)代入式(8)并对x,y积分得

由式(5)和式(9)可得到试探解中各个参量所满足的欧拉方程

可知当介质的响应宽度w_m一定时,随着厄米高斯光束阶数n的增大,介质的非局域程度在减小(α增大),强非局域的前提条件不再成立,因此要使解析解接近数值解,非局域程度必须取较大的值(即α取较小的值)。当n=0,m=0时

w₀(z)和θ₀(z)分别对应于零阶厄米高斯光束的束宽及复振幅相位。

图 1给出了(1+2)维不同阶数的厄米高斯孤子传输过程中的强度分布图。图 2和图 3给出了解析解与数值解的对比图。图中采取了归一化坐标

图 1

Fig. 1

图 1 (1+2)维不同阶数的厄米高斯孤子传输过程中的强度分布图 Fig. 1 The intensity distributions mode Hermite-Gaussian beams in the media

图 2

Fig. 2

图 2 (1+2)维高阶孤子传输过程中的强度分布图,a=0.1 Fig. 2 Comparison between the analytical solution (solid curves) and numerical solution (dotted curves) of (1+2)-dimensional,a=0.1

图 3

Fig. 3

图 3 (1+2)维高阶孤子传输过程中的强度分布图,a=0.01 Fig. 3 Comparison between the analytical solution (solid curves) and the numerical solution (dotted curves) of (1+2)-dimensional,a=0.01

在数值模拟中假设响应函数为高斯函数

由图 2和图 3的比较可知随着非局域程度的增加,解析解更加接近数值解。当P₀<P_c时,衍射作用强于非线性作用,光束束宽演化趋势为先展宽后压缩至初始宽度,形成呼吸子;当P₀>P_c时,衍射作用弱于非线性作用,光束先压缩后展宽至初始宽度,形成呼吸子。两种情况下的呼吸子的周期可由T=π/β₀=π/(γηP₀)^1/2求出。当P₀=P_c时,w_n(z)=w_n(0),光束的束宽不变,即形成光孤子解

用解析的方法研究了非局域非线性介质中光束的传输特性,通过对非线性介质中响应函数的展开,使得非线性薛定谔方程得以简化,得到光束各参量在传输过程中的演化规律,求解出高阶高斯光束孤子解。通过解析解与数值模拟比较,发现随着非局域程度的增加,解析解更加接近数值解。